\input ../lecnotes.tex

\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali K. Vandas a J. Machálek)}

\h{Motivaèní úlohy:}
\itemize\ibull
\:Mìjme orientovaný graf se speciálními vrcholy ®elivka a Kanál pøedstavující pra¾ské vodovody. V tomto grafu budou vrcholy vodovodními stanicemi a hrany trubkami mezi nimi. Kolik vody proteèe ze ®elivky do Kanálu?
\:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z Moskvy a spotøebovat na Frontì?
\endlist

\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou jeho vrcholy (zdroj a stok) a $c$ je kapacita sítì, kterou pøedstavuje funkce $c:E(G)\to\bb R_{0}^{+}$.

\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{3in}

\par\noindent {\sl Intuice:} Toky v sítích pøedstavují rozvr¾ení, jakým suroviny sítí poteèou.

\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to\bb R$ taková, ¾e platí:
\numlist{\ndotted}
\:Tok ka¾dé hrany je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
\:Kirchhoffùv zákon -- nikde se neztrácejí suroviny: $$\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}\quad \forall u\in V(G), u\ne z, u\ne s.$$
\endlist

\s{Poznámka:} Pokud bychom se chtìli v definici toku u bodu 2 vyhnout podmínkám pro $z$ a $s$, mù¾eme zdroj a stok vzájemnì propojit (pak jde o tzv. cirkulaci).

\s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{$s$} a stok \uv{$t$} (zkratky source a~target).

\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují ohodnocení funkcí toku (v závorkách jsou kapacity hran).}{4in}

\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$w(f)=\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)}.$$

\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok (bez dùkazu).

\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce velikosti toku je spojitá.

\par\noindent {\sl Intuice:} Øez grafu je mno¾ina hran oddìlující zdroj a stok.

\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je $R\subseteq E(G)$ taková, ¾e neexistuje cesta ze $z$ do $s$ v grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.

\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{(u,v\in R)}{c(u,v)}$.

\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Mìjme $S$ sí». Platí: $$\max_{f\hbox{ tok}}{w(f)=\min_{R\hbox{ øez}}{c(R)}}$$

\proof
Dùkaz provedeme pomocí dokázání dvou neostrých nerovností.

\>Pomocné znaèení: Zaveïme konvenci, ¾e existují-li orientované hrany $(u,v)$, $u\in A$, $v\in B$, znaèíme je $S(A,B)$ (separátor). $f(A,B)=\sum_{(u,v)\in E,u\in A,v\in B}{f(u,v)}.$

{\narrower
\par\noindent {\sl Intuice:} Uvá¾íme-li mno¾inu kapacit v¹ech øezù, je zdola omezená mno¾inou hodnot tokù.

\s{Lemma:} $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A,f\hbox{ je tok}$. Potom platí, ¾e $$w(f)=f(A,V\setminus~A)-f(V\setminus~A,A)$$

\proof
Dùkaz provedeme pomocí Kirchhoffova zákonu a definice velikosti toku:
$$\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=0\quad\forall u\in A,u\neq z,u\neq s$$
$$\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)=w(f)}$$

\>Rovnice seèteme:
$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}\right)}=w(f)$$

\s{Poznámka:} Tato rovnice neznamená nic jiného, ne¾ ¾e se hrany vedoucí z~$A$ do $A$ jednou pøiètou a jednou odeètou. Projeví se pouze hrany, které vedou dovnitø a ven z $V\setminus A$, tak¾e toky vnitøních hran $A$ se \uv{po¾erou}.

\>Z toho plyne:
$$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(u,v)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(u,v)}=w(f).$$

\qed

\s{Dùsledek:} Pokud $f$ je tok, $R$ je øez, pak platí:  $w(f)\le c(R)$.

\proof
$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)\le f(A,V\setminus A)\le c(A,V\setminus A)\le c(R)$

\qed

\s{Definice:} {\I Zs-cesta} je posloupnost navazujících hran, u kterých ignorujeme orientaci.


\figure{cesta.eps}{Pøíklad zs-cesty.}{3in}

\s{Definice:} {\I Zs-cesta} $P$ ze $z$ do $s$ je {\I nasycená}, pokud
$$\exists\ e \in P\left\{{f(e)=c(e)\dots \hbox{orientovaná po smìru}}\atop{f(e)=0\dots \hbox{orientovaná proti smìru}}\right.$$
\>Jinak je zs-cesta nenasycená.

\s{Definice:} {\I Tok} je {\I nasycený}, pokud $\forall$ zs-cesta $P$ ze $z$ do $s$ je nasycená.

\s{Vìta:} Tok $f$ je nasycený $\Leftrightarrow$ $f$ je maximální. Navíc pro ka¾dý maximální tok $f$ existuje øez $R$, ¾e $w(f)=c(R)$.

\proof

\>\uv{$\Leftarrow$} sporem: Mìjme tok $f$ maximální a nenasycený. Existuje tedy zs-cesta $P$ nenasycená. Tuto cestu $P$ budeme vylep¹ovat.
\>Zvolíme:
$$\varepsilon_1=\min_{e\in P,\hbox{ po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}}$$
$$\varepsilon_2=\min_{e\in P,\hbox{ proti smìru}}{\{f(e)\}}$$
$$\varepsilon=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}>0$$
\>Poslední ostrá nerovnost vyplývá z definice nenasycené cesty. Nyní vylep¹íme tok $f$ o $\varepsilon$: $f\to f^{'}$:
$$f^{'}(e)=\left\{{\displaystyle f(e)+\varepsilon \dots e\in P\hbox{ po smìru}\hfill}\atop{{\displaystyle  f(e)-\varepsilon \dots e\in P\hbox{ proti smìru}\hfill}\atop{\displaystyle f(e) \dots e\not\in P\hfill}}\right.$$
\>Nyní je potøeba ovìøit, ¾e $f^{'}$ je skuteènì tok:
$$0\le f^{'}(e)\le c(e)\dots\hbox{platí stále díky volbì }\varepsilon.$$

\>Platnost Kirchhoffova zákonu ovìøíme rozborem pøípadù:
\figure{kirch.eps}{Rozbor pøípadù.}{4in}

\>$f^{'}$ je tedy tok, ov¹em potom platí:
$$w(f^{'})=w(f)+\varepsilon\Rightarrow w(f^{'})>w(f)\Rightarrow\hbox{SPOR.}$$

\>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme $A\subseteq V(G)$, ¾e $\forall\ v\in{} A$ existuje nenasycená cesta ze $z$ do $v$. $z \in A$, $s \not\in A$. $S(A,V\setminus A)$ je hledaný øez $R$. Podle lemmatu:
$$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=c(A,V\setminus A)=c(R)$$
Víme, ¾e $w(f)\le c(R)$. Staèilo uvá¾it nasycený tok $f$. Pak jsme sestrojili øez $R$ a~výraz pøe¹el v rovnost $c(R)=w(f)$ (a tedy je tok $f$ maximální).

\qed
}

Poslední vìta spolu s dùsledkem lemmatu dokazuje i hlavní vìtu o tocích. Pro ka¾dou sí» máme maximální tok a k nìmu øez stejné kapacity.
\qed

\figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení $V(G)$ na mno¾inu $A$ a $V\setminus A$ v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}

\s{Algoritmus:} (Fordùv-Fulkersonùv algoritmus hledání maximálního toku)

\algo
\:$f(e) := 0\ \forall e \in E$
\:while $\exists$ zlep¹ující cesta $P$, vylep¹i $P$ jako v dùkazu hlavní vìty
\:f je maximální
\endalgo

\h{Cvièení:}
\itemize\ibull
\:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o 1. Proto¾e máme horní odhad na maximální tok (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu bìhu algoritmu.
\:Je F-F algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano -- v¹echny kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad (pro obecné kapacity ov¹em takto definovaný F-F algoritmus nemusí být koneèný).
\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby úspì¹nì dobìhl? (2M krokù)
\endlist

\figure{2M.eps}{Pøíklad sítì. Kolik krokù musí maximálnì udìlat F-F algoritmus?}{2in}

\bye
