\input lecnotes.tex

\prednaska{10}{Problém minimálni kostry}{(zapsali K. Ka¹èák a M. Vachna)}

Pro zaèátek si definujme, co budeme dìlat, v jakých grafech budeme minimálni kostru hledat.

\s{Zadání úlohy:} Pro neorientovaný graf $G$ s ohodnocením hran $w: E(G) \rightarrow R$,
chceme najít kostru $T$ s minimálnim ohodnocením $w(T)=\sum_{e\in E(T)} w(e)$.

\s{Pøedpoklady úlohy:}
\itemize\ibull
\:BÚNO graf $G$ je souvislý
\:$\forall e,f \in E(G$) : $e\neq f \Rightarrow w(e)\neq w(f)$
\endlist

Nyní si uká¾eme tøi algoritmy øe¹íci zadanú úlohu, konkrétne se jedná o Jarníkùv, Borùvkùv a Kruskalùv
algoritmus.

\s{Algoritmus:} (Jarníkùv)

\def\concat{\mathop{\hbox{.}}}

\algo
\:Zvolíme libovolný vrchol $v_0\in V(G)$, $T=(\left\{v_0\right\},\emptyset)$.
\:Dokud $\vert V(T) \vert \neq n$ :
\:		vybereme hranu $uv\in E(G) : u\in V(T), v\notin V(T)$, min $w(uv)$
\:		$T\leftarrow T+uv$
\endalgo

\s{Vìta:} Jarníkùv algorimtus se zastaví po maximálne $n$ iteracích a vydá minimálni kostru grafu $G$.

\proof
Koneènost - pøi ka¾dé iteraci se pøidá jeden vrchol $\Rightarrow$ po maximálne $n$ iteracích se zastaví.
Vydaný graf je strom, proto¾e se stále pøidáva list k ji¾ existujícimu stromu. Vydaný graf má $n$
vrcholù $\Rightarrow$ vydaný graf je kostra. Ostáva nám u¾ jen dokázat, ¾e kostra je minimálni. To
dokazuje nesledujíci Lemma.
\qed

Proto aby jsme byli schopni sformulovat i dokázat Lemma, je nutná je¹tì vysvìtlit pojem øez v grafu.

\s{Definice:} Øez v grafu $G=(V,E)$ je mno¾ina hran $F\subseteq E$ taková, ¾e $\exists  U\subset V$ :
$F=\left\{uv\in E \vert u\in U, v\notin U \right\}$.

\s{Lemma:} Pokud $G$ je graf, $w$ jeho prosté ohodnocení, $F$ je øez v grafu $G$ a $f$ je nejlehèí hrana v øezu
$F$, pak pro ka¾dou minimálni kostru $G$ je $f\in E(T)$.

\proof
Buï $T$ kostra a $f\notin E(T)$, pak $\exists$ cesta $P\subseteq T$ spojujíci $u$ a $v$ (vrcholy hrany $f$).
Cesta musí øez alespoò jednou projít. $\exists e\in P \cap F$ taková, ¾e $w(e) > w(f)$. Uva¾me $T'=T-e+f$.
$T'$ je rovne¾ kostra grafu $G$, proto¾e odebraním hrany $e$ se graf rozpadne na dvì komponenty a pøidáním
hrany $f$ se opìt spojí. $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$
\qed

\s{Dùsledky:} Graf $G$ s prostým ohodnocením ma pravì 1 minimálni kostru. Minimálni kostra je
jednoznaène urèená lineárnim uspoøádaním hran.

\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Pøímoèaøá - pamatujeme si, které vrcholy a hrany jsou v kostøe $T$ a které ne. Èasová slo¾itost je $\O(nm)$
\:Pro $v\notin V(T)$ si pamatujeme $D(v)=$min$\left\{uv, u\in T\right\}$. Èasová slo¾itost je $\O(n^2+m)=\O(n^2)$
\endlist

\s{Algoritmus:} (Borùvkùv)

\def\concat{\mathop{\hbox{.}}}

\algo
\:Les $F=(V(G),\emptyset)$.
\:Dokud $F$ má alespoò dvì komponenty :
\:		$\forall$ komponentu $T_i$ vybereme nejlehèí incidentní hranu $t_i$.
\:		V¹echny hrany $t_i$ pøidáme do $F$.
\endalgo

\s{Vìta:} Borùvkùv algorimtus se zastaví po $\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích a vydá minimálni kostru grafu $G$.

\proof
Po $k$ iteracích mají v¹echny stromy minimálne $2^k$ vrcholù, $\forall$ i : $\vert T_i\vert \geq 2^k$.
Indukcí podle $k$: ka¾dá incidentní hrana vede z $T_i$ do $T_j$. Po $k$ iteracích pøidáním incidentní hrany
spojíme 2 stromy s alespoò $2^k$ vrcholama, tím vznikne strom s $2^{k+1}$ vrcholama.
Algoritmus vydá kostru, staèí nahlédnout, zda je minimálni. To se lehce uká¾e u¾itím pøedchozí Lemmy.
V¾dy pøidávame hranu, která je minimálni mezi $T$ a ostatními vrcholy grafu $G$.
\qed

\s{Implemntace:}
\itemize\ibull
\:Inicializace pøímoèaøá.
\:Pomocí DFS rozlo¾íme les na komponenty. $\forall$ vrchol si pamatujeme èíslo komponenty.
\:Pro $\forall$ hranu zjistíme, do které komponenty patøí a pro ka¾dou komponentu
jsi uchováme nejlehèí hranu.

Rozlo¾ení lesa a zji¹tìní, do jaké komponenty patøí ka¾dá hrana má èasovou slo¾itost $\O(m)$. Výslední èasová slo¾itost je $\O(m\log n)$
\endlist

\s{Algoritmus:} (Kruskalùv èili `hladový`)

\def\concat{\mathop{\hbox{.}}}

\algo
\:Zetøídime v¹echny hrany z $E$ : $w(e_1)<...<w(e_m)$.
\:$F\leftarrow (V(G),\emptyset)$.
\:Pro $i=1$ do $m$ :
\:		pokud $F+e_i$ je acyklický :
\:		$F\leftarrow F+e_i$
\endalgo

\s{Vìta:} Kruskalùv `hladový` algorimtus se zastaví po $m$ iteracích a vydá minimálni kostru grafu $G$.

\proof
Podle Lemmy strom, který je výstupem algorimtu, je minimálni kostra. Indukcí snadno doká¾eme, ¾e
stále platí $F\subseteq$ $minimálni$ $kostry$ a v¾dy do $F$ pøidávame hranu $f$, která je minimálni v øezu
a spojuje dvì komponenty.
\qed

\s{Implemntace:}
\itemize\ibull
\:Zotøídení $\O(m\log n)$.
\:Kdy¾ si pamatuji vrcholy $v$ poli:
Find(u,v) zistí zda vrcholy $u$ a $v$ le¾í v stejné komponente. Jedna operace má èasovou slo¾itost $\O(1)$. Find
se provede $m-$krát, proto je èasová slo¾itost celkem $\O(m)$.
Union(u,v) pøidá hranu a tím spojí dvì komponenty. Jedna operace má èasovou slo¾itost $\O(n)$. Union se provede
$n-$krát, proto je èasová slo¾itost celkem $\O(n^2)$.
Výslední èasová slo¾itost je $\O(m\log n+m+n^2)=$\O$(n^2+m\log n)$

\:Jinak: $\forall$ komponenta je strom orientovaný smìrem ke koøenu. $\forall$ vrchol si pamatuje
svého otce, $\forall$ koøen si pamatuje velikost komponenty.
Find(u,v) najde koøeny a porovná je. Èasová slo¾itost je $\O(hloubka$ $komponenty)$.
Union(u,v) najde koøeny a pøipojí men¹í komponentu pod vìt¹í (logaritmická hloubka). Èasová slo¾itost je $\O(hloubka$ $komponenty)$.
Find a Union mají teda èasovou slo¾itost $\O(\log n)$. Výslední èasová slo¾itost je $\O(m\log n)$.
\endlist

\s{Lemma:} Strom hloubky $h$ má alespoò $2^h$ prvkù.

\proof
Pokud Union spojí stromy jeden s hloubkou $h$ a druhý s hloubkou men¹í ne¾ $h$, pak hloubka výsledního
stromu zústava $h$. Pokud spojuje dva stromy hloubky $h$, pak vyslední strom má hloubku $h+1$. Jak ji¾
víme, strom hloubky $h$ má minimálne $2^h$, proto výslednej strom hloubky $h+1$ má $2^{h+1}$ vrcholù.
\qed

\h{Èerveno-èerné stromy}

\s{Definice:} Èerveno-èerný strom je binárny vyhledávaci strom s barevnými(èervenými a èernými) vrcholy a
externými vrcholy. Kdy¾ vrchol nemá nìkterého ze synú, na jeho míste je externý vrchol.

\s{Axiomy:}
\itemize\ibull
\:Koøen a externé vrcholy sú èerné.
\:Otec èerveného vrcholu je èerný.
\:Na v¹ech cestách z koøene do externího vrcholu je stejný poèet èerných vrcholù.
\endlist

\s{Vìta:} Èerveno-èerný strom na $n$ vrcholech má hloubku $\O(\log n)$.

K této vìtì nabízime dva dùkazy.

\proof
1. Skomprimujeme hrany èerný-èervený a èerné vrcholy, které májí dva èervené syny, na vrchol.
Vznikne $2,4-$strom, který ma hloubku $\log n$, a proto je èerveno-èerný strom maximálne
2x vìt¹í.
\qed

\proof
2. Pøedpokladejme, ¾e $T$ je èerveno-èerný strom, který má na cestì z koøene do listu
$k$ èerných vrcholù. Pak pre poèet vrcholù stromu $T$ platí $2^k-1\leq n \leq 2^{2k}-1$. Nejmen¹í takový strom má v¹echny vrcholy obarvené èernì a je to úplný
pravidelný binární strom o hloubce $k-1$, co¾ dáva dolní odhad. Nejvìt¹í takový strom má v¹echny vrcholy v sudých hladinách obarveny èervenì a v lichých hladinách èernì, je to ùplný pravidelný binární strom o hloubce $2k-1$ a tím je dán horní odhad. Tedy $k\leq 1+\log n$. Z vlastností èerveno-èerných stromù plyne, ¾e $k\leq hloubka(T) \leq 2k$.
\qed

Niní si uká¾eme a rozebereme vkládaní do èerveno-èerných stromù.

\s{Insert:} (v èerveno-èernom strome)
BÚNO nový uzel $t$ bude èervený.
Vlo¾íme uzel do stromu jako do standartního binárního vyhledávacího stromu.
Jestli¾e je pøedek èerný, jsme hotovi (viï obr. 1).
\figure{01.eps}{obr. 1}{2in}
Jestli¾e nikoliv, mù¾u nastat tøi nasledujíci pøípady:
\itemize\ibull
\:Je-li vrchol $t$ èervený a jeho otec je také èervený, pak øekneme, ¾e $t$ je porucha. Je-li $t$ porucha,
pak ji musíme nìjak opravit. Situace je na obrázku 2 - nejprve zále¾í na tom, jakou barvu má $s$, strýc $t$:
\figure{02.eps}{obr. 2}{1.5in}
\algo
\:$s$ je èervený. Pak pouze pøebarvíme $o$, $d$ a $s$ podle obrázku 3.
Nyní $d$ mù¾e být porucha, ov¹em posunutá o 2 hladiny vý¹e.
\figure{03.eps}{obr. 3}{3.5in}
Pro splnìní poslední podmínky je je je¹tì nutné pøebarvit koøen $d$ na èerno.

\:$s$ je èerný. Pak zále¾í na tom, zda hodnota $t$ le¾í mezi hodnotami $o$ a $d$ nebo ne. Jinými slovy, zda cesta $t-o-d$ obsahuje zatáèku.
(a) Bez zatáèky: Provedeme rotaci a pøebarvíme podle obrázku 4. Splnìny budou podmínky 1, 2 i 3, tedy máme èervenoèerný strom:
\figure{04.eps}{obr. 4}{4in}
(b) Se zatáèkou. Provedeme dvojitou (LR) rotaci a pøebarvíme podle obrázku 5. Splnìny budou podmínky 1, 2 i 3, opìt máme rovnou èervenoèerný strom.
\figure{05.eps}{obr. 5}{4in}
\endalgo
\endlist



\bye
