\input lecnotes.tex

\prednaska{9}{Geometrické algoritmy}{(B. Maslowski, J. Návrat, M. Sta¹a)}

\>Budeme se teï bavit o geometrických problémech v~rovinì. Vìt¹ina algoritmù,
které zde uvedeme, má sice své obdoby i pro prostory vy¹¹í nebo ni¾¹í dimenze,
ale jednorozmìrné pøípady bývají triviální a vícerozmìrné jsou zase vìt¹inou
moc slo¾ité.

Budeme se tedy zabývat tím, jak tyto problémy øe¹it v~dimenzi dva
(v~Euklidovské rovinì).

\h{Hledání konvexního obalu}

Ptáte se o co pùjde? Zkusme si to pøiblí¾it na problému ledních medvìdù :) {\I
Lední medvìdi si po dlouhé dobì zmapovali vody severního moøe a zjistili
pøesnì místa, kde se nacházejí jejich oblíbené ryby. No a proto¾e to jsou
medvìdi chytøí, rozhodli se v¹echny tyto rybky pochytat najednou do jedné
velké sítì. A problém, který tady mají, je následující: jaký nejmen¹í obvod
mù¾e mít taková sí», aby se dovnitø ve¹ly v¹echny rybky?!}

Neboli budeme øe¹it, jak nìjakou zadanou mno¾inu bodù v~rovinì obalit co
nejkrat¹í uzavøenou køivkou, do které se je¹tì v¹echny body vejdou.

Intuice nám napovídá ¾e výsledek bude nìjaký konvexní\foot{Mno¾ina bodù
v~rovinì je konvexní, pokud platí, ¾e pro ka¾dé dva body této mno¾iny le¾í
úseèka spojující tyto dva body také celá v~této mno¾inì.} mnohoúhelník, který
bude mít vrcholy v~nìkterých uvedených bodech. Ostatní vrcholy pak budou buï
nìkde na hranách mnohoúhelníku, nebo uvnitø. Tomuto mnohoulehníku se øíká {\I
konvexní obal} dané mno¾iny.

\>Mo¾ná by se teï hodilo pøedvést názornì, jak vypadají nejmen¹í konvexní
obaly:

\figure{ZakladniObaly.eps}{Základní obaly.}{3in}

\itemize\ibull

\:Konvexní obal prázdné mno¾iny je prázdná mno¾ina.

\:Konvexní obal 1 bodu je bod samotný.

\:Konvexní obal 2 bodù je úseèka spojující tyto body.

\:Konvexní obal 3 bodù je trojúhleník s vrcholy v~tìchto bodech.

\:Konvexní obal 4 bodù \dots to u¾ je slo¾itìj¹í\dots

\endlist

Konvexní obaly 4 a více bodù, jak si mù¾eme v¹imnout, u¾ nejsou jednoznaèné.
Pro $N$-prvkovou mno¾inu bude konvexní obal mnohoúhelník se tøemi a¾ $N$
vrcholy.

Jeden dobrý zpùsob, jak tento konvexní obal sestrojit se nazývá {\I Zametání
roviny.}

Algoritmus funguje tak, ¾e si v~rovinì zvolíme nìjaký smìr, a v~tomto smìru
zaèneme posouvat pøímku. Budeme takto potkávat body le¾ící v~na¹í mno¾inì.
V~ka¾dém okam¾iku budeme chtít, aby body v~èásti, kterou jsme ji¾ zametli, u¾
mìli spoèítaný konvexní obal. V¾dy kdy¾ pak zametací pøímkou narazíme na nový
bod, u¾ si jen rozmyslíme, jak ho do konvexního obalu pøidat.

BÚNO pøedpokládáme body v~obecné poloze, tedy takové, ¾e ¾ádné tøi nele¾í
na~jedné pøímce. Dále také budeme pøedpokládat, ¾e budeme zametat ve smìru
$x$-ové osy a ¾e v¹echny body mají rùznou $x$-ovou souøadnici.

Je také vidìt, ¾e bod s nejmen¹í a nejvìt¹í $x$-ovou souøadnicí bude le¾et
na~konvexním obalu.

\s{My¹lenka algoritmu:}

\algo

\:Setøídíme body podle jejich $x$-ové souøadnice.

\:Vezmeme první tøi body a sestrojíme jejich konvexní obal.

\:Opakuj: Najdeme dal¹í bod a podíváme se, jestli ho mù¾eme do konvexního
obalu rovnou pøidat: \::Pokud jej mù¾eme rovnou pøidat, tak jej pøidáme.

\::Pokud jej pøidat rovnou nemù¾eme, pak je potøeba nejdøíve nìjaké body
odzadu odebrat a pak teprve pøipojit ná¹ nový bod. \endalgo

Ka¾dá iterace tedy bude probíhat tak, ¾e nìjaké body z pùvodního konvexního
obalu pozapomínáme a pøidáme nový bod. Aby se to lépe popisovalo, tak celý
konvexní obal rozdìlíme na {\I horní obálku} a {\I dolní obálku.}

\figure{HD-obalka.eps}{Obrázek obálek.}{3in}

Vidíme teï, ¾e dolní obálka je nìjaká lomená èára, která zatáèí doleva. Horní
obálka zatáèí doprava. V~na¹em algoritmu si budeme obálky pamatovat jako dva
seznamy vrcholù. Kdy¾ pak v~algoritmu narazíme na nový bod, budeme zvlá¹»
øe¹it jak to ovlivní horní obálku a jak ovlivní dolní. Je vidìt ¾e bod nejvíce
vlevo a bod nejvíce vpravo le¾í v obou obálkách. Ostatní body buï le¾í jen
v~jedné z obálek, nebo nele¾í v~¾ádné z nich (tedy nejsou souèástí konvexního
obalu).

\s{Algoritmus:}

\algo

\:Setøídíme body podle souøadnice $x$, dostaneme mno¾inu bodù $b_1~-~b_n$.
\:Spoèítáme konvexní obal ${b_1, b_2, b_3}$, z toho získáme horní a dolní
obálku\foot{Body $b_1$ a $b_3$ budou v obou obálkách. Bod $b_2$ bude v~horní
obálce pokud le¾í nad pøímkou spojující $b_1$ a $b_3$, v~dolní obálce bude
pokud le¾í pod pøímkou.}. \:Pro $b$ postupnì zpracováváme $b_3 - b_n$:

\::Pøepoèítáme Horní obálku:

\:::Dokud $(\vert H\vert \geq 2)$ a úhel $(H[-2], H[-1], b)$ je orientovaný
doleva: \::::Odebereme poslední prvek z obálky.

\:::Pøidáme do obálky nový vrchol.

\::Pøepoèítáme dolní obálku:

\:::Dokud $(\vert D\vert \geq 2)$ a úhel $(D[-2], D[-1], b)$ je orientovaný
doprava: \::::Odebereme poslední prvek z obálky.

\:::Pøidáme do obálky nový vrchol.

\endalgo

Setøídit body podle $x$-ové souøadnice a sestrojit konvexní obal prvních tøech
bodù stihneme v~èase $\O(n \log n)$. Zbytek pak u¾ udìláme dokonce v~èase
lineárním $\O(n)$\foot{V této èásti u¾ jen do obálek pøidáváme a odebíráme
body.Pøidáváme jich $N$. A odebrat jich mù¾eme maximálnì tolik kolik jsme jich
pøidali. Tedy zase maximálnì~$N$.}. Platí tedy:

\s{Vìta:} Konvexní obal doká¾eme sestrojit v~èase $\O(n \log n)$.

\>Na¹i lední medvìdi se tedy ji¾ nauèili, jak si efektivnì obstarat potravu a
mohly se pustit do øe¹ení dal¹ího velmi dùle¾itého problému. Pojïme se na nìj
podívat s nimi. \>A o co ¾e to pùjde?

{\I Lední medvìdi nejsou na antarktidì sami, kromì nich tam taky bydlí
kamarádi eskymáci ve svých iglù. Medvìdi by si teï rádi udìlali mapu, podle
které by hned poznali, ke kterému ekymákovi to mají nejblí¾e na náv¹»evu.}

My tuhle medvìdí mapu od teï budeme nazývat {\I Voroneho diagramem}.

\h{Voroného diagramy}

Pøed tím, ne¾ vás vystra¹ím nìjakou definicí, si øekneme, co jsi pod tímto, na
první pohled ne zøejmým pojmem, pøedstavit. Mìjme mno¾inu teèek $T$
rozmístìných náhodnì po papíru. Ke ka¾dému bodu nakreslíme okraje tak, aby
vniklá plo¹ka obsahovala body, které jsou nejblí¾e právì té na¹í vybrané
teèce. Samozøejmì \uv{sousední} teèky budou mít tyto hranice spoleèné.
Výsledkem na¹eho dlouhého sna¾ení pak bude právì Voroného diagram. V dal¹ích
odstavcích se budeme zajímat o to, jak takový útvar správnì popsat, jak ho
sestrojit a jaké datové struktury k tomu pou¾ít.

\s{Definice:} {\I Voroného diagram} pro koneènou mno¾inu $M = \{m_1, \dots,
m_n\} \in {\bb R}^2$ míst je systém mno¾in $O_1,\dots,O_n$ takových, ¾e pro
v¹echna $i$ a $j$ a pro v¹echna $x \in M_i$ je vzdálenost $x$ od $m_i$ men¹í
nebo rovna vzdálenosti $x$ od $m_j$ a zároveò sjednocení $O_i$ pøes v¹echna
$i$ je celý prostor ${\bb R}^2$, neboli:

$$d(x,m_i) \leq d(x,m_j) \wedge {\bigcup}_i O_i = {\bb R}^2.$$

Jednoduchý Voroného diagram:

\figure{voroneho2.eps}{Voroneho diagramu pro dvì místa.}{3in}

Voroného diagram se tedy skládá z nìjakých míst, oblastí a hran, které ty
oblasti oddìlují.

\figure{voronoi.eps}{Èásti Voroneho diagramu.}{2in}

\s{Definice:} Øekneme, ¾e {\I hrana} $H$ je taková mno¾ina bodù, ¾e pro ka¾dý
bod $x \in H$ platí, ¾e existují dvì místa $m_i$ a $m_j$, od kterých má bod
$x$ stejnou vzdálenost. Tyto dvì místa jsou pro v¹echny body $x$ stejná a
platí, ¾e v¹echny ostatní místa mají od ka¾dého bodu $x$ del¹í vzdálenost.

\s{Definice:} Øekneme, ¾e {\I vrchol} je takový bod, kde se potkávají alespoò
dvì hrany.

\s{Pozorování:}

\itemize\ibull

\:Voroneho diagramem pro dvì místa jsou dvì poloroviny odìlené takovou pøímkou,
 ¾e ka¾dý bod pøímky je stejnì vzdálený od obou míst. \:Ka¾dá mno¾ina $M_i$ je
ohranièena konvexní lomenou èarou, tak¾e oblasti mají tvar konvexních
mnohoúhelníkù, ale je mo¾né, ¾e jsou oteveøené do nekneèna. \:Pro ka¾dou hranu
$h$ ve Voroného diagramu existuje $i$ a $j$ takové, ¾e kdy¾ $x \in H$, pak
vzdálenost $d(x,m_i) = d(x,m_j)$. \:Pro ka¾dý vrchol $v$ Voroného diagramu
existují alespoò tøi místa le¾ící na kru¾nici se støedem $v$.

\figure{body.eps}{Body na kru¾nici.}{3in}

\:Poèet vrcholù a hran je lineární k poètu míst\foot{Voroneho diagram si lze
pøedstavit jako graf, kde místa Voroneho diagramu odpovídají stìnám, vrcholy
diagramu vrcholùm a hrany odpovídají hranám grafu. Pokud si teï nìkam mimo
graf pøidáme je¹tì jeden vrchol a v¹echny pøímky vedoucí do nekoneèna navedeme
do toho bodu, vidíme, ¾e ná¹ graf je roviný. Pro roviný graf platí Eulerova
formule a z ní u¾ plyne ¾e na¹e linearita.}. \:Poèet krajních oblastí je tak
velký, jak velký je konvexní obal té zadané mno¾iny. (Je to dobré vìdìt, ale
asi to nebudeme potøebovat.)

\endlist

Pojïme teï vymyslet, jak takový diagram vyrobit. Mohli bychom zkonstruovat
v¹echny dìlící pøímky a poslepovat je, ale vznikl by nám kvadratický
algoritmus a to nám nemù¾e staèit.

Mluvili jsme o zametání roviny, a tak bychom tento trik mohli vyu¾ít právì pøi
øe¹ení na¹eho problému. Ov¹em tentokrát má zametání jeden podstatný háèek.
Kdy¾ si vezmeme nìjakou zametací pøímku a pojedeme s ní shora dolù, tak nad ní
máme nìjakou u¾ zkonstruovanou èást diagramu a kdy¾ narazíme na dal¹í bod, tak
se nám mù¾e právì tato èást diagramu pomìrnì slo¾itì zmìnit. Pomù¾eme si malým
trikem. Nebudeme pova¾ovat za hotovou celou oblast nad zametací pøímkou, ale
jen takové body, které mají blí¾e k místùm ($m_i$) ne¾ k zametací pøímce. Tak
dostaneme nìjakou posloupnost (mno¾inu) parabol. V¹echno, co jsme spoèítali
uvnitø této oblasti nám u¾ nikdo nepokazí (ani nevylep¹í), je tam bezpeèno.
Vezmeme si tedy dolní obálku tìchto parabol, budeme jí øíkat {\I pobøe¾í}.

\figure{pobrezi.eps}{Pobøe¾ní linie.}{3in}

Pobøe¾í je tedy nìjaká posloupnost parabolických obloukù s tím, ¾e nejlevìj¹í
a nejpravìj¹í jdou do nekoneèna. Prùseèíky tìchto obloukù vykreslují hrany
diagramu. Proè? Odpovìï na tuto otázku není tì¾ká, staèí vyjít z definice
paraboly tak, jak jí zde pou¾íváme. Nebo-li je to mno¾ina bodù, která je od
ohniska (pro nás místa) stejnì vzdálená jako od pøímky (øídící). A tedy prùnik
dvou parabol je místo, které je stejnì vzdálené od obou ohnisek, co¾ je
vlastnì definice bodu le¾ícího na nìjaké hranì.

Kdykoliv v prùbìhu zametání narazíme na nìjaký bod, mù¾e nám ovlivnit u¾ jen
èást diagramu pod pobøe¾ím. Dostáváme se tedy k tomu, co se dìje, kdy¾ hýbeme
zametací pøímkou. Pakli¾e nenará¾íme na ¾ádné body, tak se v podstatì nedìje
nic zajímavého. Zajímavá situace nastává a¾ tehdy, narazíme-li na dal¹í bod.
V~tom okam¾iku vzniká nová parabola. V tuto chvíli je znaènì degenerovaná. Je
to toti¾ zatím jen polopøímka kolmá na zametací pøímku. S dal¹ím pohybem se
zaène parabola rozevírat. V¹imnìme si, ¾e prùnik oné pøímky a pobøe¾í je
vlastnì vrchol Voroného diagramu.

Mù¾e nastat je¹tì jeden problém. Nìjaká parabola se mù¾e natolik rozevøít, ¾e
pohltí jiné a ty zmizí z pobøe¾ní linie. V takovém pøípadì, se nám ale
netriviálnì zmìní vzhled pobøe¾í, a proto se této situaci budeme muset více
vìnovat.

Shrneme-li na¹e úvahy, mohou se dít celkem tøi vìci. Jedna z nich je posun
pøímky. To se vlastnì dìje poøád. Pobøe¾í se témìø nemìní a prùseèíky parabol
nám kreslí hrany. To mù¾eme poèítat najednou. Navíc nejen ¾e bychom mohli s
pøímkou skoèit o nìjaké epsilon, ale my dokonce mù¾eme skoèit o poøádný kus a
prostì pouze dopoèítat, jak se pobøe¾í zmìnilo a co se vykreslilo. Dùle¾itým
místùm, kde se budeme zastavovat, budeme øíkat {\I události}.

\>{\I Místní událost}

Pokud narazíme na bod, musíme najít místo, kde pobøe¾í rozetnou a kam vklínit
dal¹í výbì¾ek (parabolu). Takovéto události budeme øíkat místní událost.

\figure{mistni.eps}{\vbox{\hsize=0.6\hsize\leftskip=0pt plus
0.3\hsize\rightskip=\leftskip\parfillskip=0pt \>Místní událost -- èervená
kolmice je novì vznikající parabola, pøi postupu zametací pøímky dále se bude
rozevírat a vytvoøí dal¹í parabolu.}}{3in}

\>{\I Kru¾nicová událost}

Poslední situace, která mù¾e nastat, je, ¾e se nìjaká parabola schová za jiné.
Kouknìme se na první obrázek ní¾e, fialový bod je støed kru¾nice opsané
trojùhelníku tvoøenému tøemi místy. Jak víme, ten le¾í na osách stran takového
trojùhelníku. Po tìchto osách se v¹ak budou i pohybovat prùseèíky parabol a s
posunováním øídící pøímky se pak dostanou v¹echny tøi do støedu této kru¾nice.
Stane se to pravì tehdy, kdy¾ se zametací pøímka dotkne kru¾nice zespodu. Je
mo¾né nahlédnout, ¾e pøi postupu dále se pak dvì krajní paraboly roz¹íøí
natolik, ¾e prostøední pohltí a ta zanikne. Takto vzniklé události budeme
øíkat kru¾nicová.

Pojïme si to ukázat lépe na následujících dvou obrázcích. První pøedstavuje
situaci pøed kru¾nicovou událostí a druhý právì kru¾nicovou událost. Mimo jiné
by tedy z obrázkù mìlo být patrné, ¾e kru¾nicové události jsou urèeny
trojicemi sousedních obloukù v pobøe¾í.

\figure{kruznicova.eps}{Pøed kru¾nicovou událostí.}{3in}

\figure{kruznicovakonec.eps}{Kru¾nicová událost.}{3in}

\s{Datové struktury}

Budeme potøebovat haldu událostí (místních i kru¾nicových dohromady).

Dále bude zapotøebí udr¾ovat si pobøe¾ní linii, neboli posloupnost míst
v~ohniscích parabolických obloukù. Zde je potøeba si definovat operace {\I
Insert, Delete} a {\I FindX}, jinak øeèeno pøidat a odebrat oblouk a najít
oblouk podle x-sové souøadnice nebo-li oblouk do kterého jsme se trefili pøi
místní události. Navíc budeme potøebovat vyhledávací strom nad prùseèíky s
implicitní reprezentací, co¾ znamená, ¾e si ve vrcholech nebudeme pamatovat
pøímo souøadnice prùseèíkù, ale jen instrukci, jak je spoèítat. Tak¾e jakkoli
se mìní poloha prùseèíkù, tak struktura stromu zùstává stejná.

S haldou událostí lze pracovat s logaritmickou èasovou slo¾itostí na operaci
a ve stejném èase doká¾eme pracovat s pobøe¾ní linií. Kdy¾ si pobøe¾í je¹tì
reprezentujeme zvlá¹» jako seznam tak Insert a Delete budou v konstatním èase
a operace se stromem pak $\O(\log n)$.

Poslední datovou strukturou bude samotný diagram, reprezentovaný grafem se
souøadnicemi a vazbami hran na prùseèík.

\s{Fortunùv~algoritmus}

\algo

\:Pøipravíme si haldu $H$ a vlo¾íme do ní v¹echny místní události.

\:Pøipravíme pobøe¾ní linii $P \leftarrow 0$.

\:Dokud existuje $h \leftarrow DeleteMin(H)$:

\::Je-li na øadì místní událost:

\:::Najdeme prùseèík s $P(FindX(P))$.

\:::Vlo¾íme do $P$ novou parabolu.

\:::Poznamenáme do $D$ vznik hran.

\:::Pøepoèítáme kru¾nicové události.

\::Je-li na øadì kru¾nicová událost:

\:::Sma¾eme oblouk z $P$.

\:::Poznamenáme vznik a zánik do $D$.

\:::Pøepoèítáme kru¾nicové události.

\endalgo

\s{Slo¾itost:}

Poèet místních událostí je roven $n$ (na ka¾dé místo narazíme právì jednou).
Poèet kru¾nicových událostí není vìt¹í ne¾ $n$, proto¾e kru¾nicová událost sma¾e
parabolu a ty vznikají jen pøi místních událostech, tak¾e kru¾nicových událostí
není více ne¾ místních. Speciálnì z toho plyne, ¾e velikost pobøe¾ní linie je
v¾dy lineární, proto¾e s ka¾dou místní událostí pøibudou dva úseky do pobøe¾ní
linie, tak¾e velikost pobøe¾ní linie je maximálnì $2n$. Velikost haldy je pak
také $2n$, tak¾e pak operace urèitì zvládneme v èase $\O(\log n)$. Jeliko¾
diagram je lineárnì velký tak i jeho struktura je lineárnì velká. Operace se
strukturami nás stojí nejvíce $\O(\log n)$. Tak¾e místní i kru¾nicové události
zvládneme v èase $\O(\log n)$ na jednu na konstantním poètu struktur. Halda má
velikost $2n$, tak¾e maximálnì provedeme $\O(2n\log n)$ operací.
Celý algoritmus potøebuje na~inicializaci maximálnì $\O(n \log n)$ (i kdybychom
ji dìlali neefektivnì) a $\O(2n\log n)$ výpoèet.

Pokud tedy shrneme v¹echny na¹e odhady, pak èasová slo¾itost algoritmu je
$\O(n \log n)$ a prostorová $\O(n)$.

\bye

-------------------

1) Pøipravíme si haldu $H$ a vlo¾íme do ní v¹echny místní události.

2) pøipravíme pobøe¾ní linii P <- 0 } O(n\log n)

3) pøipraváme reprezentaci diagramu D /

4) dokud existuje h <- DeleteMin(H)

5) je-li na øadì místní událost: ----

a) najdeme prùseèík s P(FindX(P)) \

b) vlo¾íme do P novou parabolu \

c) poznamenáme do D vznik hran } O(\log n)

d) pøepoèítáme kru¾nicové události / } <= 2n

6) je-li na øadì kru¾nicová událost:

a) sma¾eme oblouk z P \

b) poznamenáme vznik a zánik do D } O(\log n)

c) pøepoèítáme kru¾nicové události / ----

\bye
