\input lecnotes.tex

\prednaska{12}{Problém minimální kostry}{(zapsali K. Ka¹èák a M. Vachna)}

\s{Zadání úlohy:} Pro neorientovaný graf $G$ s~ohodnocením hran {\I váhami} $w: E(G) \rightarrow \bb R$,
chceme najít kostru $T$ s minimálním ohodnocením $w(T)=\sum_{e\in E(T)} w(e)$.

\s{Navíc pøedpokládáme:} (bez újmy na~obecnosti)
\itemize\ibull
\:Graf $G$ je souvislý (jinak ho nejprve rozlo¾íme na komponenty).
\:$\forall e,f \in E(G$) : $e\neq f \Rightarrow w(e)\neq w(f)$.
\endlist

Nyní si uká¾eme tøi algoritmy pro hledání minimální kostry, konkrétnì se jedná
o~Jarníkùv, Borùvkùv a Kruskalùv algoritmus.

\h{Jarníkùv algoritmus}

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
\:Zvolíme libovolný vrchol $v_0\in V(G)$.
\:$T\leftarrow(\left\{v_0\right\},\emptyset)$ (zatím jednovrcholový strom)
\:Dokud $\vert V(T) \vert \neq n$:
\::Vybereme hranu $uv\in E(G) : u\in V(T), v\notin V(T)$ tak, aby $w(uv)$ byla minimálni.
\::$T\leftarrow T+uv$.
\algout Minimální kostra~$T$.
\endalgo

\s{Vìta:} Jarníkùv algoritmus se zastaví po maximálnì $n$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.

\proof
Pøi ka¾dé iteraci algoritmus pøidá jeden vrchol do~$T$, a~proto se po~maximálnì $n$ iteracích zastaví.
Vydaný graf je strom, proto¾e se stále pøidává list k ji¾ existujícímu stromu, a~jeliko¾ má $n$~vrcholù,
je to kostra. Zbývá nám u¾ jen dokázat, ¾e nalezená kostra je minimální. K~tomu pomu¾e následující lemma:

{\narrower

\s{Definice:} {\I Øez} v~grafu $G=(V,E)$ je mno¾ina hran $F\subseteq E$ taková, ¾e $\exists  U\subset V$ :
$F=\left\{uv\in E:u\in U, v\notin U \right\}$.

\s{Lemma:} Pokud $G$ je graf, $w$ jeho prosté ohodnocení, $F$ je øez v grafu $G$ a $f$ je nejlehèí hrana v øezu
$F$, pak pro ka¾dou minimální kostru $T$ grafu $G$ je $f\in E(T)$.

\proof
Buï $T$ kostra a $f=uv\notin E(T)$. Pak existuje cesta $P\subseteq T$ spojující $u$ a $v$.
Cesta musí øez alespoò jednou pøekroèit. Proto existuje $e\in P \cap F$ a navíc víme, ¾e $w(e) > w(f)$. Uva¾me $T'=T-e+f$.
Tento graf je rovnì¾ kostra grafu $G$, proto¾e odebraním hrany $e$ se graf rozpadne na dvì komponenty a pøidáním
hrany $f$ se tyto komponenty opìt spojí. Navíc $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$.
\qed

}

\>V~dùkazu korektnosti Jarníkova algoritmu toto lemma vyu¾ijeme tak, ¾e si v¹imneme, ¾e hrany mezi
vrcholy stromu~$T$ a zbytkem grafu tvoøí øez a algoritmus nejlehèí hranu tohoto øezu pøidá
do~$T$. Podle lemmatu tedy v¹echny hrany~$T$ musí být souèástí ka¾dé minimální kostry a jeliko¾~$T$ je strom,
musí být minimální kostrou.

\qed


\s{Dùsledky:} Graf $G$ s prostým ohodnocením má pravì jednu minimální kostru. Minimální kostra je
jednoznaènì urèená lineárním uspoøádáním hran.

\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Pøímoèará: pamatujeme si, které vrcholy a hrany jsou v kostøe $T$ a které ne. Èasová slo¾itost je $\O(nm)$.
\:Chytøej¹í: Pro $v\notin V(T)$ si pamatujeme $D(v)=\min\left\{w(uv):u\in T\right\}$. Pøi ka¾dém
prùchodu hlavním cyklem pak procházíme v¹echna~$D(v)$ (to v¾dy trvá $\O(n)$) a pøi pøidání vrcholu do~$T$ kontrolujeme
okolní~$D(w)$ pro $vw\in E$ a pøípadnì je sni¾ujeme (za~ka¾dou hranu~$\O(1)$). Èasovou slo¾itost tím celkovì
zlep¹íme na~$\O(n^2+m)=\O(n^2)$.
\:Také se dá pou¾ít halda pro uchovávání hran nebo hodnot~$D(v)$.
\endlist

\h{Borùvkùv algoritmus}

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
\:$F\leftarrow(V(G),\emptyset)$
\:Dokud $F$ má alespoò dvì komponenty:
\::Pro ka¾dou komponentu $T_i$ grafu $F$ vybereme nejlehèí incidentní hranu $t_i$.
\::V¹echny hrany $t_i$ pøidáme do $F$.
\algout Minimální kostra~$F$.
\endalgo

\s{Vìta:} Borùvkùv algoritmus se zastaví po $\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.

\proof
V¹imnìme si nejprve, ¾e po~$k$ iteracích mají v¹echny komponenty grafu~$F$ minimálnì $2^k$ vrcholù
(na~poèátku jsou v¹echny komponenty jednovrcholové, v~ka¾dé dal¹í iteraci se komponenty sluèují do~vìt¹ích,
ka¾dá s~alespoò jednou sousední, tak¾e se velikosti komponent minimálnì zdvojnásobí).
Proto nejpozdìji po~$\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích u¾~velikost komponenty dosáhne poètu v¹ech vrcholù a algoritmus
se zastaví.

Hrany mezi ka¾dou komponentou a~zbytkem grafu tvoøí øez, tak¾e podle pøedchozího lemmatu v¹echny
hrany pøidané do~$F$ musí být souèástí (jednoznaènì urèené) minimální kostry. Graf $F\subseteq G$
je tedy v¾dy les a a¾ se algoritmus zastaví, bude roven minimální kostøe.
\qed

\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Inicializace pøímoèará.
\:Pomocí DFS rozlo¾íme les na komponenty. Pro ka¾dý vrchol si pamatujeme èíslo komponenty.
\:Pro ka¾dou hranu zjistíme, do které komponenty patøí, a pro ka¾dou komponentu
si uchováme nejlehèí hranu.
\endlist

\>Takto doká¾eme ka¾dou iteraci provést v~èase $\O(m)$ a celý algoritmus dobìhne v~$\O(m\log n)$.

\h{Kruskalùv neboli hladový algoritmus}

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
\:Setøídíme v¹echny hrany z $E(G)$ tak, aby: $w(e_1)<...<w(e_m)$.
\:$F\leftarrow (V(G),\emptyset)$.
\:Pro $i=1$ do $m$:
\::Pokud $F+e_i$ je acyklický, provedeme $F\leftarrow F+e_i$.
\algout Minimální kostra~$F$.
\endalgo

\s{Vìta:} Kruskalùv algoritmus se zastaví po~$m$ iteracích a vydá minimální kostru.

\proof
Ka¾dá iterace algoritmu zpracovává jednu hranu, tak¾e iterací je~$m$. Indukcí doká¾eme,
¾e~$F$ je v¾dy podgrafem minimální kostry: prázdné poèáteèní~$F$ je podgrafem èehokoliv,
ka¾dá hrana, kterou pak pøidáme, je minimální v~øezu oddìlujícím nìjakou
komponentu~$F$ od~zbytku grafu (ostatní hrany tohoto øezu je¹tì nebyly
zpracovány, a~tudí¾ jsou tì¾¹í). Naopak ¾ádná hrana, kterou jsme se rozhodli
do~$F$ nepøidat, nemù¾e být souèástí minimální kostry, jeliko¾ s~hranami,
o~kterých ji¾ víme, ¾e v~minimální kostøe le¾í, tvoøí kru¾nici. \qed

\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Setøídìní v èase $\O(m\log m)=\O(m\log n)$.
\:Pak potøebujeme udr¾ovat komponenty souvislosti grafu~$F$, abychom umìli rychle
  urèit, jestli právì zpracovávaná hrana vytvoøí kru¾nici. Potøebujeme tedy strukturu
  pro udr¾ování komponent souvislosti, které se $m$-krát zeptáme, zda dva vrcholy
  le¾í v~té¾e komponentì (tomu budeme øíkat operace \<Find>), a~$(n-1)$-krát spojíme
  dvì komponenty do jedné (\<Union>).
\endlist

\>Kruskalùv algoritmus tedy pobì¾í v~èase $\O(m\log n + mT_f + nT_u)$, kde~$T_u$ je
èas na~provedení jedné operace \<Union> a $T_f$ na~operaci \<Find>.

\s{Jednoduchá struktura pro komponenty:}
Budeme pamatovat v~poli èísla komponent, ve~kterých le¾í jednotlivé vrcholy. \<Find> zvládneme v~èase $\O(1)$,
ale \<Union> bude stát $\O(n)$. Celý algoritmus pak pobì¾í v~èase $\O(m\log n+ m + n^2) = \O(m\log n+n^2)$.

\s{Chytøej¹í struktura:} Ka¾dou komponentou si ulo¾íme jako strom orientovaný smìrem ke koøeni
-- ka¾dý vrchol si pamatuje svého otce, navíc ka¾dý koøen si pamatuje velikost komponenty.
Operace \<Find> vystoupá z~obou vrcholù ke~koøeni a koøeny porovná. \<Union> rovnì¾ najde
koøeny a pøipojí koøen men¹í komponenty pod koøen té vìt¹í. Obojí zvládneme v~èase lineárním
v~hloubce stromu a jak si uká¾eme, tato hloubka je v¾dy nejvý¹e logaritmická, a proto celý Kruskalùv
algoritmus pobì¾í v~èase $\O(m\log n + m\log n + n\log n) = \O(m\log n)$.\foot{%
Drobnou úpravou bychom mohli dosáhnout daleko efektivnìj¹í struktury, ale tu bychom neupotøebili,
jeliko¾ by nás stejnì brzdilo tøídìní, a analýza slo¾itosti by byla \dots\ inu, slo¾itìj¹í.}

\s{Lemma:} Strom hloubky $h$ má alespoò $2^h$ prvkù.

\proof
Indukcí: Pokud \<Union> spojí strom s~hloubkou $h$ s jiným s~hloubkou men¹í ne¾ $h$, pak hloubka výsledného
stromu zùstává~$h$. Pokud spojuje dva stromy stejné hloubky~$h$, pak má výsledný strom hloubku $h+1$.
Z~indukèního pøedpokladu víme, ¾e strom hloubky $h$ má minimálnì $2^h$ vrcholù,
a~tedy výsledný strom hloubky $h+1$ má alespoò $2^{h+1}$ vrcholù. \qed

\h{Èerveno-èerné stromy}

Ve~zbytku pøedná¹ky se vrátíme k~vyhledávacím stromùm a uká¾eme si je¹tì jeden zpùsob,
jak udr¾et logaritmickou hloubku stromu.

\s{Definice:} {\I Èerveno-èerný strom} je binární vyhledávací strom, jeho¾ vrcholy jsou
obarvené (nìkteré èervenì, zbylé èernì), a ke~kterému byly pøidány externí vrcholy v¹ude
tam, kde pùvodnímu vrcholu chybí nìkterý ze~synù. Listy è-è stromu jsou tedy v¾dy externí.
Navíc platí následující axiomy:

\s{Axiomy:}
\itemize\ibull
\:Koøen a externí vrcholy jsou èerné.
\:Otec èerveného vrcholu je èerný.
\:Na v¹ech cestách z~koøene do~externího vrcholu je stejný poèet èerných vrcholù.
\endlist

\s{Vìta:} Èerveno-èerný strom o~$n$ vrcholech má hloubku $\O(\log n)$.

\proof
Zkomprimujeme v¹echny hrany spojující èerný a èervený vrchol, èím¾ v¹echny èervené
vrcholy \uv{zasuneme} do~jejich èerných otcù. Vznikne $2,4$-strom a ten, jak u¾ víme,
má hloubku $\O(\log n)$. Pùvodní è-è strom má tedy hloubku nejvý¹e $2\log n$, co¾ je
asymptoticky taky $\O(\log n)$.
\qed

\noindent{\sl Alternativní dùkaz:} \foot{\uv{Vy máte protipøíklad? Nevadí, já mám dva dùkazy :)}}
Pøedpokládejme, ¾e $T$ je èerveno-èerný strom, který má na cestì z koøene do listu
$k$ èerných vrcholù. Pak pro poèet vrcholù stromu $T$ platí $2^k-1\leq n \leq 2^{2k}-1$. Nejmen¹í takový strom má v¹echny vrcholy obarvené èernì a je to úplný
pravidelný binární strom o hloubce $k-1$, co¾ dává dolní odhad. Nejvìt¹í takový strom má v¹echny vrcholy v sudých hladinách obarveny èervenì a v lichých hladinách èernì, je to úplný pravidelný binární strom o hloubce $2k-1$ a tím je dán horní odhad. Tedy $k\leq 1+\log n$. Z vlastností èerveno-èerných stromù plyne, ¾e $k\leq \<hloubka>(T) \leq 2k$.
\qed

Nyní si rozebereme vkládaní do èerveno-èerných stromù.

\s{Insert:}
Vlo¾íme hodnotu do stromu jako do standardního binárního vyhledávacího stromu, tedy jako list,
a obarvíme èervenì. První ani tøetí axiom jsme neporu¹ili a pokud je pøedek èerný, tak ani
axiom druhý, èili jsme hotovi:
\fig{01.eps}{2in}
Jestli¾e je otec~$o$ na¹eho vrcholu~$t$ také èervený, budeme øíkat, ¾e do¹lo k~{\I poru¹e}
a budeme se ji sna¾it opravit. Situace musí vypadat následovnì:

\fig{02.eps}{1.5in}

Nyní rozli¹íme následující tøi pøípady:
\itemize\ibull
\:Pokud strýc~$s$ vrcholu~$t$ je èervený, pak pouze pøebarvíme $o$, $d$ a $s$ podle následujícího obrázku.
Nyní $d$ mù¾e být porucha, ov¹em posunutá o 2 hladiny vý¹e, tak¾e pøi nejhor¹ím pokraèujeme
do~koøene a poslední poruchu opravíme pøebarvením koøene na~èerno.
\fig{03.eps}{3.5in}
\:Strýc $s$ je èerný. Pak zále¾í na tom, zda hodnota $t$ le¾í mezi hodnotami $o$ a $d$ nebo ne. Jinými slovy, zda cesta $t-o-d$ obsahuje zatáèku.
  \numlist\nalpha
  \:Bez zatáèky: Provedeme rotaci a pøebarvíme. Splnìny budou axiomy 1, 2 i 3, tedy máme èervenoèerný strom:
    \fig{04.eps}{4in}
  \:Se zatáèkou: Provedeme dvojitou (LR) rotaci a pøebarvíme. Opìt získáme korektní èervenoèerný strom:
    \fig{05.eps}{4in}
  \endlist
\endlist

\bye
