\input ../lecnotes.tex

% Vkladani obrazku
\input ../mjipe.tex
\def\treepic#1{
\medskip
\IpeInput{treepic/t#1.ipe}
\medskip
}

\prednaska{11}{Vyhledávací stromy}{}

Pøedstavme si následující problém: cheme si udr¾ovat urèitá setøídìná data, napøíklad slovník. Polo¾kami jsou uspoøádané dvojice (klíè, hodnota). Klíèe jsou unikátní a jsou to prvky nìjakého lineárnì uspoøádaného universa.

Na na¹ich datech budeme chtít provádìt následující operace: 
\itemize\ibull
\:{\it Insert} vlo¾it novou polo¾ku
\:{\it Delete} smazat polo¾ku
\:{\it Find} najít polo¾ku
\:{\it Max $\&$ Min} vybrat polo¾ku s~nejvìt¹ím, resp. nejmen¹ím klíèem
\:{\it Pred $\&$ Succ} vybrat polo¾ku s~klíèem o~jedna men¹ím, resp. vìt¹ím
\endlist

Jak by vypadalo nejjednodu¹¹í øe¹ení? Staticky bychom data mohli udr¾ovat v~setøídìném poli. Takové pole se vyrobí v~èase $\Theta(n \cdot log{n})$. Operace {\it Find} by trvala $\Theta(log{n})$ (vyhladávali bychom samozøejmì binárnì). Ale problém by nastal s~operacemi {\it Insert} a {\it Delete}, které by se takto implementovat nedaly, nebo by trvaly hodnì dlouho (napø. v~pøípadì {\it Insert} bychom museli celé pole pøestavìt).

\s{Pozorování:} Proces binárního vyhledávání v~setøídìném poli se dá reprezentovat binárním vyhledávacím stromem.

\s{Definice:} {\I Binární strom:} Strom je binární, pokud je zakoøenìný a ka¾dý vrchol má nejvý¹e dva syny, u nich¾ rozli¹ujeme, který je levý a který pravý.

\s{Definice:} Pro vrchol $v$ znaèíme:
\itemize\ibull
\:$l(v)$ a $p(v)$ levý a pravý syn vrcholu $v$
\:$L(v)$ a $P(v)$ levý a pravý podstrom vrcholu $v$
\:$S(v)$ pøíslu¹ný podstrom s~koøenem $v$
\:$h(v)$ hloubka stromu $S(v)$, neboli délka nejdel¹í cesty z koøene do listu
\endlist

\s{Definice:} {\I Binární vyhledávací strom} (BVS): Binární strom je vyhledávací, pokud v~ka¾dém vrcholu je ulo¾ena dvojice (klíè, hodnota) [ztoto¾níme vrchol s~klíèem] a pro v¹echny vrcholy platí: $\forall u \in L(v) : u < v $ $\&$ $ \forall u \in P(v) : u > v$.

\s{Pøíklady binárních vyhledávacích stromù:}

\treepic{2}

\break
 
Jak budou tedy vypadat operace {\it Find}, {\it Insert} a {\it Delete} na~binárním vyhledávacím stromu?

{\bo Find$(v,x)$:}
\algo
\:Pokud $v = \emptyset \Rightarrow$ vrátíme $\emptyset$.
\:Pokud $v = x \Rightarrow$ vrátíme $v$.
\:Pokud $v < x \Rightarrow$ vrátíme $Find(p(v),x)$.
\:Pokud $v > x \Rightarrow$ vrátíme $Find(l(v),x)$.
\endalgo

{\bo Insert$(v,x)$:}
\algo
\:Jako \<Find> a na~konci pøidáme list.
\endalgo

{\bo Delete$(v)$:}
\algo
\:Pokud $v$ je list $\Rightarrow$ jednodu¹e list utrhneme.
\:Pokud $v$ má jednoho syna $\Rightarrow$ vrchol \uv{vyøízneme}.
\:Jinak má $v$ oba syny $\Rightarrow$ do vrcholu vlo¾íme minimum z $P(v)$, co¾ bude list a ten utrhneme.
\endalgo

\s{Poznámka:} Pokud má vrchol $v$ pøi operaci {\it Delete} oba syny, je vlo¾ení minima z $P(v)$ ekvivalentní s~vlo¾ením maxima z $L(v)$.

\s{Pøíklady operací  {\it Insert} a {\it Delete} na~BVS:}
\treepic{1}
\treepic{3}

\break
Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\<hloubka stromu>)$, co¾ mù¾e být $\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam, nebo $\Theta(\log{n})$ kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost operací stojí a padá s~hloubkou stromu. Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací strom, aby tuto podmínku splòoval\dots

\h{Vyvá¾ené binární vyhledávací stromy}

\s{Definice:} {\I Dokonalá vyvá¾enost:} Strom je dokonale vyvá¾ený, pokud pro v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert \vert L(v)\vert - \vert P(v)\vert \right \vert \leq 1 $.

Takto definovaný binární strom bude mít urèitì logaritmickou hloubku. Jak takový strom ale konstruovat? To se nám podaøí buï staticky a nebo na~nìm budou operace dra¾¹í ne¾ $\Theta(\log{n})$.

\s{Statická konstrukce dokonale vyvá¾eného BVS:} Vybereme medián posloupnosti a dáme ho do~koøene stromu. Jeho syny pak vystavíme rekurzivnì z~levé a pravé pùlky pole.

Vidíme tedy, ¾e to ná¹ problém pøíli¹ neøe¹í. Potøebovali bychom, aby se strom dal také efektivnì udr¾ovat. Zkusíme proto slab¹í podmínku:

\s{Definice:} {\I Hloubková vyvá¾enost:} Strom je hloubkovì vyvá¾ený, pokud pro v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $.

Stromùm s~hloubkovým vyvá¾ením se øíká {\I AVL stromy} a platí o~nich následující lemma:

\s{Lemma:} AVL strom na~$n$ vrcholech má hloubku $ \Theta(\log{n}) $.

\proof
Uva¾me posloupnost $A_k = $ minimální poèet vrcholù AVL stromù hloubky $k$. Staèí ukázat, ¾e $A_k$ roste exponenciálnì. Podívejme se na minimální AVL stromy:
$$\eqalign{
A_0 &= 1 \cr
A_1 &= 2 \cr
A_2 &= 4 \cr
A_3 &= 7 \cr
&\vdots \cr
A_k &= 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2}. \cr
}$$

Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2 podstromy o~hloubce $k - 1$ a $k - 2$.

Indukcí doká¾eme, ¾e $ A_k \geq 2^{k \over 2} $.
První indukèní krok jsme si u¾ ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí:
$ A_k = 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2} > 2^{{k - 1} \over 2} + 2^{{k - 2} \over 2} = 2^{k \over 2} \cdot (2^{-{1 \over 2}} + 2^{-1}) \cong 2^{k \over 2} \cdot 1.21 > 2^{k \over 2}.$

Tímto jsme dokázali, ¾e na~ka¾dé hladinì je minimálnì exponenciálnì vrcholù, co¾ nám zaruèuje hloubku $ \Theta(\log{n})$.
\qed

\bye
