\input ../sgr.tex

\prednaska{10}{Suffixové stromy}{}

V~této kapitole popíšeme jednu pozoruhodnou datovou strukturu, pomocí níž dokážeme problémy týkající
se řetězců převádět na grafové problémy a řešit je tak v~lineárním čase.

\h{Řetězce, trie a suffixové stromy}

\ss{Definice:}

\nointerlineskip
\halign{\qquad#\dotfill&~#\hfil\cr
\hbox to 0.35\hsize{}\cr
$\Sigma$					& konečná abeceda -- množina znaků \cr
\omit						& (znaky budeme značit latinskými písmeny)\cr
$\Sigma^*$					& množina všech slov nad $\Sigma$ \cr
\omit						& (slova budeme značit řeckými písmeny)\cr
$\varepsilon$					& prázdné slovo\cr
$\vert\alpha\vert$				& délka slova $\alpha$\cr
$\alpha\beta$					& zřetězení slov $\alpha$ a $\beta$ ($\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha$)\cr
$\alpha^R$					& slovo $\alpha$ napsané pozpátku\cr
$\alpha$ je {\I prefixem} $\beta$		& $\exists\gamma: \beta=\alpha\gamma$ ($\beta$ začíná na~$\alpha$)\cr
$\alpha$ je {\I suffixem} $\beta$		& $\exists\gamma: \beta=\gamma\alpha$ ($\beta$ končí na~$\alpha$)\cr
$\alpha$ je {\I podslovem} $\beta$		& $\exists\gamma,\delta: \beta=\gamma\alpha\delta$ (značíme $\alpha \subset \beta$)\cr
$\alpha$ je {\I vlastním prefixem} $\beta$	& je prefixem a $\alpha\ne\beta$ \cr
\omit						& (analogicky vlastní suffix a podslovo)\cr
}

\s{Pozorování:} Prázdné slovo je prefixem, suffixem i podslovem každého slova včetně sebe sama.
Podslova jsou právě prefixy suffixů a také suffixy prefixů.

\s{Definice:} {\I Trie ($\Sigma$-strom)} pro konečnou množinu slov $X\subset\Sigma^*$ je orientovaný graf $G=(V,E)$, kde:
\itemize\relax
\:$V = \{\alpha: \alpha\hbox{ je prefixem nějakého $\beta\in X$} \},$
\:$(\alpha,\beta)\in E \equiv \exists x\in\Sigma: \beta=\alpha x$.
\endlist

\s{Pozorování:} Trie je strom s kořenem $\varepsilon$. Jeho listy jsou slova z $X$, která nejsou vlastními prefixy jiných slov z~$X$.
Hrany si můžeme představit popsané písmeny, o~něž prefix rozšiřují, popisky hran na~cestě z~kořene do~vrcholu~$\alpha$ dávají právě slovo~$\alpha$.

\s{Definice:} {\I Komprimovaná trie ($\Sigma^+$-strom)} vznikne z trie nahrazením maximálních nevětvících se cest hranami. Hrany
jsou tentokrát popsané řetězci místo jednotlivými písmeny, přičemž popisky všech hran vycházejících z~jednoho vrcholu se liší v~prvním
znaku. Vrcholům \uv{uvnitř hran} (které padly za oběť kompresi) budeme říkat {\I skryté vrcholy.}

\s{Definice:} {\I Suffixový strom (ST)} pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ je komprimovaná trie pro $X=\{\alpha: \hbox{$\alpha$ je suffixem $\sigma$}\}$.

\s{Pozorování:} Vrcholy suffixového stromu (včetně skrytých) odpovídají prefixům suffixů slova~$\sigma$,
tedy všem jeho podslovům. Listy stromu jsou suffixy, které se v~$\sigma$ již nikde jinde nevyskytují
(takovým suffixům budeme říkat {\I nevnořené}). Vnitřní vrcholy odpovídají {\I větvícím podslovům,}
tedy podslovům $\alpha\subset\sigma$ takovým, že $\alpha a\subset\sigma$ i $\alpha b\subset\sigma$
pro nějaké dva různé znaky~$a$,~$b$.

Někdy může být nepraktické, že některé suffixy neodpovídají listům (protože jsou vnořené), ale
s~tím se můžeme snadno vypořádat: přidáme na~konec slova~$\sigma$ nějaký znak~$\$$, který se nikde
jinde nevyskytuje. Neprázdné suffixy slova $\sigma\$$ odpovídají suffixům slova~$\sigma$
a žádný z~nich nemůže být vnořený. Takový suffixový strom budeme značit ST\$.

\s{Příklad:}

\figure{baraba.epdf}{Suffixy slova \uv{baraba}: trie, suffixový strom, ST s~dolarem}{}

\>Nyní jak je to s~konstrukcí suffixových stromů:

\s{Lemma:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ je reprezentovatelný v~prostoru $\O(n)$.

\proof Strom má $\O(n)$ listů a každý vnitřní vrchol má alespoň $2$ syny, takže vnitřních
vrcholů je také $\O(n)$. Hran je rovněž lineárně. Nálepky na~hranách stačí popsat
počáteční a koncovou pozicí v~$\sigma$.
\qed

\s{Věta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ lze sestrojit v~čase $\O(n)$.

\proof Ve~zbytku této kapitoly předvedeme dvě různé konstrukce v~lineárním čase.
\qed

\s{Aplikace} -- co vše dokážeme v~lineárním čase, když umíme lineárně konstruovat ST:

\nobreak

\numlist\ndotted
\:{\I Inverzní vyhledávání} (tj. předzpracujeme si v~lineárním čase text a pak umíme pro libovolné
slovo~$\alpha$ v~čase $\O(\vert\alpha\vert)$ rozhodnout, zda se v~textu vyskytuje)\foot{Čili přesný
opak toho, co~umí vyhledávací automat -- ten si předzpracovává dotaz.} -- stačí sestrojit~ST
a pak jej procházet od~kořene. Také umíme najít všechny výskyty (odpovídají suffixům, které mají
jako prefix hledané slovo, takže stačí vytvořit ST\$ a vypsat všechny listy pod
nalezeným vrcholem) nebo přímo vrátit jejich počet (předpočítáme si pomocí DFS pro každý vrchol,
kolik pod ním leží listů).

\:{\I Nejdelší opakující se podslovo} -- takové podslovo je v~ST\$ nutně větvící, takže stačí
najít vnitřní vrchol s~největší {\I písmenkovou hloubkou} (tj. hloubkou měřenou ve~znacích
místo ve~hranách).

\:{\I Histogram četností podslov délky~$k$} -- rozřízneme ST\$ v~písmenkové hloubce~$k$ a spočítáme,
kolik původních listů je pod každým novým.

\:{\I Nejdelší společné podslovo} slov~$\alpha$ a $\beta$ -- postavíme ST pro slovo $\alpha\$_1\beta\$_2$,
jeho listy odpovídají suffixům slov $\alpha$ a $\beta$. Takže stačí pomocí DFS najít nejhlubší vnitřní
vrchol, pod kterým se vyskytují listy pro~$\alpha$ i $\beta$. Podobně můžeme sestrojit ST\$ pro libovolnou
množinu slov.\foot{Jen si musíme dát pozor, abychom si moc nezvětšili abecedu; jak moc si ji
můžeme dovolit zvětšit, vyplyne z~konkrétních konstrukcí.}

\:{\I Nejdelší palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro něž je $\beta^R=\beta$)
-- postavíme společný ST\$ pro slova $\alpha$ a $\alpha^R$. Postupně procházíme přes všechny možné středy
palindromického podslova a všimneme si, že takové slovo je pro každý střed nejdelším společným
prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu pozpátku k~začátku,
čili nějakého suffixu $\alpha$ a nějakého suffixu $\alpha^R$. Tyto suffixy ovšem odpovídají
listům sestrojeného ST a jejich nejdelší společný prefix je nejbližším společným předchůdcem
ve~stromu, takže stačí pro strom vybudovat datovou strukturu pro společné předchůdce
a s~její pomocí dokážeme jeden střed prozkoumat v~konstantním čase.

\:{\I Burrows-Wheelerova Transformace} \cite{burrows:bwt} -- jejím základem je lexikografické setřídění všech
rotací slova~$\sigma$, což zvládneme sestrojením ST pro slovo~$\sigma\sigma$, jeho
uříznutím v~písmenkové hloubce~$\vert\sigma\vert$ a vypsáním nově vzniklých listů v~pořadí
\uv{zleva doprava}.
\endlist

\s{Cvičení:} Zkuste vymyslet co nejlepší algoritmy pro tyto problémy bez použití~ST.

\h{Suffixová pole}

\>V~některých případech se hodí místo suffixového stromu používat kompaktnější datové struktury.

\s{Notace:} Pro slovo $\sigma$ bude $\sigma[i]$ značit jeho $i$-tý znak (číslujeme od~nuly),
$\sigma[i:j]$ pak podslovo $\sigma[i]\sigma[i+1]\ldots\sigma[j-1]$. Libovolnou z~mezí můžeme vynechat, proto
$\sigma[i:{}]$ bude suffix od~$i$ do~konce a $\sigma[{}:j]$ prefix od~začátku do~$j-1$.
Pokud $j\le i$, definujeme $\sigma[i:j]$ jako prázdné slovo, takže prázdný suffix můžeme
například zapsat jako $\sigma[\vert\sigma\vert:{}].$

${\rm LCP}(\alpha,\beta)$ bude značit délku nejdelšího společného prefixu slov $\alpha$ a $\beta$,
čili největší $i\le \vert\alpha\vert,\vert\beta\vert$ takové, že $\alpha[{}:i]=\beta[{}:i]$.

\s{Definice:} {\I Suffixové pole (Suffix Array)} $A_\sigma$ pro slovo $\sigma$ délky~$n$ je posloupnost všech suffixů
slova~$\sigma$ v~lexikografickém pořadí. Můžeme ho reprezentovat například jako permutaci $A$ čísel
$0,\ldots,n$, pro níž $\sigma[A[0]:{}] < \sigma[A[1]:{}] < \ldots < \sigma[A[n]:{}]$.

\s{Definice:} {\I Pole nejdelších společných prefixů (Longest Common Prefix Array)} $L_\sigma$ pro slovo $\sigma$ je posloupnost,
v~níž $L_\sigma[i]:={\rm LCP}(A_\sigma[i],A_\sigma[i+1])$.

\s{Věta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma\$$ a dvojici $(A_\sigma,L_\sigma)$ na sebe lze
v~lineárním čase převádět.

\proof Když projdeme ST($\sigma\$$) do hloubky, pořadí listů odpovídá posloupnosti $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitřních
vrcholů v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma\$$) získáme tak, že sestrojíme kartézský strom
pro~$L_\sigma$ (získáme vnitřní vrcholy ST), doplníme do~něj listy, přiřadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
a nakonec podle listů rekonstruujeme nálepky hran.
\qed

\h{Rekurzivní konstrukce}

\>Ukážeme algoritmus, který pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ délky~$n$ sestrojí jeho suffixové pole
a LCP pole v~čase $\O(n+{\rm Sort}(n,\Sigma))$, kde ${\rm Sort}(\ldots)$ je čas potřebný pro setřídění
$n$~symbolů z~abecedy~$\Sigma$. V~kombinaci s~předchozími výsledky tedy dostaneme lineární konstrukci
ST($\sigma$) pro libovolnou fixní abecedu.

\s{Algoritmus:} (Konstrukce $A$ a $L$ podle Kärkkäinena a Sanderse \cite{karkkainen03simple})

\algo
\:Redukujeme abecedu na~$1\ldots n$: ve~vstupním slovu je nejvýše $n$ různých znaků,
takže je stačí setřídit a přečíslovat.

\:Definujeme slova $\sigma_0$, $\sigma_1$, $\sigma_2$ následovně:
$$\eqalign{
\sigma_0[i] &:= \left<\sigma[3i],\sigma[3i+1],\sigma[3i+2]\right>\cr
\sigma_1[i] &:= \left<\sigma[3i+1],\sigma[3i+2],\sigma[3i+3]\right>\cr
\sigma_2[i] &:= \left<\sigma[3i+2],\sigma[3i+3],\sigma[3i+4]\right>\cr
}$$
Všechna $\sigma_k$ jsou slova délky $\approx n/3$ nad~abecedou velikosti $n^3$. Dovolíme
si mírně zneužívat notaci a používat symbol $\sigma_k$ i jejich přepis do~abecedy původní.

\:Zavoláme algoritmus rekurzivně na slovo $\sigma_0\sigma_1$, čímž získáme $A_{01}$ a $L_{01}$.
(Suffixy slova $\sigma_0\sigma_1$ odpovídají suffixům slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$.)

\:Spočítáme pole $P_0$ a $P_1$, která nám budou říkat, kde se v~$A_{01}$ vyskytuje
který suffix slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$. Tedy $A_{01}[P_0[i]]=i$, $A_{01}[P_1[i]] = i+\vert\sigma_0\vert$.
Jinými slovy, $P_0$ a~$P_1$ budou části inverzní permutace k~$A_{01}$. Všimněte si,
že platí $P_i[x] < P_j[y]$ právě tehdy, když $\sigma_i[x:{}] < \sigma_j[y:{}]$, takže
suffixy slov $\sigma_0$ a~$\sigma_1$ od této chvíle umíme porovnávat v~čase~$\O(1)$.

\:Vytvoříme~$A_2$ (suffixové pole pro~$\sigma_2$): Jelikož $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:{}] = \sigma[3i+2]\sigma[3i+3:\nobreak{}\nobreak] = \sigma[3i+2]\sigma_0[i+1:{}]$,
odpovídá lexikografické pořadí suffixů $\sigma_2[i:{}]$ pořadí dvojic $(\sigma[3i+2],P_0[i+1])$.
Tyto dvojice ovšem můžeme setřídit dvěma průchody přihrádkového třídění.

\:Slijeme $A_{01}$ a~$A_2$ do~$A$: sléváme dvě setříděné posloupnosti,
takže stačí umět jejich prvky v~konstantním čase porovnat:
$$\eqalign{
\sigma_0[i:{}] < \sigma_2[j:{}] \Leftrightarrow{} &\sigma[3i:{}] < \sigma[3j+2:{}] \cr
                                \Leftrightarrow{} &\sigma[3i]\,\sigma_1[i:{}] < \sigma[3j+2]\,\sigma_0[j+1:{}],\cr
\sigma_1[i:{}] < \sigma_2[j:{}] \Leftrightarrow{} &\sigma[3i+1:{}] < \sigma[3j+2:{}] \cr
                                \Leftrightarrow{} &\sigma[3i+1]\,\sigma[3i+2]\,\sigma_0[i+1:{}] < \cr
                                                  &\sigma[3j+2]\,\sigma[3j+3]\,\sigma_1[j+1:{}].\cr
}$$
Pokaždé tedy porovnáme nejvýše dvě dvojice znaků a pak dvojici suffixů slov $\sigma_0$ a $\sigma_1$,
k~čemuž nám pomohou pole $P_0$ a~$P_1$.

\:Dopočítáme $L$:
   \::Pokud v~$A$ sousedí suffix slova~$\sigma_{0,1}$ se suffixem slova~$\sigma_{0,1}$,
      sousedí tyto dva suffixy i v~$A_{01}$, takže jejich LCP najdeme přímo v~$L$.
   \::Setkají-li se dva suffixy slova~$\sigma_2$, všimneme si, že
      $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:\nobreak{}] = \sigma[3i+2]\,\sigma_0[i+1:{}]$.
      ${\rm LCP}(\sigma_2[i:{}],\sigma_2[j:{}])$ je tedy buďto~0 (pokud $\sigma[3i+2]\ne\sigma[3j+2]$),
      nebo $1+3\cdot{\rm LCP}(\sigma_0[i+1:{}],\sigma_0[j+1:{}])$, případně totéž zvýšené
      o~1 nebo~2, pokud se trojznaky v~$\sigma_0$ následující po LCP zčásti shodují.
      Přitom ${\rm LCP}(\sigma_0[p:{}],\sigma_0[q:{}])$ spočítáme pomocí~$L$.
      Je to totiž minimum intervalu v~$L$ mezi indexy $P_0[p]$ a~$P_0[q]$. To zjistíme
      v~konstantním čase pomocí struktury pro intervalová minima.
   \::Pokud se setká suffix slova~$\sigma_{0,1}$ se suffixem slova~$\sigma_2$, stačí
      tyto suffixy přepsat podobně jako v~6.~kroku a problém tím opět převést
      na výpočet LCP dvou suffixů slov~$\sigma_{0,1}$.

\endalgo

\s{Analýza časové složitosti:} Třídění napoprvé trvá ${\rm Sort}(n,\Sigma)$, ve~všech
rekurzivních voláních už je lineární (trojice čísel velikosti $\O(n)$ můžeme třídit tříprůchodovým
přihrádkovým tříděním s~$\O(n)$ přihrádkami). Z~toho dostáváme:
$$T(n) = T(2/3\cdot n) + \O(n),~\hbox{a tedy}~T(n)=\O(n).$$
\qed

\h{Ukkonenova inkrementální konstrukce}

\>Ukkonen popsal algoritmus \cite{ukkonen95line} pro konstrukci suffixového stromu bez dolarů,
pracující inkrementálně: Začne se stromem pro prázdné slovo a postupně na konec slova přidává
další znaky a přepočítává strom. Každý znak přitom přidá v~amortizovaně konstantním čase.
Pro slovo~$\sigma$ tedy dokáže sestrojit ST v~čase $\O(\vert\sigma\vert)$.

Budeme předpokládat, že hrany vedoucí z~jednoho vrcholu je možné indexovat jejich
prvními písmeny -- to bezpečně platí, pokud je abeceda pevná; není-li, můžeme
si pomoci hešováním.

\s{Pozorování:} Když slovo~$\sigma$ rozšíříme na~$\sigma a$, ST se změní následovně:

\numlist\ndotted
\:Všechny stávající vrcholy stromu (včetně skrytých) odpovídají podslovům slova~$\sigma$.
  Ta jsou i podslovy $\sigma a$, takže se budou nacházet i v~novém stromu.
\:Pokud $\beta$ bylo větvící slovo, zůstane nadále větvící -- tedy vnitřní vrcholy ve~stromu zůstanou.
\:Každý nový suffix~$\beta a$ vznikne prodloužením nějakého původního suffixu~$\beta$. Přitom:
  \itemize\ibull
  \:Pokud byl~$\beta$ nevnořený suffix (čili byl reprezentovaný listem), ani $\beta a$
    nebude vnořený. Z~toho víme, že listy zůstanou listy, pouze jim potřebujeme prodloužit
    nálepky. Aby to netrvalo příliš dlouho, zavedeme {\I otevřené hrany,} jejichž nálepka
    říká \uv{od~pozice~$i$ do konce}. Listy se tak o~sebe postarají samy.
  \:Pokud $\beta$ byl vnořený suffix (tj. vnitřní či skrytý vrchol):
    \itemize\ibull
      \:Buď se $\beta a$ vyskytuje v~$\sigma$, a tím pádem je to vnořený suffix nového slova
        a strom není nutné upravovat;
      \:nebo se $\beta a$ v~$\sigma$ nevyskytuje -- tehdy pro něj musíme založit nový list
        s~otevřenou hranou a případně i nový vnitřní vrchol, pod nímž bude tento list připojen.
    \endlist
  \endlist
\endlist

Víme tedy, co všechno je při rozšíření slova potřeba ve~stromu upravit.
Zbývá vyřešit, jak to udělat efektivně.

\s{Vnořené suffixy:}
Především potřebujeme umět rozpoznat, které suffixy jsou vnořené a které nikoliv.
K~tomu se hodí všimnout si, že vnořené suffixy tvoří souvislý úsek:

{\narrower
\s{Lemma:} Je-li $\alpha$ vnořený suffix slova~$\sigma$ a $\beta$ je suffix slova~$\alpha$,
pak $\beta$ je v~$\sigma$ také vnořený.

\proof
Ve~slově sigma se vyskytuje $\alpha x$ a $\alpha y$ pro nějaké dva různé znaky $x$ a~$y$.
Každý z~těchto výskytů přitom končí výskytem slova~$\beta$, jednou následovaným~$x$,
podruhé~$y$.
\qed

}

\>Stačí si tedy zapamatovat nejdelší vnořený suffix slova~$\sigma$. Tomu budeme říkat
{\I aktivní suffix} a budeme ho značit $\alpha(\sigma)$. Libovolný suffix~$\beta\subseteq\sigma$
pak bude vnořený právě tehdy, když $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$.

Aktivní suffix tedy tvoří hranici mezi nevnořenými a vnořenými suffixy. Jak se tato
hranice posune, když slovo~$\sigma$ rozšíříme? Na to je odpověď snadná:

{\narrower
\s{Lemma:} Pro každé $\sigma$, $a$ platí: $\alpha(\sigma a)$ je suffixem $\alpha(\sigma)a.$

\proof
$\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto stačí porovnat jejich délky.
Slovo $\beta := \hbox{\uv{$\alpha(\sigma a)$ bez koncového~$a$}}$ je vnořeným suffixem v~$\sigma$, takže
$\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$, a~tedy také $\vert\alpha(\sigma a)\vert = \vert\beta a\vert \le \vert\alpha(\sigma)a\vert$.
\qed

}

\>Hranice se tedy může posouvat pouze doprava, případně zůstat na místě.
Toho lze snadno využít.

\s{Idea algoritmu:} Udržujeme si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a při přidání znaku $a$ zkontrolujeme,
zda $\alpha a$ je stále vnořený suffix. Pokud ano, nic se nemění, pokud ne, přidáme nový list
a případně také vnitřní vrchol, $\alpha$ zkrátíme zleva o~znak a testujeme dál.

\s{Analýza:} Po~přidání jednoho znaku na konec slova~$\sigma$ provedeme amortizovaně
konstantní počet úprav stromu (každá úprava slovo $\alpha$ zkrátí, po všech úpravách
přidáme k~$\alpha$ jediný znak). Tudíž stačí ukázat, jak provést každou úpravu
v~(amortizovaně) konstantním čase. K~tomu potřebujeme šikovnou reprezentaci slova~$\alpha$,
která bude umět efektivně prodlužovat zprava, zkracovat zleva a testovat existenci
vrcholu ve~stromu.

\s{Definice:} {\I Referenční pár} pro slovo $\alpha\subseteq\sigma$ je dvojice
$(\pi,\tau)$, v~níž $\pi$ je vrchol stromu, $\tau$ libovolné slovo a $\pi\tau=\alpha$.
Navíc víme, že $\tau\subseteq\sigma$, takže si~$\tau$ stačí pamatovat jako dvojici
indexů ve~slově~$\sigma$.

Referenční pár je {\I kanonický,} pokud neexistuje hrana vedoucí z~vrcholu~$\pi$ s~nálepkou,
která by byla prefixem slova~$\tau$. (Všimněte si, že taková hrana se pozná podle toho,
že první znak nálepky se shoduje s~prvním znakem slova~$\tau$ a nálepka není delší než
slovo~$\tau$. Shodu ostatních znaků není nutné kontrolovat.)

\s{Pozorování:} Ke~každému slovu $\alpha\subseteq\sigma$ existuje právě jeden kanonický
referenční pár, který ho popisuje. To je ze~všech referenčních párů pro toto slovo
ten s~nejdelším~$\pi$ (nejhlubším vrcholem).

\s{Definice:} Zpětná hrana $\<back>(\pi)$ vede z~vrcholu $\pi$ do~vrcholu,
který je zkrácením slova~$\pi$ o~jeden znak zleva. (Nahlédneme, že takový
vrchol musí existovat: pokud je $\pi$ vnitřní vrchol, pak je slovo~$\pi$
větvící, takže každý jeho suffix musí také být větvící, a~tím pádem musí
odpovídat nějakého vrcholu.)

\s{Operace s~referenčními páry:}
S~referenčním párem $(\pi,\tau)$ popisujícím slovo~$\alpha$ potřebujeme provádět
následujicí operace:

\itemize\ibull
\:{\I Přidání znaku~$a$ na konec:} Připíšeme~$a$ na konec slova~$\tau$.
  To je jistě referenční pár pro $\alpha a$, ale nemusí být kanonický.
  Přitom můžeme snadno ověřit, zda se $\alpha a$ ve~stromu nachází,
  a případně operaci odmítnout.
\:{\I Odebrání znaku ze~začátku:} Pokud $\pi$ není kořen stromu, položíme
  $\pi\leftarrow\<back>(\pi)$ a zachováme~$\tau$. Pokud naopak je~$\pi$
  prázdný řetězec, odebereme z~$\tau$ jeho první znak (to lze udělat
  v~konstantním čase, protože~$\tau$ je reprezentované dvojicí indexů do~$\sigma$).
\:{\I Převedení na kanonický tvar:} Obě předchozí operace mohou vytvořit referenční
  pár, který není kanonický. Pokaždé proto kanonicitu zkontrolujeme a případně
  pár upravíme. Ověříme, zda hrana z~$\pi$ indexovaná písmenem~$a$ není
  dost krátká na to, aby byla prefixem slova~$\tau$. Pokud je, tak se
  po~této hraně přesuneme dolů, čímž~$\pi$ prodloužíme a~$\tau$ zkrátíme,
  a proces opakujeme. Jelikož tím pokaždé $\tau$~zkrátíme a kdykoliv jindy
  se $\tau$ prodlouží nejvýše o~1, mají všechny převody na kanonický tvar
  amortizovaně konstantní složitost.
\endlist

\>Nyní již můžeme doplnit detaily, získat celý algoritmus a nahlédnout,
že pracuje v~amortizovaně konstantním čase.

\s{Algoritmus podrobněji:}

\algo
\:{\I Vstup:} $\alpha=\alpha(\sigma)$ reprezentovaný jako kanonický referenční pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma$ spolu s~hranami \<back>, nový znak~$a$.
\:Zjistíme, jestli $\alpha a$ je přítomen ve~stromu, a případně ho založíme:
\::Pokud $\tau=\varepsilon$: ($\alpha=\pi$ je vnitřní vrchol)
\:::Vede-li z~vrcholu $\pi$ hrana s~nálepkou začínající znakem $a$, pak je přítomen.
\:::Nevede-li, není přítomen, a~tak přidáme novou otevřenou hranu vedoucí z~$\pi$ do~nového listu.
\::Pokud $\tau\ne\varepsilon$: ($\alpha$ je skrytý vrchol)
\:::Najdeme hranu, po~níž z~$\pi$ pokračuje slovo $\tau$ (která to je, poznáme podle prvního znaku slova~$\tau$).
\:::Pokud v~popisce této hrany po~$\tau$ následuje znak~$a$, pak je $\alpha a$ přítomen.
\:::Pokud nenásleduje, tak nebyl přítomen, čili tuto hranu rozdělíme: přidáme na~ni nový vnitřní vrchol,
    do~nějž povede hrana s~popiskou~$\tau$ a z~něj zbytek původní hrany a otevřená hrana do~nového listu.
\:Pokud $\alpha a$ nebyl přítomen, tak $\alpha$ zkrátíme a vrátíme se na~krok~2.
\:Nyní víme, že $\alpha a$ již byl přítomen, takže upravíme referenční pár, aby popisoval $\alpha a$.
\:Dopočítáme zpětné hrany (viz níže).
\:{\I Výstup:} $\alpha=\alpha(\sigma a)$ jako kanonický referenční pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
  a jeho zpětné hrany \<back>.
\endalgo

\s{Zpětné hrany:}
Zbývá dodat, jak nastavovat novým vrcholům jejich zpětné hrany. To potřebujeme
jen pro vnitřní vrcholy (na~zpětné hrany z~listů se algoritmus nikdy neodkazuje).
Všimneme si, že pokud jsme založili vrchol, odpovídá tento vrchol vždy současnému~$\alpha$
a zpětná hrana z~něj povede do~zkrácení slova~$\alpha$ o~znak zleva, což je
přesně vrchol, který založíme (nebo zjistíme, že už existuje) v~příští iteraci
hlavního cyklu. V~další iteraci ještě určitě nebudeme tuto hranu potřebovat,
protože $\pi$ vždy jen zkracujeme, a~tak můžeme vznik zpětné hrany o~iteraci
zpozdit. Výroba zpětné hrany tedy bude také trvat jen konstantně dlouho.

\references
\bye
