%%%%%%%%%%%%
% Zápisek tøetího semináre z grafových agoritmù - ze dne 20.3.2006
% Zapsal Jiøí Peinlich - peinlich@seznam.cz a Michal Kùrka - michal.kurka@gmail.com
%%%%%%%%%%%

\input ../sgr.tex

\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{zapsali Jiøí Peinlich, Michal Kùrka}

\>V~minulé kapitole jsme se zabývali aplikacemi tokù na~hledání maximálního párování
a minimálního øezu. V~této si pøedvedeme dva algoritmy pro podobné problémy,
které se obejdou bez tokù.

\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu}

Nejprve si nadefinujme operaci {\I Degree Split,} která dostane jako vstup libovolný
$2k$-regulární graf $G=(V,E)$ a rozdìlí ho na~podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$, které budou
oba $k$-regulární. Tuto operaci mù¾eme snadno provést v~lineárním èase tak, ¾e si graf
rozdìlíme na~komponenty, v~ka¾dé nalezneme eulerovský tah a jeho sudé hrany dáme do~$G_1$
a liché do~$G_2$.

To nám pomù¾e ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^d$-regulárním
bipartitním grafu.\foot{V¹imnìte si, ¾e takové párování bude v¾dy perfektní (viz Hallova vìta).}
Staèí provést Degree Split na~dva $2^{d-1}$-regulární grafy, na~libovolný jeden z~nich
aplikovat dal¹í Degree Split atd., a¾ se dostaneme k~$1$-regulárnímu grafu, který
je perfektním párováním v~$G$. To v¹e jsme schopni stihnout v~lineárním èase,
jeliko¾ velikosti grafù, které splitujeme, exponenciálnì klesají. Také bychom
mohli rekurzivnì zpracovávat obì komponenty a tak se v~èase $\O(m\log n)$ dobrat
ke~kompletní 1-faktorizaci zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní
perfektní párování a má ho ka¾dý regulární bipartitní graf.}

Pokud zadaný graf nebude $2^d$-regulární, pomù¾eme si tím, ¾e ho novými hranami
doplníme na $2^d$-regulární a pak si pøi splitech budeme vybírat ten podgraf,
do~kterého padlo ménì nových hran, a uká¾eme, ¾e nakonec v¹echny zmizí.
Abychom graf pøíli¹ nezvìt¹ili, budeme sna¾it místo pøidávání úplnì nových
hran pouze zvy¹ovat násobnost hran existujících. Pro ka¾dou hranu $e$ si tedy
budeme pamatovat její násobnost $n(e)$.

{\I Degree Split grafu s~násobnostmi} pak budeme provádìt následovnì: hranu~$e$ s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$
i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2 \rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, pøidáme hranu do~pomocného grafu
$G^\prime$. V¹imnìte si, ¾e $G^\prime$ bude sudì-regulární graf bez násobností, tak¾e na~nìj mù¾eme aplikovat pùvodní
Degree Split a $G^\prime_i$ pøiøadit ke~$G_i$. To~v¹e zvládneme v~èase $\O(m)$.

Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
Zvolme dále parametry
$\alpha := \lfloor 2^t/k \rfloor$ a
$\beta := 2^t \bmod k$.
Ka¾dé pùvodní hranì nastavíme násobnost~$\alpha$ a pøidáme triviální párování~$F$
($i$-tý vrchol vlevo se spojí s~$i$-tým vrcholem vpravo) s~násobností~$\beta$.
V¹imnìte si, ¾e $\beta<k$, a~proto hran v~$F$ (vèetnì násobností) bude ménì ne¾ $2^t$.

Takto získáme $2^t$-regulární graf, jeho¾ reprezentace bude lineárnì velká. Na tento graf budeme aplikovat operaci
Degree Split a budeme si vybírat v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospìjeme k~párování
a jeliko¾ se~v~ka¾dém kroku zbavíme alespoò poloviny hran z~$F$, nebude toto párování obsahovat ¾ádnou a navíc
nebude ani obsahovat násobné hrany, tak¾e opravdu bude podgrafem zadaného grafu.

Slo¾itost algoritmu je $\O(m \log n)$, jeliko¾ provádíme inicializaci v~$\O(m)$ a celkem $\log_2 kn=\O(\log n)$ iterací po~$\O(m)$.

\h{Stupeò souvislosti grafu}

Problém zji¹tìní {\I stupnì hranové souvislosti} grafu lze pøevést na problém hledání minimálního øezu,
který ji¾ pro zadanou dvojici vrcholù umíme øe¹it pomocí Dinicova algoritmu v~èase $\O(n^{2/3}m)$.
Pokud chceme najít minimum pøes v¹echny dvojice, mù¾eme vyzkou¹et v¹echny dvojice $(s,t)$.
To v¹ak lze snadno zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z vrcholù (tøeba $s$) lze zvolit
pevnì: pokud vezmeme libovolný øez $C$, pak jistì najdeme alespoò jedno~$t$, které padne
do~jiné komponenty ne¾ pevnì zvolené~$s$, tak¾e minimální $st$-øez bude nejvý¹e tak velký jako~$C$.
Pokud pracujeme s orientovanými grafy, musíme projít jak øezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
Algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n^{{5/3}}m)$.

U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého
minimálního separátoru, algoritmus mù¾e selhat. Pøesto ale nemusíme procházet v¹echny dvojice vrcholù. Staèí si
pamatovat, kolik vrcholù $s$ jsme u¾ pro v¹echny $t$ zkontrolovali a nejmen¹í zatím nalezený separátor. Kdy¾ bude poèet
vrcholù vìt¹í ne¾ nejmen¹í separátor, tak u¾ jsme jistì na¹li jeden z minimálních øezù. Slo¾itost takového algoritmu pak
bude $\O(\kappa (G) n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je stupeò souvislosti $G$, který hledáme.

Pro minimální øezy v~neorientovaných grafech ov¹em existuje následující rychlej¹í algoritmus:

\h{Globálnì minimální øez (Nagamochi, Ibaraki)}

Buï $G$ neorientovaný graf s~ohodnocením na~hranách. Oznaèíme si:

\s{Znaèení:}

\itemize\ibull
\:$r(u,v)$ buï kapacita minimálního $uv$-øezu,
\:$d(P,Q)$ buï kapacita hran vedoucích mezi mno¾inami $P,Q \subseteq V$,
\:$d(P) = d(P,\overline P)$ buï kapacita hran vedoucích mezi $P\subseteq V$ a zbytkem grafu,
\:$d(v) = d(\{v\})$ buï kapacita hran vedoucích z~$v$ (tedy pro neohodnocené grafy stupeò~$v$),
\:analogicky zavedeme $d(v,w)$ a $d(v,P)$.
\endlist

\s{Definice:}
{\it Legálním uspoøádáním vrcholù} (LU) budeme nazývat lineární uspoøádání vrcholù $v_1 \ldots v_n$ takové, ¾e platí
$d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_i) \geq d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_j)$ pro $1 \leq i<j\leq n$.

\s{Lemma:} Je-li $v_1 \ldots v_n$ LU na $G$, pak $r(v_{n-1},v_n)=d(v_n)$.

\s{Dùkaz:} Buï $C$ nìjaký øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$. Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:

\algo
\:$u_0 := v_1$
\:$u_i := v_j$ tak, ¾e $j>i$, $v_i$ a $v_j$ jsou oddìleny øezem $C$ a $j$ je minimální takové.
\endalgo

Ka¾dé $u_{i-1}$ je tedy buï $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné stranì øezu, nebo $u_{i-1}$ je $v_i$ pokud
jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na opaèné stranì øezu.  Dostáváme tedy, ¾e $d(\{v_1\ldots v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1\ldots
v_{i-1}\},u_{i-1})$, proto¾e buïto $u_i=u_{i-1}$, a pak je nerovnost splnìna jako rovnost, nebo je $u_i=v_j$, $j>i$ a
nerovnost plyne z LU vrcholù $v_i$.

Chceme ukázat, ¾e velikost libovolného øezu je alespoò taková, jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
Platí, ¾e $ \vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:

$$\eqalign{
\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
&= d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0 = d(v_n).\cr
}$$
\qed

Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je vìt¹í ne¾ jednoduchý øez skládající se jen z hran kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez $v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ skontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální øez v $G'$. Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.

Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postaèí hladovì: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1},v)$, oznaème ji $z_v$. V ka¾dém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$ a prohlásíme ho za $v_i$ a pøepoèítáme~$z_v$.

Zde se hodí datová struktura, která doká¾e rychle hledat maxima a zvy¹ovat hodnoty prvkù,
napøíklad Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~èase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
amortizovanì. Celkem pak ná¹ algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.

Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít pøíhrádkové struktury. Budeme
si udr¾ovat obousmìrný seznam zatím pou¾itých hodnot $z_v$, ka¾dý prvek takového
seznamu bude obsahovat v¹echny vrcholy se spoleènou hodnotou $z_v$. Kdy¾ budeme
mít seznam seøazený, vybrání minimálního prvku znamená pouze podívat se na
první prvek seznamu a z nìj odebrat jeden vrchol, pøípadnì celý prvek ze seznamu
odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze pøesunutí vrcholu o
malý poèet pøihrádek, pøípadnì zalo¾ení nové pøihrádky na správném místì.
\<DeleteMax> i \<Increase> pak budou mít slo¾itost $\O(1)$ a celý algoritmus $\O(mn)$.

\bye
