\input ../lecnotes.tex

\prednaska{2}{Slo¾itost, grafové algoritmy}
{(zapsal Martin Koutecký)}

\h{Model {\sc Ram}}

Pøi analýze algoritmu bychom chtìli nìjak popsat jeho slo¾itost. Abychom mohli
 udìlat toto, potøebujeme nejprve definovat výpoèetní model. Výpoèetních modelù
je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:

\s{Definice:} Random Access Machine ({\sc Ram})

{\sc Ram} poèítá jen s èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. A program samotný je
koneèná posloupnost instrukcí následujících druhù:
\itemize\ibull
\:Aritmetické a logické:
$X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
{\tt\char124} |<<|, |>>|\}$
\:Øídící: |goto| \<label>, |halt|
\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít
if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
% zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
% øádku. Díky.
\endlist

\s{Poznámka} (operandy):
\itemize\ibull
\:Konstanty (1, 2, \dots)
\:Adresované pøímo -- M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena A-Z jako aliasy pro
buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$, které nazýváme registry.
(tedy A=M[-1])
\:Adresované nepøímo -- M[M[konst.]] -- budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
\endlist

Samotný výpoèet probíhá takto:
\algo
\:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
definován.
\:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
programu.
\:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
výstup.
\endalgo


\h{Slo¾itost}
Jak dobøe popsat slo¾itost?
\numlist\ndotted
\:{\sc Ram} s jednotkovou cenou: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor $\approx$
maximální èíslo buòky minus minimální èíslo buòky pou¾ité pøi výpoètu.
Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
\:{\sc Ram} s logaritmickou cenou: èas $\approx$ \#bitù zpracovávaných èísel,
prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
\:{\sc Ram} s omezenými èísly: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme
nìjakým polynomem $P(n)$. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám obvykle nevadí).
\endlist

% Z minulých zápiskù.
\s{Definice:}
\itemize\ibull
\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako poèet
elementárních operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
$x$.
\:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
\:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
$$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
\:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
$$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
\endlist

Nyní zkusíme zanalyzovat nìjaký konkrétní algoritmus. Vezmìme napøíklad øazení
pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme poèet èísel $n$ (v
registru N), v buòkách $1,\dots, n$ je nesetøídìná posloupnost èísel. Ta pak
tøídíme následujícím algoritmem zapsaným v pseudokódu:
\algo
\:Pro $i=1$ do $n$:
\::$j\leftarrow i$
\::Pro $k=i$ do $n$:
\:::Je-li $[k]<[j]\Rightarrow j\leftarrow k$
\::$[i]$ prohodíme s $[j]$.
\endalgo

Jak by takový algoritmus vypadal zapsaný v instrukcích {\sc Ram}? Budeme muset
pou¾ít návì¹tí a goto místo cyklù, jména registrù místo promìnných a
tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:

\verbatim{
	I <- 1
LOOP:	J <- I
	M <- I
MIN:	IF [J]<[M] ==> M <- J
	J <- J+1
	IF J<=N ==> GOTO MIN
	X <- [I]
	[I] <- [M]
	[M] <- X
	I <- I+1
	IF I<=N ==> GOTO LOOP
}

Pojïme se podívat, jaká je èasová slo¾itost jednotlivých èástí algoritmu.
Cyklus |MIN| provede $3\cdot (N-I+1)$ instrukcí. Mimo cyklu |MIN| je v |LOOP|
je¹tì 7 instrukcí, tedy celý |LOOP| provede $3\cdot (N-I+1)+7$ instrukcí.
Celkovì se dostáváme k souètu
$$1+3\cdot N+7+3\cdot (N-1)+7+3\cdot (N-2)+7+3\cdot (N-3)+\dots +3\cdot 1+7 =$$
$$1+7\cdot N+3\cdot {{N(N+1)}\over{2}} = {{3}\over{2}}N^2 + 8,5N + 1$$

Na multiplikativních konstantách ale nezále¾í -- zaprvé se na reálných strojích
ceny jednotlivých (pro nás jednotkových) instrukcí stejnì li¹í, zadruhé
asymptoticky pomalej¹í funkce nakonec pro velké N v¾dy prohraje, tak¾e nemá cenu
(alespoò pøi prvním pøiblí¾ení k problému) multiplikativními konstantami se
zabývat. Tím pádem nezále¾í ani na èlenech ni¾¹í øádù:
$$1{,}5N^2 + 8{,}5N + 1 \leq 1{,}5N^2 + 8{,}5N^2 + N^2 = 11N^2\approx N^2$$
Kdy¾ u¾ toto víme, mù¾eme zanedbávat konstanty prùbì¾nì: $N$ cyklù po
$\approx~N$~krocích $\Rightarrow~\approx~N^2$ krokù. To nás vede k zavedení tzv.
{\I asymptotické notace:}

\h{Asymptotická notace}
\s{Definice:} Pro funkce $f,g: {\bb N} \rightarrow {\bb R}^+$ øekneme,
¾e $f$ je $\O(g)$ právì tehdy, kdy¾ $\exists c>0: \forall ^{*} n \in {\bb N}:
f(n) \leq c \cdot g(n)$.
Zde $\forall^* n \in {\bb N}$ je zkratka za \uv{$\exists n_0 \in {\bb N}:
\forall n \geq n_0$}, tedy
\uv{pro v¹echna~$n$ a¾ na~koneènì mnoho výjimek.}

\s{Poznámka:} $\O$-notace tedy vyjadøuje, ¾e funkce~$f$ je skoro v¹ude men¹í
nebo nejvý¹e rovná nìjakému reálnému násobku funkce~$g$. Aèkoliv zápis vypadá
jako rovnost, rozhodnì není symetrický: napøíklad platí $\log n=\O(n)$, ale
neplatí $n=\O(\log n)$. Formálnì by bylo lep¹í pova¾ovat $\O(g)$ za tøídu
funkcí, pro které platí, ¾e se dají shora odhadnout kladným násobkem funkce~$g$,
a~psát tedy~$f\in\O(g)$, ale zvyk je bohu¾el ¾elezná ko¹ile.

\s{Pøíklady:} $2.5n^{2} = \O(n^{2})$, $2.5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.

\>Také platí:
$$
\O(f)+\O(g) \in \O(f+g),
$$
èím¾ myslíme, ¾e pokud vezmeme libovolnou $f'=O(f)$ a $g'=O(g)$, bude
$f'+g'=O(f+g)$.
To platí, jeliko¾ skoro v¹ude je $f' \leq cf$, $g'\leq dg$, a~tedy $f'+g' \le
cf+dg \le (c+d)(f+g)$.

\s{Cvièení:} Uka¾te, ¾e:
\itemize\ibull
\:$\O(f) \cdot \O(g)=\O(f \cdot g)$,
\:$\O(f+g)=\O(\max(f,g))$,
\:$\O(n^{2})+\O(n)=\O(n^{2}+n)=\O(n^{2})$.
\endlist

$\O$-notace popisuje horní odhad asymptotického chování funkce. Mnohdy v¹ak
potøebujeme také odhadnout funkci zespodu (chceme-li øíci, ¾e algoritmus
potøebuje {\I alespoò} nìjaké mno¾ství èasu nebo pamìti), pøípadnì z~obou stran:

\s{Definice:}

\itemize\ibull
\:$f=\Omega(g) \equiv \exists c>0:\forall^* n \in {\bb N}: f(n) \geq c\cdot
g(n)$.

$\Omega$-notace tedy øíká, ¾e hodnota funkce $f$ je v¾dy stejná nebo vy¹¹í ne¾
nìjaký $c$-násobek funkce $g$, a tedy $g=\O(f)$.
\:$f=\Theta(g) \equiv f=O(g) \wedge f=\Omega(g)$

nebo výøeènìji:

$f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
c_{2}\cdot g(n)$ To znamená, ¾e existují nezáporné reálné konstanty
$c_{1},c_{2}$ takové, ¾e se funkce $f(n)$ dá ohranièit $c_{1}$- a
$c_{2}$-násobkem funkce $g(n)$.
\endlist

\s{Porovnání rùstu funkcí:} (aneb jak moc máme algoritmy rádi podle jejich
chování od~nejlep¹ích k~nejhor¹ím)

\itemize\ibull
\:$\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
\:$\Theta(\log{( \log{n} )})$
\:$\Theta(\log{n})$ \dots\ logaritmická
\:$\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1)$ \dots\ sublineární
\:$\Theta(n)$ \dots\ lineární
\:$\Theta(n^{2})$ \dots\ kvadratická
\:$\Theta(n^{k})$ \dots\ polynomiální
\:$\Theta(2^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $2$
\:$\Theta(3^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $3$
\:$\Theta(k^{n})$ \dots\  exponenciální pøi základu $k>1$
\:$\Theta(n!)$ \dots\ faktoriálová
\:$\Theta(n^{n})$
\:\dots\ nekoneènì mnoho dal¹ích tøíd (i mezi tìmi vý¹e uvedenými)
\endlist

\>{\sl Poznámka:} Pokud se v~odhadu slo¾itosti vyskytne logaritmus (jinde ne¾
v~exponentu), nezále¾í na tom, jaký má základ, proto¾e platí:
$$
\log_k{n}={{\log_c{n}}\over{\log_c{k}}}={{1}\over{\log_c{k}}}\cdot \log_c{n},
$$
kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$.}

\s{Pøíklad:} Select sort (rozebraný vý¹e):
Kdy¾ jej pustíme na $n$ èísel, pak èasová slo¾itost je $T(n) = \Theta(n^2)$ a
prostorová $S(n) = \Theta(n)$.

\h{Úvod do grafových algoritmù}
Dal¹í dùle¾itou a zajímavou kapitolou jsou grafové algoritmy. Napøíklad
následující pøíklady lze (i kdy¾ to tak obèas na první pohled nevypadá) øe¹it
nìjakým grafovým algoritmem:
\itemize\ibull
\:Mám mapku silnièní sítì, v ní oznaèené \uv{Doma} a \uv{©kola}. Dostanu se do
¹koly (le¾í ve stejné komponentì souvislosti)? Dostanu se do ¹koly, kdy¾ v zimì
napadne hodnì snìhu a nìkteré cesty budou neprùjezdné? A jaký nejkrat¹í úsek
cest musí silnièáøi prohrnout, aby byla v¹echna místa na mapì dostupná?
\:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ se ètvereèky
oznaèenými èísly od jedné do osmi a jednou mezerou, ètvereèky jsou zamíchané a
na¹ím úkolem je správnì je seøadit. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
to staèí? Jde to vùbec se zadáním, které jsme dostali?
\:Jaké je nejkrat¹í (kladné, celé) èíslo v desítkové soustavì zapsané jen
èíslicemi 1, 0 dìlitelné tøinácti? Nakreslíme orientovaný graf s vrcholy 1 a¾ 13
a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$
(z~ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici
0). Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled
z~0~do~1. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
\endlist
Podobné a dal¹í úlohy budeme øe¹it v následujících kapitolách.

\bye
