\input lecnotes.tex

\prednaska{11}{NP-úplné problémy}{\vbox{\hbox{(zapsali F. Kaèmarik, R. Krivák, D. Remi¹}
	\hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}}

Dosud jsme zkoumali problémy, které se nás ptaly na to, jestli nìco existuje.
Napøíklad jsme dostali formuli a problém splnitelnosti se nás ptal, zda
existuje ohodnocení promìnných takové, ¾e formule platí. Nebo v~pøípade
nezávislých mno¾in jsme dostali graf a èíslo $k$ a ptali jsme se, jestli
v~grafu existuje nezávislá mno¾ina, která obsahuje alespoò~$k$ vrcholù.
Tyto otázky mìly spoleèné to, ¾e kdy¾ nám nìkdo napovìdìl nìjaký objekt, umìli
jsme efektivnì øíci, zda je to ten, který hledáme. Napøíklad pokud dostaneme
ohodnocení promìnných logické formule, staèí jen dosadit a spoèítat, kde
formule dá \<true> nebo \<false>. Zjistit, ¾e nìjaký objekt je ten, který
hledáme, umíme efektivnì. Tì¾ké na tom je takový objekt najít. Co¾ vede
k~definici obecných vyhledávacích problémù, kterým se øíká tøída problémù NP.
Nadefinujeme si ji poøádnì, ale nejdøíve zaèneme tro¹ièku jednodu¹¹í tøídou.

\s{Definice:} P je {\I tøída rozhodovacích problémù}, které jsou øe¹itelné
v~polynomiálním èase. Jinak øeèeno, problém
$L \in {\rm P}  \Leftrightarrow  \exists $ polynom $f$ a~$\exists$ algoritmus~$A$
takový, ¾e $\forall x: L(x)=A(x)$ a $A(x)$ dobìhne v~èase $\O(f(x))$.

Tøída P tedy odpovídá tomu, o èem jsme se shodli, ¾e umíme efektivnì øe¹it.
Nadefinujme nyní tøídu NP:

\s{Definice:} NP je {\I tøída rozhodovacích problémù} takových, ¾e $L \in {\rm NP}$ právì tehdy, kdy¾ $\exists $ problém
$K\in{\rm P}$ a $\exists$  polynom  $g$ takový, ¾e pro
$\forall x$ platí $L(x)=1  \Leftrightarrow  \exists $ nápovìda $ y: \vert y \vert \leq g(\vert x \vert)$ a souèasnì $K(x,y)=1$.

\s{Pozorování:} Splnitelnost logických formulí je v~NP. Staèí si toti¾ nechat napovìdìt, jak
ohodnotit jednotlivé promìnné a pak ovìøit, jestli je formule splnìna. Nápovìda je polynomiálnì
velká (dokonce lineárnì), splnìní zkontrolujeme také v~lineárním èase. Odpovíme tedy ano právì
tehdy, existuje-li nápovìda, která nás pøesvìdèí, èili pokud je formule splnitelná.

\s{Pozorování:} Tøída P le¾í uvnitø NP.
V~podstatì øíkáme, ¾e kdy¾ máme problém, který umíme øe¹it v~polynomiálním èase
bez nápovìdy, tak to zvládneme v~polynomiálním èase i s~nápovìdou.

Problémy z minulé pøedná¹ky jsou v¹echny v NP (napø. pro nezávislou
mno¾inu je onou nápovìdou pøímo mno¾ina vrcholù deklarující nezávislost),
o jejich pøíslu¹nosti do P ale nevíme nic.
Brzy uká¾eme, ¾e to jsou v jistém smyslu nejtì¾¹í problémy v~NP.
Nadefinujme si:

\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I tì¾ký} právì tehdy, kdy¾ je na~nìj pøevoditelný
ka¾dý problém z~NP (viz definici pøevodù z minulé pøedná¹ky).

Rozmyslete si, ¾e pokud umíme øe¹it nìjaký NP-tì¾ký problém v~polynomiálním èase,
pak umíme vyøe¹it v~polynomiálním èase v¹e v~NP, a tedy ${\rm P}={\rm NP}$.

My se budeme zabývat problémy, které jsou NP-tì¾ké a samotné jsou v~NP. Takovým problémùm se øíká NP-úplné.

\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I úplný} právì tehdy, kdy¾ $L$ je NP-tì¾ký a $L \in {\rm NP}$.

NP-úplné problémy jsou tedy ve~své podstatì nejtì¾¹í problémy, které le¾í v~NP.
Kdybychom umìli vyøe¹it nìjaký NP-úplný problém v~polynomiálním èase, pak
v¹echno v~NP je øe¹itelné v~polynomiálním èase. Bohu¾el to, jestli nìjaký
NP-úplný problém lze øe¹it v~polynomiálním èase, se neví. Otázka, jestli
${\rm P}={\rm NP}$, je asi nejznámìj¹í otevøený problém v~celé teoretické
informatice.

Kde ale nìjaký NP-úplný problém vzít? K~tomu se nám bude velice hodit následující vìta:

\s{Vìta (Cookova):} SAT je NP-úplný.

\>Dùkaz je znaènì technický, pøibli¾nì ho naznaèíme pozdìji. Pøímým dùsledkem
Cookovy vìty je, ¾e cokoli v~NP je pøevoditelné na SAT.
K dokazování NP-úplnosti dal¹ích problémù pou¾ijeme následující vìtièku:

\s{Vìtièka:} Pokud problém $L$ je NP-úplný a $L$ se dá pøevést na nìjaký problém $M\in{\rm NP}$, pak $M$ je také NP-úplný.

\proof
Tuto vìtièku staèí dokázat pro NP-tì¾kost, NP-úplnost plyne okam¾itì z~toho, ¾e
problémy jsou NP-tì¾ké a le¾í v~NP (podle pøedpokladu).

Víme, ¾e $L$ se dá pøevést na~$M$ nìjakou funkcí~$f$. Jeliko¾ $L$ je NP-úplný,
pak pro ka¾dý problém $Q\in{\rm NP}$ existuje nìjaká funkce~$g$, která pøevede
$Q$ na~$L$. Staèí tedy slo¾it funkci~$f$ s~funkcí~$g$, èím¾ získáme funkci pracující
opìt v~polynomiálním èase, která pøevede~$Q$ na~$M$. Ka¾dý problém z~NP se tedy
dá pøevést na problém~$M$.
\qed

\s{Dùsledek:} Cokoliv, na co jsme umìli pøevést SAT, je také NP-úplné.
Napøíklad nezávislá mno¾ina, rùzné varianty SATu, klika v~grafu~\dots

Jak taková tøída NP vypadá? Pøedstavme si v¹echny problémy tøídy NP, jakoby seøazené
zhora dolu podle obtí¾nosti problémù (tedy navzdor gravitaci), kde porovnání dvou
problémù urèuje pøevoditelnost (viz obrázek).

\figure{p-np.eps}{Struktura tøídy NP}{2.5cm}

Obecnì mohou nastat dvì situace, proto¾e nevíme, jestli ${\rm P}={\rm NP}$.
Jestli ano, pak v¹echno je jedna a ta samá tøída. To by bylo v nìkterých
pøípadech nepraktické, napø. ka¾dá ¹ifra by byla jednodu¹e rozlu¹titelná.
\foot{Poznámka o ¹ifrách -- libovolnou funkci vyèíslitelnou v polynomiálním
èase bychom umìli v polynomiálním èase také invertovat.}
Jestli ne, NP-úplné problémy urèitì nele¾í v P, tak¾e P a NP-úplné problémy
jsou dvì disjunktní èásti NP. Také se dá dokázat (to dìlat nebudeme, ale je
dobré to vìdìt), ¾e je¹tì nìco le¾í mezi nimi, tedy ¾e existuje problém, který
je v~NP, není v~P a není NP-úplný (dokonce je takových problémù nekoneènì mnoho,
v nekoneènì tøídách).

\s{Katalog NP-úplných problémù}

Uká¾eme si nìkolik základních NP-úplných problémù. O~nìkterých jsme to dokázali
na~minulé pøedná¹ce, o~dal¹ích si to doká¾eme nyní, zbylým se na~zoubek podíváme
na~cvièeních.

\itemize\ibull
\:{\I logické:}
  \itemize\ibull
    \:SAT (splnitelnost logických formulí v~CNF)
    \:3-SAT (ka¾dá klauzule obsahuje max.~3 literály)
    \:3,3-SAT (a navíc ka¾dá promìnná se vyskytuje nejvý¹e tøikrát)
    \:SAT pro obecné formule (nejen CNF)
    \:Obvodový SAT (není to formule, ale obvod)
  \endlist
\:{\I grafové:}
  \itemize\ibull
    \:Nezávislá mno¾ina (existuje mno¾ina alespoò~$k$ vrcholù taková, ¾e ¾ádné dva nejsou propojeny hranou?)
    \:Klika (existuje úplný podgraf na~$k$ vrcholech?)
    \:3D párování (tøi mno¾iny se zadanými trojicemi, existuje taková mno¾ina disjunktních trojic, ve~které jsou v¹echny prvky?)
    \:Barvení grafu (lze obarvit vrcholy $k$~barvami tak, aby vrcholy stejné barvy nebyly nikdy spojeny hranou? NP-úplné u¾ pro~$k=3$)
    \:Hamiltonovská cesta (cesta obsahující v¹echny vrcholy [právì jednou])
    \:Hamiltonovská kru¾nice (kru¾nice, která nav¹tíví v¹echny vrcholy [právì jednou])
  \endlist
\:{\I èíselné:}
  \itemize\ibull
    \:Batoh (nejjednodu¹¹í verze: dána mno¾ina èísel, zjistit, zda existuje podmno¾ina se zadaným souètem)
	\:Batoh -- optimalizace (podobnì jako u pøedchozího problému, ale místo mno¾iny èísel máme mno¾inu
		pøedmìtù s vahami a cenami, chceme co nejdra¾¹í podmno¾inu její¾ váha nepøesáhne zadanou kapacitu
		batohu)
    \:Loupe¾níci (lze rozdìlit danou mno¾inu èísel na~dvì podmno¾iny se stejným souètem)
    \:$Ax=b$ (soustava celoèíslených lineárních rovnic; $x_i$ mohou být pouze 0 nebo 1; NP-úplné i pokud $A_{ij}\in\{0,1\}$ a $b_i\in\{0,1\}$)
    \:Celoèíselné lineární programování (existuje vektor nezáporných celoèísených $x$ takový, ¾e $Ax \leq b$ ?)
  \endlist
\endlist

Nyní si uká¾eme, jak pøevést SAT na nìjaký problém. Kdy¾ chceme ukázat, ¾e na
nìco se dá pøevést SAT, potøebujeme obvykle dvì vìci:
konstrukci, která bude simulovat promìnné, tedy nìco, co nabývá dvou stavù
\<true>/\<false>; a nìco, co bude reprezentovat klauzule a umí zaøídit, aby
ka¾dá klauzule byla splnìna alespoò jednou promìnnou.
Roz¹iøme tedy ná¹ katalog problémù o následující:
\h{3D párování (3D matching)}

\>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a
mno¾ina $T$ kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou),
	tj. $T \subseteq K\times H\times Z$.

\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic $P\subseteq K\times H \times Z$ --
	tj. taková podmno¾ina trojic, ¾e $(\forall k\in K\ \exists !p\in P: k\in p)
	\wedge(\forall h\in H\ \exists !p\in P: h\in p)
	\wedge(\forall z\in Z\ \exists !p\in P: z\in p)$ -- tedy ka¾dý byl vybrán
	právì jednou.


\h{ Uká¾eme, jak na 3D-párování pøevést 3,3-SAT }

Uva¾ujme takovouto konfiguraci:

\fig{3d.eps}{4cm}

\>4 zvíøátka, 2 kluci, 2 dívky a 4 trojice, které oznaèíme $A, B, C, D$.
Je¹tì pøedpokládáme, ¾e zvíøátka
 se mohou úèastnit nìjakých jiných trojic, ale
tito ètyøi lidé se vyskytují pouze v~tìchto ètyøech trojicích a~nikde jinde.
V¹imneme si, ¾e existují právì dvì mo¾nosti, jak tento obrázek spárovat.
Abychom spárovali kluka $k_1$, tak si musíme vybrat $A$ nebo $B$. Kdy¾ si
vybereme $A$, $k_1$ i $d_2$ u¾ jsou spárovaní tak¾e si nesmíme vybrat $B$ ani
$D$. Pak jediná mo¾nost, jak spárovat $d_1$ a~$k_2$ je $C$. Jedna mo¾nost je
tedy vybrat si $A$ a $C$ a jeliko¾ je obrázek symetrický, tak kdy¾ vybereme
místo $A$ trojici $B$, dostaneme $B$ a~$D$. V¾dy si tedy vybereme dvì protìj¹í
trojice v~obrázku.

Tyto konfigurace budeme pou¾ívat k~reprezentaci promìnných. Pro ka¾dou
promìnnou si nakreslíme takový obrázek a~to, ¾e $A$ bude spárované s~$C$, bude
odpovídat tomu, ¾e $x=1$, a~spárování $B$ a~$D$ bude odpovídat
 $x=0$. Pokud jsme
pou¾ili $A$ a~$C$, zvíøata se sudými èísly, tj. $z_2$ a~$z_4$, horní a~dolní,
jsou nespárovaná a~pokud jsme pou¾ili $B$ a~$D$, zvíøátka $z_1$ a~$z_3$ zùstala
nespárovaná. Pøes tato nespárovaná zvíøátka mù¾eme pøedávat informaci, jestli
promìnná $x$ má hodnotu \<true> nebo \<false> do dal¹ích èástí vstupu.

Zbývá vymyslet, jak reprezentovat klauzule. Klauzule jsou trojice popø. dvojice
literálù, napø. $\kappa = (x \lor y \lor \lnot r)$, kde
potøebujeme zajistit, aby $x$ bylo nastavené na $1$ nebo $y$ bylo nastavené
na~$1$ nebo $r$ na $0$.

\fig{klauzule.eps}{4cm}

\>Pro takovouto klauzuli si poøídíme dvojici kluk-dívka, kteøí budou figurovat
ve tøech trojicích se tøemi rùznými zvíøátky, co¾ mají být volná zvíøátka
z~obrázkù pro pøíslu¹né promìnné (podle toho, má-li se promìnná vyskytnout
s negací nebo ne). A~zaøídíme to tak, aby ka¾dé zvíøátko bylo
pou¾ité maximálnì v~jedné takové trojici, co¾ jde proto, ¾e ka¾dý literál se
vyskytuje maximálnì dvakrát a~pro ka¾dý literál máme dvì volná zvíøátka,
z~èeho¾ plyne, ¾e zvíøátek je dost pro v¹echny klauzule. Pro dvojice se postupuje
obdobnì.

Je¹tì nám ale urèitì zbude $2p-k$ zvíøátek, kde $p$ je poèet promìnných, $k$
poèet klauzulí -- ka¾dá promìnná vyrobí 4 zvíøátka, klauzule zba¹tí jedno
a samotné ohodnocení 2 zvíøátka -- tak pøidáme je¹tì $2p-k$ párù
kluk-dìvèe, kteøí milují
v¹echna zvíøátka, a~ti vytvoøí zbývající trojice.

Pokud formule byla splnitelná, pak ze splòujícího ohodnocení mù¾eme vyrobit
párování s~na¹í konstrukcí. Obrázek pro ka¾dou promìnnou spárujeme podle
ohodnocení, tj. promìnná je $0$ nebo $1$ a~pro ka¾dou klauzuli si vybereme
nìkterou z~promìnných, kterými je ta klauzule splnìna. Funguje to ale
i~opaènì: Kdy¾ nám nìkdo dá párovaní v~na¹í konstrukci, pak z nìho doká¾eme
vyrobit splòující ohodnocení dané formule. Podíváme se, v~jakém stavu je
promìnná, a~to je v¹echno. Z~toho, ¾e jsou správnì spárované klauzule, u¾
okam¾itì víme, ¾e jsou v¹echny splnìné.

Zbývá ovìøit, ¾e na¹e redukce funguje v~polynomiálním èase. Pro ka¾dou klauzuli
spotøebujeme konstantnì mnoho èasu, $2p-k$ je také polynomiálnì mnoho a~kdy¾ v¹e
seèteme, máme polynomiální èas vzhledem k~velikosti vstupní formule. Tím je
pøevod hotový a~mù¾eme 3D-párování zaøadit mezi NP-úplné problémy.


%RK


\h{Náznak dùkazu Cookovy vìty}

Abychom mohli budovat teorii NP-úplnosti, potøebujeme alespoò jeden problém,
o kterém doká¾eme, ¾e je NP-úplný, z definice. Cookova vìta øíká o NP-úplnosti
SAT-u, ale nám se to hodí dokázat o tro¹ku jiném problému -- {\I obvodovém SAT-u}.

\>{\I Obvodový SAT} je splnitelnost, která nepracuje s~formulemi, ale s~booleovskými
obvody (hradlovými sítìmi). Ka¾dá formule se dá pøepsat do booleovského obvodu,
který ji poèítá, tak¾e dává smysl zavést splnitelnost i pro obvody. Na¹e obvody
budou mít nìjaké vstupy a~jenom jeden výstup. Budeme se ptát, jestli se vstupy
tohoto obvodu dají nastavit tak, abychom na výstupu dostali \<true>.

\>Nejprve doká¾eme NP-úplnost {\I obvodového SAT-u} a~pak uká¾eme, ¾e se dá
pøevést na obyèejný SAT v~CNF. Tím bude dùkaz Cookovy vìty hotový. Zaènìme
s pomocným lemmatem.

\s{Lemma:} Nech» $L$ je problém v P. Potom existuje polynom $p$ a algoritmus,
který pro $\forall n \ge 0$ spoète v èase $p(n)$ hradlovou sí» $Bn$ s $n$ vstupy
a 1 výstupem takovou, ¾e $\forall x \in \{ 0, 1 \}^n : Bn(x) = L(x)$.

\proof
Náznakem. Na základì zku¹eností z Principù poèítaèù intuitivnì chápeme poèítaèe
jako nìjaké slo¾ité booleovské obvody, jejich¾ stav se mìní v~èase. Uva¾me tedy
nìjaký problém $L \in {\rm P}$ a polynomiální algoritmus, který ho øe¹í. Pro vstup
velikosti~$n$ dobìhne v~èase~$T$ polynomiálním v~$n$ a spotøebuje $\O(T)$ bunìk pamìti.
Staèí nám tedy \uv{poèítaè s~pamìtí velkou $\O(T)$}, co¾ je nìjaký booleovský obvod
velikosti polynomiální v~$T$, a~tedy i v~$n$. Vývoj v~èase o¹etøíme tak, ¾e sestrojíme~$T$
kopií tohoto obvodu, ka¾dá z~nich bude odpovídat jednomu kroku výpoètu a bude
propojena s~\uv{minulou} a \uv{budoucí} kopií. Tím sestrojíme booleovský obvod,
který bude øe¹it problém~$L$ pro vstupy velikosti~$n$ a bude polynomiálnì velký
vzhledem k~$n$.

\s{Poznámka:}
Pro dùkaz následující vìty si dovolíme drobnou úpravu v~definici tøídy NP.
Budeme chtít, aby nápovìda
mìla pevnou velikost, závislou pouze na~velikosti vstupu (tedy: $\vert y \vert
= g(\vert x \vert)$ namísto $\vert y \vert \le g(\vert x \vert)$). Proè je taková
úprava BÚNO? Jistì si dovedete pøedstavit,
¾e pùvodní nápovìdu doplníme na po¾adovanou délku nìjakými \uv{mezerami}, které
program ignoruje. (Tedy upravíme program tak, aby mu nevadilo, ¾e dostane na
konci nápovìdy nìjak kódované mezery.)

\s{Vìta:} Obvodový SAT je NP-úplný.

\proof
Máme tedy nìjaký problém $L$ z~NP a~chceme dokázat, ¾e $L$ se dá pøevést
na~obvodový SAT (tj. NP-tì¾kost). Kdy¾ nám nìkdo pøedlo¾í nìjaký vstup $x$
(chápeme jako posloupnost $x_1, x_2, \ldots, x_n$),
spoèítáme velikost nápovìdy $g(n)$. Víme, ¾e kontrolní
algoritmus~$K$ (který kontroluje, zda nápovìda je správnì) je v~P. Vyu¾ijeme
pøedhozí lemma, abychom získali obvod, který pro konkrétní velikost vstupu
$x$ poèítá to, co kontrolní algoritmus $K$. Na vstupu tohoto obvodu bude $x$
(vstup problému $L$) a~nápovìda~$y$. Na výstupu nám øekne, jestli je nápovìda
správná. Velikost vstupu tohoto obvodu bude tedy $p(g(n))$, co¾ je také polynom.

\fig{kobvod.eps}{2.3cm}

\>V tomto obvodu zafixujeme vstup $x$ (na místa vstupu dosadíme konkrétní hodnoty z $x$). Tím získáme obvod, jeho¾ vstup je jen $y$ a~ptáme se, zda za $y$ mù¾eme dosadit nìjaké hodnoty tak, aby na výstupu bylo \<true>. Jinými slovy, ptáme se, zda je tento obvod splnitelný.

\>Pro libovolný problém z~NP tak doká¾eme sestrojit funkci, která pro ka¾dý vstup~$x$ v~polynomiálním èase vytvoøí obvod, který je splnitelný pravì tehdy, kdy¾ odpovìï tohoto problému na vstup $x$ má být \<true>. Tedy libovolný problém z~NP se dá
v~polynomiálním èase pøevést na obvodový SAT.

\>Obvodový SAT je v NP triviálnì - ??? staèí topologicky setøídit a pak brát hradla postupnì.???
\qed

\s{Lemma:} Obvodový SAT se dá pøevést na 3-SAT.

\proof
Budeme postupnì budovat formuli v~konjunktivní normální formì. Ka¾dý booleovský obvod se dá pøevést v~polynomiálním èase na~ekvivalentní obvod, ve~kterém se vyskytují jen hradla {\sc and} a {\sc not}, tak¾e staèí najít klauzule odpovídající tìmto hradlùm. Pro ka¾dé hradlo v~obvodu zavedeme novou promìnnou popisující jeho výstup. Pøidáme klauzule, které nám kontrolují, ¾e toto hradlo máme ohodnocené konzistentnì.

\>{\I Pøevod hradla \sc not}: na vstupu hradla budeme mít nìjakou promìnnou $x$ (která pøi¹la buïto pøímo ze~vstupu toho celého obvodu nebo je to promìnná, která vznikla na výstupu nìjakého hradla) a na výstupu promìnnou $y$. Pøidáme klauzule, které nám zaruèí, ¾e jedna promìnná bude negací té druhé:
$$\matrix{ (x \lor y), \cr
  (\neg{x} \lor \neg{y}). \cr }
  \hskip 0.2\hsize
\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{not.eps}}}
$$

\>{\I Pøevod hradla \sc and}: Hradlo má vstupy $x, y$ a~výstup $z$. Potøebujeme pøidat klauzule, které nám popisují, jak se má hradlo {\sc and} chovat. Tyto vztahy pøepí¹eme do~konjunktivní normální formy:
$$
\left. \matrix{
  x\ \&\ y \Rightarrow z \cr
  \neg{x} \Rightarrow \neg{z} \cr
  \neg{y} \Rightarrow \neg{z} \cr
}
\ \quad
 \right\}
\quad
\matrix{
 (z \lor \neg{x} \lor \neg{y}) \cr
 (\neg{z} \lor x)              \cr
 (\neg{z} \lor y)              \cr
 }
 \hskip 0.1\hsize
\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{and.eps}}}
$$

\>Kdy¾ chceme pøevádìt obvodový SAT na 3-SAT, obvod nejdøíve pøelo¾íme na takový, ve~kterém jsou jen hradla {\sc and} a~{\sc not}, a~pak hradla tohoto obvodu pøelo¾íme na klauzule. Formule vzniklá z~takovýchto klauzulí je splnitelná pravì tehdy, kdy¾ je splnitelný daný obvod. Pøevod pracuje v polynomiálním èase.
\qed

\s{Poznámka:}
Kdy¾ jsme zavádìli SAT, omezili jsme se jen na formule, které jsou
v~konjunktivní normální formì (CNF). Teï u¾ víme, ¾e splnitelnost obecné
booleovské formule doká¾eme pøevést na obvodovou splnitelnost a tu pak
pøevést na 3-SAT. Opaèný pøevod je samozøejmì triviální, tak¾e obecný SAT
je ve~skuteènosti ekvivalentní s~na¹ím \uv{standardním} SATem pro CNF.

\bye

