\input lecnotes.tex

\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali J. Machálek a K. Vandas)}

\s{Motivaèní úlohy:}
\itemize\ibull
\:Mìjme orientovaný graf se speciálními vrcholy ®elivka a Kanál pøedstavující pra¾ské vodovody. V tomto grafu budou vrcholy vodovodními stanicemi a hrany trubkami mezi nimi. Kolik vody proteèe ze ®elivky do Kanálu?
\:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z~Moskvy a spotøebovat na Frontì?
\endlist

\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je
orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou nìjaké dva jeho vrcholy ({\I zdroj} a {\I stok}) a $c$ je
{\I kapacita hran,} kterou pøedstavuje funkce $c:E(G)\to{\bb
R}_{0}^{+}$.

\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{3in}

\par\noindent {\sl Intuice:} Toky v sítích pøedstavují rozvr¾ení, jakým suroviny sítí poteèou.

\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e platí:
\numlist{\ndotted}
\:Tok po~ka¾dé hranì je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
\:Kirchhoffùv zákon -- \uv{sí» tìsní}: $$\sum_{xu \in E}{f(xu)}=\sum_{ux \in E}{f(ux)}\quad\hbox{pro ka¾dé }u\in V(G) \setminus \{z,s\}.$$
\endlist

\s{Poznámka:} Pokud bychom se chtìli v definici toku u bodu 2 vyhnout podmínkám pro $z$ a $s$, mù¾eme zdroj a stok vzájemnì propojit (pak jde o tzv. cirkulaci).

\s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{$s$} a stok \uv{$t$} (jako source a~target).

\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují toky po~hranách, v~závorkách jsou kapacity.}{4in}

\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$\vert f\vert:=\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)}.$$

\>Budeme tedy chtít najít v~zadané síti tok, jeho¾ velikost je maximální. Musí v¾dycky existovat?

\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok.

\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s~tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce velikosti toku je spojitá (dokonce lineární).

Dobrá, maximální tok v¾dy existuje. Ale kdy¾ nám ho nìkdo uká¾e, umíme poznat,
¾e je skuteènì maximální? K~tomu se budou hodit øezy:

\par\noindent {\sl Intuice:} Øez v~grafu je mno¾ina hran oddìlující zdroj a stok.

\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je mno¾ina hran $R$ taková, ¾e
neexistuje orientovaná cesta ze $z$~do $s$~v~grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.

\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{uv \in R}{c(uv)}$.

Nìkdy je lep¹í se na~øezy dívat takto:

\s{Definice:} Pro rozklad mno¾iny vrcholù na dvì disjunktní mno¾iny $A,B$, kde $z\in A$ a $s\in B$ zavedeme
{\I separátor} $S(A,B)$, co¾ bude mno¾ina hran vedoucích z~$A$ do~$B$. Pokud je $g$ funkce
definovaná na~hranách (tøeba tok nebo kapacita), definujeme $g(A,B):=\sum_{uv \in E,u\in A,v\in B}{g(uv)}.$

\s{Pozorování:} Ka¾dý separátor je øezem (libovolná orientovaná cesta ze~$z$ do~$s$ musí
nìkdy opustit mno¾inu~$A$, a to jde pouze po~hranì patøící do~separátoru). Opaènì to sice
platit nemusí, ale platí, ¾e ke~ka¾dému øezu existuje separátor takový, ¾e souèet kapacit
jeho hran je nejvý¹e kapacita daného øezu. Staèí si zvolit mno¾inu $A$ jako vrcholy dosa¾itelné
ze~zdroje po~hranách nele¾icích v~øezu a do~$B$ dát v¹echny ostatní vrcholy. Separátor
$S(A,B)$ pak bude tvoøen výhradnì hranami øezu (ne~nutnì v¹emi) a sám bude øezem.

\s{Definice:} Pro libovolnou mno¾inu vrcholù $A$ zavedeme její {\I doplnìk} $\overline A:=V(G)\setminus A$.

Nyní si v¹imneme, ¾e velikost toku mù¾eme mìøit pøes libovolný separátor: je to mno¾ství
tekutiny, které teèe pøes separátor z~$A$ do~$B$ minus to, které se vrací zpátky
(zatím jsme velikost mìøili u~zdroje, vlastnì na~triviálním separátoru $A=\{z\}$, $B=\overline A).$

\s{Lemma:} Nech» $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A$ a $f$ je libovolný tok. Potom platí,
¾e: $$\vert f\vert=f(A,\overline A)-f(\overline A,A).$$

\proof
provedeme pomocí Kirchhoffova zákona a definice velikosti toku:
$$\hbox{Pro ka¾dý vrchol~$u\ne z,s$ platí:~~} \sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}=0,$$
$$\hbox{pro zdroj pak:~~} \sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)=\vert f\vert}.$$
Rovnice seèteme:
$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}\right)}=\vert f\vert.$$
V¹imneme si, ¾e hrany, jeji¾ oba koncové vrcholy le¾í v~mno¾inì~$A$, pøispívají
k~této sumì jednou kladnì a jednou zápornì, hrany, její¾ ani jeden vrchol nele¾í v~$A$,
nepøispívají vùbec, a koneènì hrany vedoucí z~$A$ do~$B$, resp. opaènì pøispìjí jen jednou
(kladnì, resp. zápornì). Tedy:
$$f(A,\overline A)-f(\overline A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(uv)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(uv)}=\vert f \vert.$$
\qed

\s{Dùsledek:} Pokud $f$ je tok, $R$ je øez, pak platí:  $\vert f \vert\le c(R)$.

\proof
Doká¾eme pro separátory (u¾ víme, ¾e ke~ka¾dému øezu najdeme stejnì velký nebo men¹í separátor):
$$\vert f \vert=f(A,\overline A)-f(\overline A,A)\le f(A,\overline A)\le c(A,\overline A)\le c(R).$$
\qed

Nyní víme, ¾e velikost ka¾dého toku je shora omezena velikostí ka¾dého øezu. Kdybychom tedy
k~na¹emu toku umìli najít stejnì velký øez, hned víme, ¾e tok je maximální a øez minimální.
Pøekvapivì platí, ¾e se to povede v¾dy. K~tomu se nám budou hodit zlep¹ující cesty:

\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} budeme øíkat takové cestì mezi danými dvìma vrcholy,
která pou¾ívá buïto hrany sítì (hrany orientované po~smìru cesty) nebo hrany k~nim opaèné (v~síti jsou
tedy proti smìru cesty).

\figure{cesta.eps}{Pøíklad zlep¹ující cesty.}{3in}

\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} $P$ ze $z$ do $s$ je {\I nasycená}, pokud:
$$\exists e \in P:\cases{
	f(e)=c(e) & \hbox{je-li $e$ orientovaná po smìru} \cr
	f(e)=0 & \hbox{je-li $e$ orientovaná proti smìru} \cr
}$$
\>Jinak je zlep¹ující cesta nenasycená.

\s{Definice:} {\I Tok je nasycený,} pokud je ka¾dá zlep¹ující cesta $P$ ze $z$ do $s$ nasycená.

\s{Vìta:} Tok $f$ je nasycený $\Leftrightarrow$ $f$ je maximální. Navíc pro ka¾dý maximální tok $f$ existuje øez $R$ takový, ¾e $\vert f \vert=c(R)$.

\proof

\>\uv{$\Leftarrow$} doká¾eme nepøímo -- uká¾eme, ¾e pokud nìjaký tok není nasycený, tak ho
je¹tì lze zlep¹it, proèe¾ nemù¾e být maximální. Mìjme nìjaký nenasycený tok~$f$. Existuje tedy
nenasycená zlep¹ující cesta $P$. Podél této cesty budeme tok vylep¹ovat.
Zvolíme:
$$
\eqalign{
\varepsilon_1&:=\min_{e\in P\hbox{\sevenrm~po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}}, \cr
\varepsilon_2&:=\min_{e\in P\hbox{\sevenrm~proti smìru}}{\{f(e)\}}, \cr
\varepsilon&:=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}. \cr
}
$$
Jeliko¾ cesta byla nenasycená, musí být $\varepsilon>0$. Nyní z~toku~$f$ vytvoøíme
tok~$f'$ takto:
$$f'(e):=\cases{
	f(e)+\varepsilon & \hbox{je-li $e$ po smìru cesty,} \cr
	f(e)-\varepsilon & \hbox{je-li $e$ proti smìru,} \cr
	f(e) & \hbox{pokud $e\not\in P$.} \cr
}
$$
\>Nyní je potøeba ovìøit, ¾e $f^{'}$ je skuteènì tok:
$$0\le f^{'}(e)\le c(e)\dots\hbox{platí stále díky volbì }\varepsilon.$$

\>Platnost Kirchhoffova zákona ovìøíme rozborem pøípadù:
\figure{kirch.eps}{Rozbor pøípadù.}{4in}

\>Funkce $f'$ je tedy tok. Jeho velikost se ov¹em oproti~$f$ zvý¹ila o~$\varepsilon$, tak¾e~$f$ nebyl maximální.

\>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme mno¾inu vrcholù $A\subseteq V(G)$ definovanou tak, ¾e $v\in A$
právì tehdy, kdy¾ existuje nenasycená cesta ze $z$ do $v$. V¹imnìme si, ¾e $z \in A$ a $s \not\in A$.
Potom $S(A,\overline A)$ je øez, který je stejnì velký jako tok~$f$. Jak u¾ víme, pokud k~toku
najdeme stejnì velký øez, je tok maximální.
\qed

\figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení $V(G)$ na mno¾inu $A$ a $\overline A$ v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}

\>To, co jsme o~tocích zjistili, mù¾eme shrnout do~následující \uv{minimaxové} vìty:

\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Pro ka¾dou sí» platí: $$\max_{f\hbox{\sevenrm~tok}}{\vert f \vert=\min_{R\hbox{\sevenrm~øez}}{c(R)}}.$$

\proof
Nerovnost \uv{$\le$} je ná¹ Dùsledek lemmatu o~tocích a øezech, rovnost
platí proto, ¾e k~maximálnímu toku existuje podle pøedcházející vìty stejnì
velký øez.
\qed

\>Zlep¹ování tokù pomocí zlep¹ujících cest není jen pìkný dùkazový prostøedek,
dá se pomocí nìj také formulovat elegantní algoritmus na~hledání maximálního toku:

\s{Algoritmus (hledání maximálního toku v síti, Ford-Fulkerson)}

\algo
\:$f \leftarrow \hbox{libovolný tok}$, tøeba v¹ude nulový ($\forall e \in E: f(e) \leftarrow 0 $).
\:Dokud $\exists$ zlep¹ující cesta $P$: vylep¹íme $f$ podél $P$ jako v~dùkazu vìty.
\:Prohlásíme $f$ za~maximální tok.
\endalgo

\h{Cvièení:}
\itemize\ibull
\:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím
kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o jedna. Proto¾e máme horní odhad
na velikost maximálního toku (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu
bìhu algoritmu.
\:Je F-F algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano -- v¹echny
kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad.
Algoritmus se pøitom chová stejnì jako s~pùvodními kapacitami.
\:A~pro reálné kapacity? Obecnì ne -- zkuste najít sí» s~nìkterými kapacitami
iracionální, kde se algoritmus pøi ne¹ikovné volbì zlep¹ujících cest nikdy
nezastaví a dokonce ani nekonverguje k~maximálnímu toku.
\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby
úspì¹nì dobìhl? ($2M$ krokù)
\figure{2M.eps}{Pøíklad sítì. Kolik krokù musí maximálnì udìlat F-F algoritmus?}{2in}
\:Pokud bychom v¾dy hledali {\I nejkrat¹í} zlep¹ující cestu, co¾ je snad
nejpøímoèaøej¹í mo¾ná implementace (prohledávání do ¹íøky), algoritmus by
se zastavil po~$\O(M^2N)$ krocích (tomu se øíká Edmondsùv-Karpùv algoritmus).
To si nebudeme dokazovat a místo toho si na~pøí¹tí pøedná¹ce rovnou odvodíme
efektivnìj¹í Dinicùv algoritmus.
\endlist

\bye
