\input ../sgr.tex

\prednaska{12}{Pravdìpodobnostní algoritmus na øezy}{}

Nahlédnìme alespoò jednou kapitolou do~svìta pravdìpodobnostních algoritmù.
Není toti¾ výjimkou, ¾e s~pomocí generátoru náhodných èísel vyøe¹íme nìkteré
grafové problémy daleko snáze a èasto také efektivnìji ne¾ to dovedeme deterministicky.
Pravdìpodobnostní pøístup si pøedvedeme na~Kargerovì-Steinovì algoritmu \cite{karger:mincut}
pro hledání minimálního øezu v~neohodnoceném neorientovaném grafu. Pøipomeòme,
¾e s~deterministickými algoritmy jsme zatím dosáhli èasové slo¾itosti $\O(n^{5/3}m)$
pomocí tokù nebo $\O(nm)$ Nagamochiho-Ibarakiho algoritmem.

\h{Náhodné kontrakce}

Uva¾ujme nejdøíve následující algoritmus, který náhodnì vybírá
hrany a kontrahuje je, dokud poèet vrcholù neklesne na~danou konstantù~$\ell$.

\s{Algoritmus} $\hbox{\sc Contract}(G_0,\ell)$:
\algo
\:$G \leftarrow G_0$.
\:Dokud $n>\ell$:
\::Vybereme hranu $e\in E$ rovnomìrnì náhodnì.
\::$G \leftarrow G/e$ (kontrahujeme hranu~$e$, smyèky odstraòujeme,
  paralelní hrany ponecháme).
\:Vrátíme jako výsledek graf~$G$.
\endalgo

Jaká je pravdìpodobnost, ¾e výsledný graf~$G$ má stejnì velký minimální øez
jako zadaný graf~$G_0$? V¹imnìme si nejprve, ¾e ka¾dý øez v~grafu $G/e$ je i øezem
v~grafu~$G$ (a¾ na pøeznaèení hran pøi kontrakci, ale pøedpokládejme, ¾e hrany
mají nìjaké identifikátory, které kontrakce zachovává). Podobnì je-li v~grafu~$G$
øez neobsahující hranu~$e$, odpovídá mu stejnì velký øez v~$G/e$. Velikost
minimálního øezu tedy kontrakcí nikdy neklesne -- mù¾e pouze stoupnout, pokud
zkontrahujeme hranu le¾ící ve~v¹ech minimálních øezech,

Zvolíme nyní pevnì jeden z~minimálních øezù~$C$ v~zadaném grafu~$G_0$ a oznaèíme~$k$ jeho
velikost. Pokud algoritmus ani jednou nevybere hranu le¾ící v~tomto øezu, velikost
minimálního øezu v~grafu~$G$ bude rovnì¾ rovna~$k$. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e
se tak stane?

Oznaème $G_i$ stav grafu~$G$ pøed $i$-tým prùchodem cyklem a $n_i$ a $m_i$ poèet jeho
vrcholù a hran. Zøejmì $n_i=n-i+1$ (ka¾dou kontrakcí pøijdeme o~jeden vrchol).
Navíc ka¾dý vrchol má stupeò alespoò~$k$, jeliko¾ jinak by triviální øez okolo
tohoto vrcholu byl men¹í ne¾ minimální øez. Proto platí $m_i \ge kn_i/2$. Hranu
le¾ící v~øezu~$C$ tedy vybereme s~pravdìpodobností $k/m_i \le k/(kn_i/2) = 2/n_i
= 2/(n-i+1)$. V¹echny hrany z~øezu~$C$ proto postoupí do výsledného grafu~$G$
s~pravdìpodobností
$$\eqalign{
p     &\ge \prod_{i=1}^{n-\ell} \left( 1 - {2\over n-i+1} \right)
       = \prod_{i=1}^{n-\ell} {n-i-1 \over n-i+1} = \cr
      &= {n-2\over n} \cdot {n-3\over n-1} \cdot {n-4\over n-2} \cdot \cdots \cdot {\ell+1\over \ell+3} \cdot {\ell\over \ell+2} \cdot {\ell-1 \over \ell+1}
       = {\ell\cdot(\ell-1) \over n\cdot(n-1)}. \cr
}$$

Mù¾eme tedy zvolit pevnì~$\ell$, spustit na~zadaný graf proceduru {\sc Contract}
a ve~vzniklém konstantnì velkém grafu pak nalézt minimální øez hrubou silou
(to je obzvlá¹tì snadné pro $\ell=2$ -- tehdy staèí vzít v¹echny zbylé hrany).
Takový algoritmus nalezne minimální øez s~pravdìpodobností alespoò $c/n^2$,
kde~$c$ je konstanta závislá na~$\ell$.

Nabízí se otázka, k~èemu je dobrý algoritmus, který vydá správný výsledek
s~pravdìpodobností na~øádu $1/n^2$. To opravdu není mnoho, ale stejnì jako
mnoho jiných randomizovaných algoritmù i tento mù¾eme iterovat: výpoèet
zopakujeme $K$-krát a pou¾ijeme nejmen¹í z~nalezených øezù. Ten u¾ bude
minimální s~pravdìpodobností
$$
P_K \ge 1 - (1-c/n^2)^K \ge 1 - e^{-cK/n^2} = 1 - e^{-cK/n^2}.
$$
(Druhá nerovnost platí díky tomu, ¾e $e^{-x} \ge 1-x$ pro v¹echna $x\ge 0$.)
Pokud tedy nastavíme poèet opakování~$K$ na $\Omega(n^2)$, mù¾eme tím pravdìpodobnost
chyby stlaèit pod libovolnou konstantu, pro $K=\Omega(n^2\log n)$ pod pøevrácenou
hodnotu libovolného polynomu v~$n$ a pro $K=\Omega(n^3)$ u¾ bude dokonce exponenciálnì malá.

\h{Implementace}

Odboème na chvíli k~implementaèním zále¾itostem. Jak reprezentovat graf, abychom
stihli rychle provádìt kontrakce? Bude nám staèit obyèejná matice sousednosti,
v~ní¾ pro ka¾dou dvojici vrcholù budeme udr¾ovat, kolik paralelních hran mezi tìmito vrcholy
vede. Pokud chceme kontrahovat hranu~$uv$, staèí projít v¹echny hrany vedoucí
(øeknìme) z~vrcholu~$u$ a zaøadit je k~vrcholu~$v$. To zvládneme v~èase $\O(n)$
na jednu kontrakci.

Pro náhodný výbìr hrany budeme udr¾ovat pole stupòù vrcholù, vybereme náhodnì
vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou stupni a poté projitím pøíslu¹ného øádku
matice sousednosti druhý vrchol~$v$ s~pravdìpodobností úmìrnou poètu hran
mezi $u$ a~$v$. To opìt trvá èas $\O(n)$.

Procedura {\sc Contract} tedy pracuje v~èase $\O((n-\ell)\cdot n)$ a celý
$K$-krát ziterovaný algoritmus v~$\O(Kn^2)$. Pokud se spokojíme s~inverznì
polynomiální pravdìpodobností chyby, nalezneme minimální øez v~èase $\O(n^4\log n)$.

\h{Kargerùv-Steinùv algoritmus}

Pøedchozí prostinký algoritmus mù¾eme je¹tì podstatnì vylep¹it.
V¹imnìme si, ¾e bìhem kontrahování hran pravdìpodobnost toho, ¾e vybereme \uv{¹patnou}
hranu le¾ící v~minimálním øezu, postupnì rostla z~poèáteèních $2/n^2$ a¾ po obrovské
$2/3$ v~poslední iteraci (pro $\ell=2$). Pomù¾e tedy zastavit kontrahování døíve
a~pøejít na~spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu.

Pokud zvolíme $\ell=\lceil n/\sqrt2 +1\rceil$, pak øez~$C$ pøe¾ije kontrahování
s~pravdìpodobností alespoò
$$
{\ell\cdot (\ell-1) \over n\cdot (n-1)}
\ge {(n/\sqrt2+1)\cdot n/\sqrt2 \over n\cdot (n-1)}
= {n/\sqrt2+1 \over \sqrt2 \cdot (n-1)}
= {n+\sqrt 2 \over 2\cdot (n-1)}
\ge {1\over 2}.
$$

Jako onen spolehlivìj¹í zpùsob hledání øezu následnì zavoláme stejný algoritmus
rekurzivnì, pøièem¾ jak kontrakci, tak rekurzi provedeme dvakrát a z~obou
nalezených øezù vybereme ten men¹í, èím¾ pravdìpodobnost chyby sní¾íme.

Hotový algoritmus bude vypadat následovnì:

\s{Algoritmus} $\hbox{\sc MinCut}(G)$:
\algo
\:Pokud $n<7$, najdeme minimální øez hrubou silou.
\:$\ell\leftarrow \lceil \sqrt n + 1 \rceil$.\foot{To je ménì ne¾~$n$, kdykoliv $n\ge 7$.}
\:$C_1 \leftarrow \hbox{\sc MinCut}(\hbox{\sc Contract}(G,\ell))$.
\:$C_2 \leftarrow \hbox{\sc MinCut}(\hbox{\sc Contract}(G,\ell))$.
\:Vrátíme men¹í z~øezù $C_1$, $C_2$.
\endalgo

Jakou bude mít tento algoritmus èasovou slo¾itost? Nejprve odhadnìme hloubku
rekurze: v~ka¾dém kroku se velikost vstupu zmen¹í pøibli¾nì $\sqrt 2$-krát, tak¾e strom
rekurze bude mít hloubku $\O(\log n)$. Na~$i$-té hladinì zpracováváme $2^i$
podproblémù velikosti $n/2^{i/2}$. Pøi výpoètu ka¾dého podproblému voláme
dvakrát proceduru {\sc Contract}, která spotøebuje èas $\O((n/2^{i/2})^2)
= \O(n^2/2^i)$. Souèet pøes v¹echny hladiny tedy èíní $\O(n^2)$, stejnì jako
u~pùvodního kontrakèního algoritmu.

Zbývá spoèítat, s~jakou pravdìpodobností algoritmus skuteènì nalezne minimální øez.
Oznaème $p_i$ pravdìpodobnost, ¾e algoritmus na~$i$-té hladinì stromu
rekurze (poèítáno od~nejhlub¹í, nulté hladiny) vydá správný výsledek
pøíslu¹ného podproblému. Jistì je $p_0=1$ a platí rekurence
$p_i \ge 1 - (1 - 1/2 \cdot p_{i-1})^2$. Uva¾ujme posloupnost $g_i$, pro kterou
jsou tyto nerovnosti splnìny jako rovnosti, a~v¹imnìme si, ¾e $p_i\ge g_i$.
Víme tedy, ¾e $g_0=1$ a $g_i = 1-(1-1/2\cdot g_{i-1})^2 = g_{i-1} - g_{i-1}^2/4$.

Nyní zavedeme substituci $z_i = 4/g_i - 1$, èili $g_i=4/(z_i+1)$, a~tak získáme
novou rekurenci pro~$z_i$:
$$
{4 \over z_i+1} = {4\over z_{i-1}+1} - {4\over (z_{i-1}+1)^2},
$$
kterou u¾ mù¾eme snadno upravovat:
$$\eqalign{
{1\over z_i+1} &= {z_{i-1} \over (z_{i-1}+1)^2}, \cr
z_i+1 &= {z_{i-1}^2 + 2z_{i-1} + 1 \over z_{i-1}}, \cr
z_i+1 &= z_{i-1} + 2 + {1\over z_{i-1}}. \cr
}$$
Jeliko¾ $z_0=4$, a~tím pádem $z_i\ge 1$ pro v¹echna~$i$, získáme z~poslední
rovnosti vztah $z_i \le z_{i-1} + 2$, a~tudí¾ $z_i \le 2i+4$.
Zpìtnou substitucí obdr¾íme $g_i \ge 4/(2i+5)$, tedy $p_i \ge g_i = \Omega(1/i)$.

Nyní si staèí vzpomenout, ¾e hloubka rekurze èiní $\O(\log n)$, a ihned získáme
odhad pro pravdìpodobnost správného výsledku $\Omega(1/\log n)$. Ná¹ algoritmus
tedy staèí ziterovat $\O(\log^2 n)$-krát, abychom pravdìpodobnost chyby stlaèili
pod pøevrácenou hodnotu polynomu. Dokázali jsme následující vìtu:

\s{Vìta:} Iterováním algoritmu {\sc MinCut} nalezneme minimální øez v~neohodnoceném
neorientovaném grafu v~èase $\O(n^2\log^2 n)$ s~pravdìpodobností chyby $\O(1/n^c)$
pro libovolnou konstantu $c>0$.

\h{Cvièení}

\numlist\ndotted
\:Zvolte lep¹í reprezentaci grafu, abyste prostorovou slo¾itost sní¾ili z~$\Theta(n^2)$ na~$\O(m)$.
  Mù¾e se tím zmen¹it èasová slo¾itost?
\:Doka¾te, ¾e z~na¹eho rozboru pravdìpodobnosti chyby plyne, ¾e v~ka¾dém grafu je nejvý¹e $\O(n^2)$
  minimálních øezù.
\:Uka¾te, jak algoritmus upravit pro grafy s~ohodnocenými hranami.
\endlist

\references
\bye
