\input ../sgr.tex

\prednaska{13}{Nejkrat¹í cesty}{}

\def\ppsp{1-1}
\def\sssp{1-$n$}
\def\apsp{$n$-$n$}
\def\astar{A\kern-0.15em *}

Problém hledání nejkrat¹í cesty v~(obvykle ohodnoceném orientovaném) grafu
provází teorii grafových algoritmù od~samých poèátkù. Základní algoritmy
pro hledání cest jsou nedílnou souèástí základních kursù programování
a algoritmù, my se budeme vìnovat zejména rùzným jejich vylep¹ením.

Uva¾ujme tedy nìjaký orientovaný graf, jeho¾ ka¾dá hrana~$e$ je opatøena
{\I délkou} $\ell(e)\in{\bb R}$. Mno¾inì hran (tøeba sledu nebo cestì)
pak pøiøadíme délku rovnou souètu délek jednotlivých hran.

Pro vrcholy $u,v$ definujeme jejich {\I vzdálenost} $d(u,v)$ jako nejmen¹í
mo¾nou délku cesty z~$u$ do~$v$ (jeliko¾ cest je v~grafu koneènì mnoho,
minimum v¾dy existuje). Pokud z~$u$ do~$v$ ¾ádná cesta nevede, polo¾íme
$d(u,v) := \infty$.

Obvykle se studují následující tøi problémy:

\itemize\ibull
\:{\bo 1-1} neboli {\bo P2PSP} (Point to Point Shortest Path) -- chceme nalézt nejkrat¹í
  cestu z~daného vrcholu~$u$ do~daného vrcholu~$v$. (Pokud je nejkrat¹ích cest
  více, tak libovolnou z~nich.)
\:{\bo 1-n} neboli {\bo SSSP} (Single Source Shortest Paths) -- pro daný vrchol~$u$ chceme
  nalézt nejkrat¹í cesty do~v¹ech ostatních vrcholù.
\:{\bo n-n} neboli {\bo APSP} (All Pairs Shortest Paths) -- zajímají nás nejkrat¹í cesty
  mezi v¹emi dvojicemi vrcholù.
\endlist

Pøekvapivì, tak obecnì, jak jsme si uvedené problémy definovali, je neumíme
øe¹it v~polynomiálním èase: pro grafy, které mohou obsahovat hrany záporných
délek bez jakýchkoliv omezení, je toti¾ hledání nejkrat¹í cesty NP-tì¾ké
(lze na~nìj snadno pøevést existenci hamiltonovské cesty). V¹echny známé
polynomiální algoritmy toti¾ místo nejkrat¹í cesty hledají nejkrat¹í sled
-- nijak nekontrolují, zda cesta neprojde jedním vrcholem vícekrát.

Na¹tìstí pro nás je to v~grafech bez cyklù záporné délky toté¾: pokud se
v~nalezeném sledu vyskytne cyklus, mù¾eme jej \uv{vystøihnout} a tím získat
sled, který není del¹í a~který má ménì hran. Ka¾dý nejkrat¹í sled tak
mù¾eme upravit na~stejnì dlouhou cestu.
V~grafech bez záporných cyklù je tedy jedno, zda hledáme sled nebo cestu;
naopak vyskytne-li se záporný cyklus dosa¾itelný z~poèáteèního vrcholu,
nejkrat¹í sled ani neexistuje.

Navíc se nám bude hodit, ¾e ka¾dý prefix nejkrat¹í cesty je opìt nejkrat¹í
cesta. Jinými slovy pokud nìkterá z~nejkrat¹ích cest z~$u$ do~$v$ vede
pøes nìjaký vrchol~$w$, pak její èást z~$u$ do~$w$ je jednou z~nejkrat¹ích
cest z~$u$ do~$w$. (V~opaèném pøípadì bychom mohli úsek $u\ldots w$ vymìnit za~krat¹í.)

Díky této {\I prefixové vlastnosti} mù¾eme pro ka¾dý vrchol~$u$ sestrojit jeho {\I strom
nejkrat¹ích cest}~${\cal T}(u)$. To je nìjaký podgraf grafu~$G$, který má tvar
stromu zakoøenìného v~$u$ a orientovaného smìrem od~koøene, a~platí pro nìj, ¾e
pro ka¾dý vrchol~$v$ je (jediná) cesta z~$u$ do~$v$ v~tomto stromu jednou
z~nejkrat¹ích cest z~$u$ do~$v$ v~pùvodním grafu.

\s{Pozorování:} Strom nejkrat¹ích cest v¾dy existuje.

\proof
Nech» $u=v_1,\ldots,v_n$ jsou v¹echny vrcholy grafu~$G$. Indukcí budeme
dokazovat, ¾e pro ka¾dé~$i$ existuje strom~${\cal T}_i$, v~nìm¾ se nacházejí nejkrat¹í
cesty z~vrcholu~$u$ do vrcholù $v_1,\ldots,v_i$. Pro $i=1$ staèí uvá¾it
strom obsahující jediný vrchol~$u$. Ze~stromu ${\cal T}_{i-1}$ pak vyrobíme
strom ${\cal T}_i$ takto: Nalezneme v~$G$ nejkrat¹í cestu z~$u$ do~$v_i$
a oznaèíme~$z$ poslední vrchol na~této cestì, který se je¹tì vyskytuje v~${\cal T}_{i-1}$.
Úsek nejkrat¹í cesty od~$z$ do~$v_i$ pak pøidáme do~${\cal T}_{i-1}$
a díky prefixové vlastnosti bude i cesta z~$u$ do~$v_i$ v~novém stromu
nejkrat¹í.
\qed

Zbývá se dohodnout, v~jakém tvaru mají na¹e algoritmy vydávat výsledek.
U~problémù typu \ppsp{} je nejjednodu¹¹í vypsat celou cestu, u~\sssp{} mù¾eme jako výstup
vydat strom nejkrat¹ích cest z~daného poèátku (v¹imnìte si, ¾e staèí
uvést pøedchùdce ka¾dého vrcholu), u~\apsp{} vydáme strom nejkrat¹ích cest
pro ka¾dý ze~zdrojových vrcholù.

Èasto se ov¹em uká¾e, ¾e podstatná èást problému se skrývá v~samotném
výpoètu vzdáleností a sestrojení pøedchùdcù je triviálním roz¹íøením algoritmu.
Budeme tedy obvykle jen poèítat vzdálenosti a samotnou rekonstrukci cest
ponecháme ètenáøi jako snadné cvièení.

\h{Relaxaèní algoritmus}

Zaènìme problémem \sssp{} a oznaème~$u$ výchozí vrchol. Vìt¹ina známých
algoritmù funguje tak, ¾e pro ka¾dý vrchol~$v$ udr¾ují ohodnocení $h(v)$,
které v~ka¾dém okam¾iku odpovídá délce nìjakého sledu z~$u$ do~$v$. Postupnì
toto ohodnocení upravují, a¾ se z~nìj stane vzdálenost $d(u,v)$ a algoritmus
se mù¾e zastavit.

Vhodnou operací pro vylep¹ování ohodnocení je takzvaná {\I relaxace.}
Vybereme si nìjaký vrchol~$v$ a pro v¹echny jeho sousedy~$w$ spoèítáme
$h(v) + \ell(v,w)$, tedy délku sledu, který vznikne roz¹íøením aktuálního
sledu do~$v$ o~hranu $(v,w)$. Pokud je tato hodnota men¹í ne¾~$h(w)$,
tak jí $h(w)$ pøepí¹eme.

Abychom zabránili opakovaným relaxacím tého¾ vrcholu, které nic nezmìní,
budeme rozli¹ovat tøi stavy vrcholù: {\I nevidìn} (je¹tì jsme ho nenav¹tívili),
{\I otevøen} (zmìnilo se ohodnocení, èasem chceme relaxovat) a {\I uzavøen}
(u¾ jsme relaxovali a není potøeba znovu).

Ná¹ algoritmus bude fungovat následovnì:

\algo
\:$h(*)\leftarrow \infty$, $h(u)\leftarrow 0$.
\:$\<stav>(*)\leftarrow\<nevidìn>$, $\<stav>(u)\leftarrow\<otevøen>$.
\:Dokud existují otevøené vrcholy, opakujeme:
\::$v\leftarrow\hbox{libovolný otevøený vrchol}$.
\::$\<stav>(v)\leftarrow\<uzavøen>$.
\::Relaxujeme~$v$:
\:::Pro v¹echny hrany $vw$ opakujeme:
\::::Je-li $h(w) > h(v) + \ell(v,w)$:
\:::::$h(w)\leftarrow h(v) + \ell(v,w)$.
\:::::$\<stav>(w)\leftarrow\<otevøen>$.
\:Vrátíme výsledek $d(u,v)=h(v)$ pro v¹echna~$v$.
\endalgo

Podobnì jako u~minimálních koster, i zde se jedná o~meta-algoritmus, proto¾e
v~kroku~4 nespecifikuje, který z~otevøených vrcholù vybírá. Pøesto
ale mù¾eme dokázat nìkolik zajímavých tvrzení, která na~konkrétním zpùsobu
výbìru nezávisejí.

\s{Vìta:} Spustíme-li meta-algoritmus na graf bez záporných cyklù, pak:

\numlist\nparen
\:Ohodnocení $h(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu z~$u$ do~$v$.
\:$h(v)$ dokonce odpovídá délce nìjaké cesty z~$u$ do~$v$.
\:Algoritmus se v¾dy zastaví.
\:Po zastavení jsou oznaèeny jako uzavøené právì ty vrcholy, které jsou dosa¾itelné z~$u$.
\:Po zastavení mají koneèné~$h(v)$ právì v¹echny uzavøené vrcholy.
\:Pro ka¾dý dosa¾itelný vrchol je na~konci $h(v)$ rovno $d(u,v)$.
\endlist

\proof

\numlist\nparen
\:Doká¾eme indukcí podle poètu krokù algoritmu.
\:Staèí rozmyslet, v~jaké situaci by vytvoøený sled mohl obsahovat cyklus.
\:Cest, a~tím pádem i mo¾ných hodnot~$h(v)$ pro ka¾dý~$v$, je koneènì mnoho.
\:Implikace $\Rightarrow$ je triviální, pro $\Leftarrow$ staèí uvá¾it neuzavøený vrchol,
  který je dosa¾itelný z~$u$ cestou o~co nejmen¹ím poètu hran.
\:$h(v)$ nastavujeme na~koneènou hodnotu právì v~okam¾icích, kdy se vrchol stává otevøeným.
  Ka¾dý otevøený vrchol je èasem uzavøen.
\:Kdyby tomu tak nebylo,
  vyberme si ze~\uv{¹patných} vrcholù~$v$ takový, pro nìj¾ obsahuje nejkrat¹í cesta z~$u$ do~$v$
  nejmen¹í mo¾ný poèet hran. Vrchol~$v$ je zajisté rùzný od~$u$, tak¾e má na~této cestì nìjakého
  pøedchùdce~$w$. Pøitom~$w$ u¾ musí být ohodnocen správnì a relaxace, která mu toto ohodnocení
  nastavila, ho musela prohlásit za~otevøený. Jen¾e ka¾dý otevøený vrchol je pozdìji uzavøen,
  tak¾e~$w$ poté musel být je¹tì alespoò jednou relaxován, co¾ muselo sní¾it~$h(v)$ na správnou
  vzdálenost.
\qeditem
\endlist

\>Dokázali jsme tedy, ¾e meta-algoritmus pro libovolnou implementaci kroku~4
spoèítá správné vzdálenosti.

\medskip

\s{Cvièení:}
\itemize\ibull
\:Nech» do algoritmu doplníme udr¾ování pøedchùdcù tak, ¾e v~kroku~9
  pøenastavíme pøedchùdce vrcholu~$w$ na vrchol~$v$. Doka¾te, ¾e pøedchùdci
  dosa¾itelných vrcholù budou tvoøit strom a ¾e tento strom bude stromem
  nejkrat¹ích cest z~vrcholu~$u$.
\:Doka¾te, ¾e pro graf, v~nìm¾ je alespoò jeden záporný cyklus dosa¾itelný
  z~poèáteèního vrcholu, se algoritmus nezastaví a ohodnocení v¹ech vrcholù
  na cyklu postupnì klesnou libovolnì hluboko. Nedosa¾itelné záporné cykly
  chod algoritmu samozøejmì nijak neovlivní.
\endlist

\h{Bellmanùv-Fordùv-Mooreùv algoritmus}

Bellman \cite{bellman:bfm}, Ford \cite{ford:bfm} a Moore objevili nezávisle na sobì algoritmus (øíkejme mu BFM),
který lze v~øeèi na¹eho meta-algoritmu formulovat takto: Otevøené vrcholy
udr¾ujeme ve~frontì (v¾dy relaxujeme vrchol na poèátku fronty, novì otevírané
zaøazujeme na~konec). Co toto pravidlo zpùsobí?

\s{Vìta:} Èasová slo¾itost algoritmu~BFM èiní $\O(nm)$.

\proof
Bìh algoritmu rozdìlíme na~fáze. Nultá fáze sestává z~vlo¾ení vrcholu~$u$
do~fronty. V~$(i+1)$-ní fázi relaxujeme ty vrcholy, které byly do~fronty
ulo¾eny bìhem $i$-té fáze.

Jeliko¾ relaxace vrcholu trvá lineárnì se stupnìm vrcholu a ka¾dý vrchol
se dané fáze úèastní nejvý¹e jednou, trvá jedna fáze $\O(m)$. Zbývá ukázat,
¾e fází provedeme nejvý¹e~$n$.

Indukcí doká¾eme, ¾e na konci $i$-té fáze je ka¾dé ohodnocení $h(v)$ shora omezeno
délkou nejkrat¹ího z~$uv$-sledù o~nejvý¹e~$i$ hranách. Pro $i=0$ to triviálnì
platí. Uva¾ujme nyní vrchol~$v$ na konci $(i+1)$-ní fáze a nìjaký nejkrat¹í $uv$-sled~$P$
o~$i+1$ hranách. Oznaème $wv$ poslední hranu tohoto sledu a $P'$ sled bez této hrany,
který tedy má délku~$i$. Podle indukèního pøedpokladu je na konci $i$-té fáze
$h(w)\le \ell(P')$. Tuto hodnotu získalo $h(w)$ nejpozdìji v~$i$-té fázi, pøi tom jsme
vrchol~$w$ otevøeli, tak¾e jsme ho nejpozdìji v~$(i+1)$-ní fázi zavøeli a relaxovali.
Po této relaxaci je ov¹em $h(v)\le h(w)+\ell(w,v)\le \ell(P') + \ell(w,v) = \ell(P)$.
\qed

\s{Cvièení:}
\itemize\ibull
\:Uka¾te, ¾e asymptoticky stejné èasové slo¾itosti by dosáhl algoritmus,
  který by vrcholy oèísloval $v_1,\ldots,v_n$ a opakovanì by je v~tomto
  poøadí relaxoval tak dlouho, dokud by se ohodnocení mìnila.
\:Jak algoritmus upravit, aby v~$i$-té fázi spoèítal minimální délky sledù
  o~právì~$i$ hranách?
\:Jak lze algoritmus BFM vyu¾ít k~nalezení záporného cyklu?
\endlist

\h{Dijkstrùv algoritmus}

Pokud jsou v¹echny délky hran nezáporné, mù¾eme pou¾ít efektivnìj¹í pravidlo
pro výbìr vrcholu navr¾ené Dijkstrou \cite{dijkstra:mstandpath}. To øíká, ¾e v¾dy relaxujeme ten z~otevøených
vrcholù, jeho¾ ohodnocení je nejmen¹í.

\s{Vìta:} Dijkstrùv algoritmus uzavírá vrcholy v~poøadí podle neklesající
vzdálenosti od~$u$ a ka¾dý dosa¾itelný vrchol uzavøe právì jednou.

\proof
Indukcí doká¾eme, ¾e v~ka¾dém okam¾iku mají v¹echny uzavøené vrcholy ohodnocení
men¹í nebo rovné ohodnocením v¹ech otevøených vrcholù. Na~poèátku to jistì platí.
Nech» nyní uzavíráme vrchol~$v$ s~minimálním $h(v)$ mezi otevøenými. Bìhem jeho
relaxace nemù¾eme ¾ádnou hodnotu sní¾it pod~$h(v)$, jeliko¾ v~grafu s~nezápornými
hranami je $h(v) + \ell(v,w) \ge h(v)$. Hodnota zbývajících otevøených vrcholù
tedy neklesne pod hodnotu tohoto novì uzavøeného. Hodnoty døíve uzavøených vrcholù
se nemohou nijak zmìnit.
\qed

Pøímoèará implementace Dijkstrova algoritmu by tedy poka¾dé v~èase $\O(n)$
vybrala otevøený vrchol s~nejmen¹ím ohodnocením, v~èase $\O(n)$ ho relaxovala
a toto by se opakovalo nejvý¹e $n$-krát. Algoritmus by tudí¾ dobìhl v~èase $\O(n^2)$,
co¾ je pro husté grafy zajisté optimální. Zkusíme nyní zrychlit výpoèet
na~øídkých grafech.

V¹echny relaxace trvají dohromady $\O(\sum_v \deg(v)) = \O(m)$, tak¾e úzkým hrdlem je
vybírání minima. Pou¾ijeme pro nìj vhodnou datovou strukturu, v~ní¾ budeme udr¾ovat
mno¾inu v¹ech otevøených vrcholù spolu s~jejich ohodnoceními. Od~datové struktury
potøebujeme, aby umìla operace \<Insert> (vlo¾ení vrcholu), \<ExtractMin> (nalezení
a smazání minima) a \<Decrease> (sní¾ení hodnoty vrcholu). První dvì operace pøitom
voláme nejvý¹e $n$-krát a operaci \<Decrease> nejvý¹e $m$-krát. Celý algoritmus
tedy dobìhne v~èase
$$\O(nT_I(n) + nT_E(n) + mT_D(n)),$$
kde $T_I(n)$, $T_E(n)$ a $T_D(n)$ jsou èasové slo¾itosti jednotlivých operací
na~struktuøe o~nejvý¹e~$n$ prvcích (staèí amortizovanì).

\>Jaké mo¾nosti máme pro volbu struktury?

\itemize\ibull
\:{\I pole} -- \<Insert> a \<Decrease> stojí konstantu, \<ExtractMin> trvá $\O(n)$,
  celkem tedy $\O(n^2)$.
\:{\I (binární) halda} -- v¹echny tøi operace umíme provést v~èase $\O(\log n)$, tak¾e celkem
  $\O(m\log n)$. To je pro husté grafy hor¹í, pro øídké lep¹í.
\:{\I $k$-regulární halda} -- pokud haldu upravíme tak, ¾e ka¾dý prvek bude mít a¾ $k$ synù,
  hloubka haldy klesne na~$\O(\log_k n)$. Operace \uv{vybublávající} prvky smìrem nahoru,
  co¾ je \<Insert> a \<Decrease>, se zrychlí na~$\O(\log_k n)$. Ov¹em \<ExtractMin> potøebuje
  zkoumat v¹echny syny ka¾dého nav¹tíveného prvku, tak¾e se zpomalí na $\O(k\log_k n)$.

  Celková slo¾itost tedy vyjde $\O(nk\log_k n + m\log_k n)$. Oba èleny se vyrovnají
  pro $k=m/n$, èím¾ získáme $\O(m\log_{m/n} n)$. Èlen $\log_{m/n} n$ je pøitom $\O(1)$,
  kdykoliv je $m\ge n^{1+\varepsilon}$ pro nìjaké~$\varepsilon>0$, tak¾e pro dostateènì
  husté grafy jsme získali lineární algoritmus.

  (V¹imnìte si, ¾e pro $m\approx n^2$ algoritmus zvolí $k\approx n$, tak¾e halda degeneruje
  na jediné patro, tedy na pole, které se opravdu ukázalo být optimální volbou pro husté grafy.)
\:{\I Fibonacciho halda} \cite{ft:fibonacci} -- \<Insert> a \<Decrease> stojí $\O(1)$, \<ExtractMin> má slo¾itost
  $\O(\log n)$ [v¹e amortizovanì]. Dijkstrùv algoritmus proto dobìhne v~èase $\O(m + n\log n)$.
  To je lineární pro grafy s~hustotou $\Omega(\log n)$. Té¾e slo¾itosti operací dosahují
  i jiné, ménì známé haldy \cite{haeupler:rankph,elmasry:violheap}, které mohou být v~praxi
  výraznì rychlej¹í.
\:{\I Monotónní haldy} -- mù¾eme pou¾ít nìjakou jinou haldu, která vyu¾ívá toho,
  ¾e posloupnost odebíraných prvkù je neklesající. Pro celá èísla na~\hbox{RAMu} to mù¾e
  být napøíklad Thorupova halda \cite{thorup:queue} se slo¾itostí $\O(\log\log n)$ u~operace \<ExtractMin>
  a $\O(1)$ u~ostatních operací. Dijkstra tedy bì¾í v~$\O(m + n\log\log n)$.
\:{\I Datové struktury pro omezené universum} -- prozkoumáme vzápìtí.
\endlist

\s{Cvièení:}

\itemize\ibull
\:Najdìte pøíklad grafu se zápornými hranami (ale bez záporných cyklù),
  na~kterém Dijkstrùv algoritmus sel¾e.
\:Rozmyslete si, ¾e pokud nevyu¾ijeme nìjaké speciální vlastnosti èísel (celoèíselnost,
  omezený rozsah), je mez $\O(m+n\log n)$ nejlep¹í mo¾ná, proto¾e Dijkstrovým algoritmem
  mù¾eme tøídit $n$-tici èísel. Thorup dokonce dokázal \cite{thorup:equiv}, ¾e z~ka¾dého tøídícího algoritmu
  se slo¾itostí $\O(nT(n))$ mù¾eme odvodit haldu se slo¾itostí mazání $\O(T(n))$.
\:Jsou-li délky hran celoèíselné, mù¾eme se na Dijkstrùv algoritmus dívat i takto:
  Pøedstavme si, ¾e ka¾dou hranu nahradíme cestou tvoøenou pøíslu¹ným poètem hran jednotkové délky
  a na vzniklý neohodnocený graf spustíme prohledávání do~¹íøky. To samozøejmì vydá
  správný výsledek, ale pomìrnì pomalu, proto¾e bude vìt¹inu èasu trávit posouváním
  vlny \uv{uvnitø} pùvodních hran. Mù¾eme si tedy pro ka¾dou pùvodní hranu naøídit
  \uv{budík}, který nám øekne, za~kolik posunutí vlny dospìjeme na~její konec.
  Doka¾te, ¾e tento algoritmus je ekvivalentní s~Dijkstrovým.
\endlist

\h{Celoèíselné délky}

Uva¾ujme nyní grafy, v~nich¾ jsou v¹echny délky hran nezáporná celá èísla omezená
nìjakou konstantou~$L$. V¹echny vzdálenosti jsou tedy omezeny èíslem~$nL$, tak¾e
nám staèí datová struktura schopná uchovávat takto omezená celá èísla.

Pou¾ijeme jednoduchou pøihrádkovou strukturu: pole indexované hodnotami od~0 do~$nL$,
jeho $i$-tý prvek bude obsahovat seznam vrcholù, jejich¾ ohodnocení je rovno~$i$.
Operace \<Insert> a \<Decrease> zvládneme v~konstantním èase, budeme-li si u~ka¾dého
prvku pamatovat jeho polohu v~seznamu. Operace \<ExtractMin> potøebuje najít první
neprázdnou pøihrádku, ale jeliko¾ víme, ¾e posloupnost odebíraných minim je monotónní,
staèí hledat od místa, kde se hledání zastavilo minule. V¹echna hledání pøihrádek
tedy zaberou dohromady $\O(nL)$ a celý Dijkstrùv algoritmus bude trvat $\O(nL + m)$.

Prostorová slo¾itost $\O(nL+m)$ je nevalná, ale mù¾eme ji jednoduchým trikem
sní¾it: V¹imneme si, ¾e v¹echna koneèná ohodnocení vrcholù nemohou být vìt¹í
ne¾ aktuální minimum zvìt¹ené o~$L$. Jinými slovy v¹echny neprázdné pøihrádky
se nacházejí v~úseku pole dlouhém~$L+1$, tak¾e staèí indexovat modulo~$L+1$.
Pouze si musíme dávat pozor, abychom správnì poznali, kdy se struktura
vyprázdnila, co¾ zjistíme napøíklad pomocí poèítadla otevøených vrcholù. Èas si
asymptoticky nezhor¹íme, prostor klesne na~$\O(L+m)$.

Podobný trik mù¾eme pou¾ít i pro libovolnou jinou datovou strukturu: rozsah èísel
rozdìlíme na~\uv{okna} velikosti~$L$ (v~$i$-tém oknì jsou èísla $iL,iL+1,\ldots,(i+1)L-1$).
V~libovolné chvíli mohou tedy být neprázdná nejvý¹e dvì okna. Staèí nám proto
poøídit si dvì struktury pro ukládání èísel v~rozsahu $0,\ldots,L-1$ -- jedna
z~nich bude reprezentovat aktuální okno (to, v~nìm¾ le¾elo minulé minimum),
druhá okno bezprostøednì následující. Minimum ma¾eme z~první struktury; pokud
u¾ je prázdná, obì struktury prohodíme. Operace \<Insert> podle hodnoty urèí,
do~které struktury se má vkládat. S~operací \<Decrease> je to slo¾itìj¹í --
hodnota z~vy¹¹í struktury mù¾e pøeskoèit do té ni¾¹í, ale v~takovém pøípadì
ji ve~vy¹¹í struktuøe vyma¾eme (to je \<Decrease> na $-\infty$ následovaný
\<ExtractMin>em) a do~té ni¾¹í vlo¾íme. To se ka¾dému prvku mù¾e pøihodit nejvý¹e
jednou, tak¾e stále platí, ¾e se ka¾dý prvek úèastní $\O(1)$ vlo¾ení a $\O(1)$
extrakcí minima.

Ukázali jsme tedy, ¾e pro na¹e potøeby postaèuje struktura schopná uchovávání
èísel men¹ích nebo rovných~$L$.

Nabízí se pou¾ít van Emde-Boasùv strom z~kapitoly o~výpoèetních modelech.
Ten dosahuje slo¾itosti $\O(\log\log L)$ pro operace \<Insert> a \<ExtractMin>,
operaci \<Decrease> musíme pøekládat na \<Delete> a \<Insert>. Celková
slo¾itost Dijkstrova algoritmu vyjde $\O(L+m\log\log L)$, pøièem¾ èas~$L$
spotøebujeme na inicializaci struktury (té se lze za jistých podmínek vyhnout,
viz zmínìná kapitola).

Vra»me se ale je¹tì k~vyu¾ití pøihrádek\dots

\h{Víceúrovòové pøihrádky}

Podobnì jako u~tøídìní èísel, i~zde se vyplácí stavìt pøihrádkové struktury
víceúrovòovì (pùvodnì popsáno Goldbergem a Silversteinem \cite{goldberg:mlb}).
Jednotlivé hodnoty budeme zapisovat v~soustavì o~základu~$B$,
který zvolíme jako nìjakou mocninu dvojky, abychom mohli s~èíslicemi tohoto
zápisu snadno zacházet pomocí bitových operací. Ka¾dé èíslo tedy zabere nejvý¹e
$d=1+\lfloor\log_B L\rfloor$ èíslic; pokud bude krat¹í, doplníme ho zleva nulami.

Nejvy¹¹í patro struktury bude tvoøeno polem $B$~pøihrádek, v~$i$-té z~nich
budou ulo¾ena ta èísla, jejich¾ èíslice nejvy¹¹ího øádu je rovna~$i$. Za~{\I aktivní}
prohlásíme tu pøihrádku, která obsahuje aktuální minimum. Pøihrádky s~men¹ími
indexy jsou prázdné a zùstanou takové a¾ do~konce výpoètu, proto¾e halda
je monotónní. Pokud v~pøihrádce obsahující minimum bude více prvkù, budeme
ji rozkládat podle druhého nejvy¹¹ího øádu na dal¹ích~$B$ pøihrádek atd.
Celkem tak vznikne a¾~$d$ úrovní.

\>Struktura bude obsahovat následující data:

\itemize\ibull
\:Parametry $L$, $B$ a~$d$.
\:Pole úrovní (nejvy¹¹í má èíslo~$d-1$, nejni¾¹í~0), ka¾dá úroveò je buïto prázdná
  (a pak jsou prázdné i~v¹echny ni¾¹í), nebo obsahuje pole~$U_i$ o~$B$ pøihrádkách
  a v~ka¾dé z~nich seznam prvkù. Pole úrovní pou¾íváme jako zásobník, udr¾ujeme
  si èíslo nejni¾¹í neprázdné úrovnì.
\:Hodnotu~$\mu$ pøedchozího odebraného minima.
\endlist

Operace \<Insert> vlo¾í hodnotu do~nejhlub¹í mo¾né pøihrádky. Podívá se tedy
na~nejvy¹¹í úroveò: pokud hodnota patøí do pøihrádky, která není aktivní, vlo¾í
ji pøímo. Jinak pøejde o~úroveò ní¾e a zopakuje stejný postup. To v¹e lze provést
v~konstantním èase: staèí se podívat, jaký je nejvy¹¹í jednièkový bit ve~{\sc xor}u
nové hodnoty s~èíslem~$\mu$ (opìt viz kapitola o~výpoèetních modelech), a tím zjistit
èíslo úrovnì, kam hodnota patøí.

Pokud chceme provést \<Decrease>, odstraníme hodnotu z~pøihrádky, ve~které se
právì nachází (polohu si mù¾eme u~ka¾dé hodnoty pamatovat zvlá¹»), a znovu ji
vlo¾íme.

Vìt¹inu práce samozøejmì pøenecháme funkci \<ExtractMin>. Ta zaène prohledávat
nejni¾¹í obsazenou úroveò od~aktivní pøihrádky dál (to, která pøihrádka je na
které úrovni aktivní, poznáme z~èíslic hodnoty~$\mu$). Pokud pøihrádky na~této
úrovni dojdou, prázdnou úroveò zru¹íme a pokraèujeme o~patro vý¹e.

Jakmile najdeme neprázdnou pøihrádku, nalezneme v~ní minimum a to se stane novým~$\mu$.
Pokud v~pøihrádce nebyly ¾ádné dal¹í prvky, skonèíme. V~opaèném pøípadì zbývající
prvky rozprostøeme do~pøihrádek na~bezprostøednì ni¾¹í úrovni, kterou tím zalo¾íme.

Èas strávený hledáním minima mù¾eme rozdìlit na~nìkolik èástí:

\itemize\ibull
\:$\O(B)$ na inicializaci nové úrovnì -- to naúètujeme prvku, který jsme
  právì mazali;
\:hledání neprázdných pøihrádek -- prozkoumání ka¾dé prázdné pøihrádky
  naúètujeme jejímu vytvoøení, co¾ se rozpustí v~$\O(B)$ na inicializaci
  úrovnì;
\:zru¹ení úrovnì -- opìt naúètujeme jejímu vzniku;
\:rozhazování prvkù do pøihrádek -- jeliko¾ prvky v~hierarchii pøihrádek
  putují bìhem operací pouze doleva a dolù (jejich hodnoty se nikdy nezvìt¹ují),
  klesne ka¾dý prvek nejvý¹e~$d$-krát, tak¾e staèí, kdy¾ na v¹echna rozhazování
  pøispìje èasem $\O(d)$.
\endlist

\>Staèí tedy, aby ka¾dý prvek pøi \<Insert>u zaplatil èas $\O(B+d)$ a jak \<Decrease>,
tak \<ExtractMin> budou mít konstantní amortizovanou slo¾itost. Dijkstrùv
algoritmus pak pobì¾í v~$\O(m + n(B+d))$.

Zbývá nastavit parametry tak, abychom minimalizovali výraz $B+d = B + \log L/\log B$.
Vhodná volba je $B=\log L/\log\log L$. Pøi ní platí
$$
{\log L\over\log B} = {\log L \over \log\left(\log L/\log\log L\right) }
= {\log L\over \log\log L - \log\log\log L} = \Theta(B).
$$
Tehdy Dijkstra vydá výsledek v~èase $\O(m + n\cdot{\log L\over\log\log L})$.

\h{HOT Queue -- kombinace pøihrádek s~haldou}

Cherkassky, Goldberg a Silverstein \cite{cherkassky:hotq} si v¹imli, ¾e ve~víceúrovòových pøihrádkových strukturách
platíme pøíli¹ mnoho za~úrovnì, ve~kterých se za~dobu jejich existence objeví jen malé
mno¾ství prvkù. Navrhli tedy ukládat prvky z~\uv{malých} úrovní do~spoleèné haldy.
Výsledné struktuøe se øíká HOT (Heap-on-Top) Queue. My si pøedvedeme její upravenou
variantu (v~té pùvodní se skrývá nìkolik chyb).

Poøídíme si haldu, øeknìme Fibonacciho, a~navíc ke~ka¾dé úrovni poèítadlo udávající,
kolik prvkù z~této úrovnì jsme ulo¾ili do~haldy. Dokud toto poèítadlo nepøeroste nìjaký
parametr~$H$, pøihrádky nebudeme zakládat a prvky poputují do~haldy. Èas $\O(B)$ na
zalo¾ení úrovnì a její procházení proto mù¾eme rozpoèítat mezi~$H$ prvkù, které se musely
na~dané úrovni objevit, ne¾ byla rozpøihrádkována. (Pov¹imnìte si, ¾e poèítadlo nikdy
nesni¾ujeme, pouze ho vynulujeme, kdy¾ je úroveò zru¹ena. Proto vùbec nemusí odpovídat
skuteènému poètu prvkù z~pøíslu¹né úrovnì, které jsou právì ulo¾eny v~haldì. To ov¹em
vùbec nevadí -- poèítadlo pouze hlídá, aby se úroveò nevytvoøila pøíli¹ brzy, tedy abychom
mìli dost prvkù k~rozúètování èasu.)

Promìnnou~$\mu$ necháme ukazovat na~místo, kde jsme se pøi hledání minima v~pøihrádkách
zastavili. Souèasné globální minimum struktury mù¾e být ni¾¹í, nachází-li se minimum
zrovna v~haldì. Stále je v¹ak zaruèeno, ¾e pøed~$\mu$ se nenachází ¾ádná
neprázdná pøihrádka.

Operace budou fungovat takto:

\>\<Insert>:
\algo
\:Spoèítáme, do~které úrovnì~$i$ má prvek padnout (bitovými operacemi).
\:Pokud je poèítadlo této úrovnì men¹í ne¾~$H$, zvý¹íme ho, vlo¾íme prvek do~haldy a skoèíme.
\:Nebyly-li je¹tì pro tuto úroveò zalo¾eny pøihrádky, vyrobíme prázdné.
\:Vlo¾íme prvek do~pøíslu¹né pøihrádky.
\endalgo

\>\<Decrease>:
\algo
\:Pokud se prvek nachází v~haldì (to si u~ka¾dého prvku pamatujeme), provedeme
  \<Decrease> v~haldì a skonèíme.
\:Sma¾eme prvek z~jeho pøihrádky a provedeme \<Insert> s~novou hodnotou.
\endalgo

\>\<ExtractMin>:
\algo
\:Dokud je~$\mu$ men¹í ne¾ aktuální minimum haldy, opakujeme:
\::Najdeme pøihrádku odpovídající hodnotì~$\mu$.
\::Je-li tato pøihrádka prázdná, pøejdeme na~dal¹í (upravíme~$\mu$). Jsme-li na konci úrovnì,
   zru¹íme ji, vynulujeme její poèítadlo a pokraèujeme o~úroveò vý¹.
\::Není-li prázdná, rozprostøeme ji o~úroveò ní¾ (stejným zpùsobem jako pøi \<Insert>u,
   tak¾e prvních~$H$ prvkù vlo¾íme do~haldy).
\:Sma¾eme minimum z~haldy a vrátíme ho jako výsledek.
\endalgo

\>Pustíme se do~analýzy slo¾itosti. Jako parametry si zvolíme poèet hladin~$d$ (tak¾e
poèet pøihrádek~$B$ na jedné úrovni je roven $L^{1/d}$) a \uv{haldovou konstantu}~$H$.

Nejprve si v¹imneme, ¾e ne¾ poèítadlo nìjaké úrovnì vynulujeme, jsou bezpeènì
z~haldy pryè v¹echny prvky patøící do~této úrovnì. Celkem se tedy v~haldì
vyskytuje nejvý¹e $\O(dH)$ prvkù. \<ExtractMin> v~haldì proto trvá $\O(\log(dH))$,
ostatní haldové operace $\O(1)$.

Nyní rozúètujeme èas operací mezi jednotlivé prvky (opìt si v¹e pøedplatíme
v~\<Insert>u a ostatní operace pobì¾í v~amortizovanì konstantním èase):

\itemize\ibull
\:Ka¾dý prvek mù¾e být nejvý¹e jednou za~dobu svého ¾ivota vlo¾en do~haldy
  a nejvý¹e jednou z~ní vyjmut. Na~obojí dohromady pøispìje $\O(\log dH)$.
\:Prvek se úèastní nejvý¹e~$d$ pøehození do~ni¾¹í úrovnì. Pokud byl pøihozen
  do~haldy, u¾ tam setrvá, jinak poka¾dé zaplatí $\O(1)$ za~zaøazení do~pøihrádky,
  celkem tedy $\O(d)$ na prvek.
\:Vytvoøení, projití a smazání pøihrádek na~jedné úrovni nastane a¾ tehdy, co bylo
  $H$~prvkù patøících do~této úrovnì vlo¾eno do~haldy. Staèí tedy, aby ka¾dý
  prvek pøispìl èasem $\O(B/H) = \O(L^{1/d}/H)$.
\endlist

\>Ka¾dý prvek tedy platí $\O(d + \log dH + L^{1/d}/H) = \O(d + \log H + L^{1/d}/H)$.
Pojïme najít nastavení parametrù, které tento výraz minimalizuje.
Nejprve zvolme~$H$ tak, aby se~$d$ vyrovnalo s~$L^{1/d}/H$. Tedy $H = L^{1/d}/d$.
Celý výraz tím zjednodu¹íme na $\O(d + \log\,(L^{1/d}/d))$ =
$\O(d + 1/d\cdot\log L - \log d) = \O(d + 1/d\cdot\log L)$. Oba sèítance volbou
$d=\sqrt{\log L}$ vyrovnáme.

HOT Queue tedy zvládne \<Insert> s~amortizovanou èasovou slo¾itostí $\O(\sqrt{\log L})$
a ostatní operace v~èase amortizovanì konstantním. Pou¾ijeme-li tuto strukturu
v~Dijkstrovì algoritmu, spoète vzdálenosti v~èase $\O(m + n\sqrt{\log L})$.

\h{Dinicùv algoritmus}

Zajímavé vylep¹ení Dijkstrova algoritmu navrhl Dinic. V¹iml si, ¾e pokud
je ka¾dá hrana dlouhá alespoò~$\delta$, mù¾eme uzavírat nejen
vrchol s~minimálním ohodnocením~$\mu$, ale i v¹echny s~ohodnocením
men¹ím ne¾ $\mu+\delta$.

Pro takto upravený Dijkstrùv algoritmus bude stále platit, ¾e pøi uzavírání
vrcholu odpovídá ohodnocení skuteèné vzdálenosti, tak¾e uzavøené vrcholy ji¾
nejsou znovu otevírány.

O~monotonii vzdáleností jsme sice pøi¹li, ale v~pøihrádkové struktuøe nebo
haldì mù¾eme klíèe nahradit hodnotami $h'(v) := \lfloor h(v)/\delta \rfloor$.
Tyto hodnoty se toti¾ chovají monotónnì a vrcholy se stejným $h'(v)$ mù¾eme
libovolnì zamìòovat.

Kteroukoli z~popsaných pøihrádkových struktur mù¾eme tedy pou¾ít, pouze
v~rozboru èasové slo¾itosti nahradíme~$L$ výrazem $L/\delta$. Tento pøístup
pøitom funguje i pro neceloèíselné délky hran, pouze potøebujeme mít pøedem
k~dispozici netriviální dolní odhad na~v¹echny délky.

\h{Potenciály}

Vidìli jsme, ¾e v~grafech s~nezápornými délkami hran se nejkrat¹í cesty
hledají snáze. Nabízí se nalézt nìjakou transformaci, která by
dovedla délky hran upravit tak, aby byly nejkrat¹í cesty zachovány (samozøejmì
ne jejich délky, ale alespoò to, které cesty jsou nejkrat¹í). Nabízí se
následující fyzikální inspirace:

\s{Definice:} {\I Potenciál} budeme øíkat libovolné funkci $\psi: V\rightarrow {\bb R}$.
Pro ka¾dý potenciál zavedeme {\I redukované délky hran} $\ell_\psi(u,v) := \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v)$.
Potenciál nazveme {\I pøípustný,} pokud ¾ádná hrana nemá zápornou redukovanou délku.

\s{Pozorování:} Pro redukovanou délku libovolné cesty~$P$ z~$u$ do~$v$ platí: $\ell_\psi(P) = \ell(P) + \psi(u) - \psi(v)$.

\proof
Nech» cesta~$P$ prochází pøes vrcholy $u=w_1,\ldots,w_k=v$. Potom:
$$
\ell_\psi(P) = \sum_i \ell_\psi(w_i,w_{i+1}) = \sum_i \left( \ell(w_i,w_{i+1}) + \psi(w_i) - \psi(w_{i+1}) \right).
$$
Tato suma je ov¹em teleskopická, tak¾e z~ní zbude
$$
\sum_i\ell(w_i,w_{i+1}) + \psi(w_1) - \psi(w_k) = \ell(P) + \psi(u) - \psi(v).
$$
\vskip-\baselineskip
\qed

\s{Dùsledek:} Potenciálovou redukcí se délky v¹ech cest mezi~$u$ a~$v$
zmìní o~tuté¾ konstantu, tak¾e struktura nejkrat¹ích cest zùstane nezmìnìna.

Zbývá pøijít na~to, kde si obstarat nìjaký pøípustný potenciál. Pøidejme do~grafu
nový vrchol~$z$, pøiveïme z~nìj hrany nulové délky do~v¹ech ostatních vrcholù
a~oznaème~$\psi(v)$ vzdálenost ze~$z$ do~$v$ v~tomto grafu. Aby byl tento potenciál
pøípustný, musí pro ka¾dou hranu $uv$ platit $\ell_\psi(u,v) = \ell(u,v) + \psi(u) - \psi(v) \ge 0$.
Tuto nerovnost mù¾eme upravit na $\ell(u,v) + d(z,u) - d(z,v) \ge 0$, èili
$d(z,u) + \ell(u,v) \ge d(z,v)$, co¾ je ale obyèejná trojúhelníková nerovnost
pro vzdálenost v~grafu, která jistì platí.

Jedním výpoètem nejkrat¹ích cest v~grafu se zápornými hranami (tøeba algoritmem BFM)
tedy doká¾eme spoèítat potenciál, který nám poslou¾í k~redukci v¹ech hran na~nezáporné
délky. To nám samozøejmì nepomù¾e, chceme-li jednorázovì hledat nejkrat¹í cestu,
ale mù¾e nám to výraznì zjednodu¹it dal¹í, slo¾itìj¹í práci s~grafem. Jak uvidíme
v~pøí¹tí kapitole, mù¾eme tak napøíklad nalézt vzdálenosti mezi v¹emi dvojicemi
vrcholù v~èase $\O(nm + n^2\log n)$.

Na~závìr tohoto oddílu doká¾eme jedno pomocné tvrzení o~potenciálech, které
nám pomù¾e v~konstrukci algoritmù typu \ppsp:

\s{Lemma:} Pokud $f$ a~$g$ jsou pøípustné potenciály, pak jsou jimi i:
\numlist\ndotted
\:konvexní kombinace $f$ a~$g$, tedy $\alpha f + \beta g$ pro libovolné $\alpha,\beta\ge 0, \alpha+\beta=1$;
\:$\min(f,g)$;
\:$\max(f,g)$.
\endlist

\proof Buï $uv$ hrana. Potom z~definice pøípustnosti platí $\ell(u,v) \ge f(v) - f(u)$ a $\ell(u,v) \ge g(v) - g(u)$.
Jednotlivé èásti tvrzení doká¾eme takto:
\numlist\ndotted
\:Pokud obì strany nerovnosti pro~$f$ vynásobíme konstantou~$\alpha$, u~nerovnosti pro~$g$
  konstantou~$\beta$ a obì nerovnosti seèteme, dostaneme:
  $$
  (\alpha+\beta) \cdot \ell(u,v) \ge (\alpha f(v) + \beta g(v)) - (\alpha f(u) + \beta g(u)),
  $$
  co¾ je pøesnì po¾adovaná nerovnost pro pøípustnost funkce $\alpha f+\beta g$.
\:Oznaème $h := \min(f,g)$. Nech» bez újmy na obecnosti $f(u)\le g(u)$. Pokud také platí $f(v)\le g(v)$,
  shoduje se minimum s~funkcí~$f$ a není co dokazovat. V~opaèném pøípadì je $h(u) = f(u)$, $h(v) = g(v)$.
  Tehdy si staèí v¹imnout, ¾e $h(v) - h(u) = g(v) - f(u) < f(v) - f(u) \le \ell(u,v)$, tak¾e
  potenciál~$h$ je pøípustný.
\:Doká¾eme analogicky.
\qeditem
\endlist

\h{Algoritmy pro problém typu \ppsp}

Zamìøme se nyní na~pøípad, kdy chceme hledat nejkrat¹í cesty mezi zadanou dvojicí
vrcholù $s$,~$t$. Obvykle se i v~této situaci pou¾ívají algoritmy \sssp{} (SSSP) a v~obecném
pøípadì ani není efektivnìj¹í øe¹ení známo. Existuje ov¹em velké mno¾ství heuristik, kterými
lze obvykle výpoèet zrychlit. Nìkteré z~nich si pøedvedeme na Dijkstrovì algoritmu.

Dijkstrùv algoritmus ve~své klasické podobì neví vùbec nic o~cílovém vrcholu a
prohledá celý graf. Hned se nabízí vyu¾ít toho, ¾e od~okam¾iku uzavøení
kteréhokoliv vrcholu se ji¾ jeho ohodnocení nezmìní. Pokud tedy uzavøeme cílový
vrchol, mù¾eme se zastavit.

Jakou èást grafu prohledáváme teï? V~metrice dané vzdálenostmi v~grafu je to nejmen¹í
koule se støedem ve~vrcholu~$u$, která obsahuje nejkrat¹í cestu (dobøe se to
pøedstavuje na~hledání v~silnièní síti na~rovinné mapì).

Také mù¾eme spustit prohledávání z~obou koncù zároveò, tedy zkombinovat hledání
od~$s$ v~pùvodním grafu s~hledáním od~$t$ v~grafu s~obrácenou orientací hran.
Oba postupy mù¾eme libovolnì støídat a zastavíme se v~okam¾iku, kdy jsme jeden
vrchol uzavøeli v~obou smìrech. Pozor ov¹em na to, ¾e souèet obou ohodnocení
tohoto vrcholu nemusí být roven $d(v,u)$ -- zkuste vymyslet protipøíklad.
Nejkrat¹í cesta je¹tì mù¾e vypadat tak, ¾e pøechází po nìjaké hranì mezi vrcholem
uzavøeným v~jednom smìru a vrcholem uzavøeným ve~smìru druhém (ponechme bez dùkazu).
Staèí tedy bìhem relaxace zjistit, zda je konec hrany uzavøený v~opaèném
smìru prohledávání, a~pokud ano, zapoèítat cestu do~prùbì¾ného minima.

Obousmìrný Dijkstrùv algoritmus projde sjednocení nìjaké koule okolo~$s$ s~nìjakou
koulí okolo~$t$, které obsahuje nejkrat¹í cestu. Prùmìry koulí pøitom závisí na tom,
jak budeme bìhem výpoètu støídat oba smìry prohledávání. V~nejhor¹ím pøípadì samozøejmì
mù¾eme prohledat celý graf.

\h{Algoritmus \astar}

V~umìlé inteligenci se èasto pro hledání nejkrat¹í cesty v~rozsáhlých grafech
(obvykle stavových prostorech úloh) pou¾ívá algoritmus nazývaný~\astar{} \cite{hart:astar}.
Jedná se o~modifikaci Dijkstrova algoritmu, která vyu¾ívá heuristickou funkci
pro dolní odhad vzdálenosti do~cíle; oznaème si ji $\psi(v)$. V~ka¾dém kroku pak uzavíra
vrchol~$v$ s~nejmen¹ím mo¾ným souètem $h(v)+\psi(v)$ aktuálního ohodnocení s~heuristikou.

Intuice za tímto algoritmem je jasná: pokud víme, ¾e nìjaký vrchol je blízko
od~poèátaèního vrcholu~$s$, ale bude z~nìj urèitì daleko do cíle~$t$, zatím ho
odlo¾íme a budeme zkoumat nadìjnìj¹í varianty.

Heuristika se pøitom volí podle konkrétního problému -- napø. hledáme-li cestu
v~mapì, mù¾eme pou¾ít vzdálenost do~cíle vzdu¹nou èarou.

Je u~tohoto algoritmu zaruèeno, ¾e v¾dy najde nejkrat¹í cestu? Na to nám dá odpovìï
teorie potenciálù:

\s{Vìta:} Bìh algoritmu \astar{} odpovídá prùbìhu Dijkstrova algoritmu
na~grafu redukovaném potenciálem~$-\psi$. Pøesnìji,
pokud oznaèíme $h^*$ aktuální ohodnocení v~\astar{} a $h$ aktuální ohodnocení
v~synchronnì bì¾ícím Dijkstrovi, bude v¾dy platit $h(v) = h^*(v) - \psi(s) + \psi(v)$.

\proof
Indukcí podle doby bìhu obou algoritmù. Na poèátku je $h^*(s)$ i $h(s)$ nulové
a v¹echna ostatní $h^*$ a~$h$ jsou nekoneèná, tak¾e tvrzení platí. V~ka¾dém dal¹ím
kroku \astar{} vybere vrchol~$v$ s~nejmen¹ím $h^*(v) + \psi(v)$, co¾ je tentý¾ vrchol,
který vybere Dijkstra ($\psi(s)$ je stále stejné).

Uva¾ujme, co se stane bìhem relaxace hrany $vw$: Dijkstra se pokusí sní¾it ohodnocení $h(w)$
o~$\delta = h(w) - h(v) - \ell_{-\psi}(v,w)$ a provede to, pokud $\delta>0$. Uká¾eme,
¾e \astar{} udìlá toté¾:
$$\eqalign{
\delta &= (h^*(w) - \psi(s) + \psi(w)) - (h^*(v) - \psi(s) + \psi(v)) - (\ell(v,w) - \psi(v) + \psi(w)) \cr
&= h^*(w) - \psi(s) + \psi(w) - h^*(v) + \psi(s) - \psi(v) - \ell(v,w) + \psi(v) - \psi(w) \cr
&= h^*(w) - h^*(v) - \ell(v,w).
}$$
Oba algoritmy tedy a¾ na~posunutí dané potenciálem poèítají toté¾.
\qed

\s{Dùsledek:} Algoritmus \astar{} funguje jen tehdy, je-li potenciál $-\psi$ pøípustný.

Napøíklad pro rovinnou mapu to heuristika daná euklidovskou vzdáleností~$\varrho$, tedy $\psi(v) := \varrho(v,t)$, splòuje:
Pøípustnost po¾aduje pro ka¾dou hranu $uv$ nerovnost
$\ell(u,v) - \psi(v) + \psi(u) \ge 0$,
tedy $\ell(u,v) - \varrho(v,t) + \varrho(u,t) \ge 0$.
Jeliko¾ $\ell(u,v) \ge \varrho(u,v)$,
staèí dokázat, ¾e $\varrho(u,v) - \varrho(v,t) + \varrho(u,t) \ge 0$,
co¾ je ov¹em trojúhelníková nerovnost pro metriku~$\varrho$.

\references
\bye
