\input ../lecnotes.tex

\prednaska{10}{Pøevody problémù}{(zapsali Martin Chytil, Vladimír Kudelas)}

Na této pøedná¹ce se budeme zabývat rozhodovacími problémy a pøevody mezi nimy.

\s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} je takový problém, jeho¾ výstupem je v¾dy {\sc ano} nebo {\sc ne}

\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$, $k \in N$. Existuje v $G$ párování, které obsahuje alespoò $k$ hran?

\s{Pøíklad:} Daný problém pøevedeme na jiný: Párování $\rightarrow$ (lze pøevést) $\rightarrow$ hledání maximálního toku.
Tzn. Existuje v síti $G$ tok velikosti alespoò $k$?

\s{Obecnì se dá øici:} Pokud daný pro problém umíme rozhodnout, zda platí $\Rightarrow$ umíme najít øe¹ení problému.
\s{Pøíklad:} Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný graf má nebo nemá perfektní párování. Odebereme hranu a zeptáme se, jestli i tento nový graf má pefektní párovaní. Kdy¾ má, tak tahle hrana nebyla potøebná pro párování, vyhodíme ji, proto¾e ji nepotøebujeme. 
Kdy¾ nemá (hrana patøí do párování), tak si danou hranu poznamenáme a odebereme ji i její vrcholy a také hrany, které vedli do tìchto vrcholù. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s ¾ádnými jinými vrcholy.    
Tohle iterujeme dokud to jde. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí do maximálního párování. Tím jsme dané párování nalezli. 
Hran je polynomiálne mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e algoritmus je polynomiální.

\s{Definice:} Jsou-li A, B rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e A lze redukovat na B ($A \rightarrow B$) $\Leftrightarrow$ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase, t¾. pro $\forall x: A(x) = B(f(x))$

\s{Pøíklad:} Bipartitní graf $\rightarrow$ Tok v síti
funkce $f$ je funkce, která vezme bipartitní graf a vyrobí z nìj regulerní sí» (pøidá zdroj, stok, hrany + ohodnocení)

\s{Nìco málo o slo¾itosti:}
Kdy¾ $A$ lze redukovat na $B$ a $B$ umíme vyøe¹it v èase $O(\vert vstup \vert^l) = O(\vert f(x)\vert^l)$
$ pro vstup x: \vert x \vert = n$
$ \vert f(x)\vert = O(n^k)$ pro nìjaké k
B poèíta v èase $O(n^{kl})$
$f$ poèíta v polynomiálním èase $\rightarrow$ mù¾e vydat maximálne polynomiální výstup

\s{Pozorování:} funkce $f$ je:
\itemize\ibull
\:reflexivní (úlohu mù¾eme identicky pøevést na tu stejnou), $A \rightarrow A$
\:tranzitivní, $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$, $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $(f o g)$
\endlist

\h{1.Problém: SAT}
\itemize\ibull
\:splnitelnost logických formulí
\:tj. dosazení $0,1$ do logické formule tak, aby formule platila
\endlist

Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí - konjunktivní normální forma:
$$(\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor) \& (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor) \& \ldots $$ 

{\I Vstup:} formule v konjunktivní normální formì (CNF)
{\I Výstup} $\exists$ dosazení $0/1$ za promìnné t.¾. $\phi(\ldots) = 1$.

$$ \phi(x, y, \ldots) = (x \lor \lnot y \lor \ldots) \& (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor) \& \ldots $$
\itemize\ibull
\:formule zadána pomocí klauzulí oddìlených \&,
\:ka¾dá klauzule je slo¾ená z literálù oddìlených $\lor$,
\:ka¾dý literál je slo¾ený z promìnných, nebo $\lnot$ promìnných
\endlist 

Uká¾eme, ¾e staèí vyøe¹it jednodu¹¹í problém 3-SAT.

\h{2.Problém: 3-SAT}
{\I 3-SAT} je SAT, kde ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e 3 literály

\s{Pøevod 3-SAT na SAT}
platí identita, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT = SAT (3-SAT je alespoò tak tì¾ký, jako SAT)

\s {Pøevod SAT na 3-SAT}
- musíme formuli pøevést tak, abychom neporu¹ili splnitelnost
{\I trik pro dlouhé klauzule:} 
$$(\alpha \lor \beta) t¾. \vert\alpha\vert + \vert\beta\vert \ge 4$$
pøepí¹eme na: $$(\alpha \lor x) \& (\beta \lor \lnot x)$$
$x$ je nová promìnná, kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule
platí-li:
\itemize\ibull
\:$\alpha \rightarrow x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule)
\:$\beta \rightarrow x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule)
\:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \rightarrow x = 0/1$ (je nám to jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní)
Hodnota x nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e se v ní nevyskytuje, proto ji mù¾eme nastavit, jak chceme my.
Tento trik opakujeme tak dlouho, dokud je to tøeba.

{\I poznámka} u 3-SAT lze vynutit právì $3$ literály, pro krátké klauzule pou¾ijeme následující trik:
$$(a) \rightarrow (a \lor x) \& (a \lor \lnot x) $$

\h{3. Problém: Hledání nezávislé mno¾iny v grafu}
\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina:} je tvoøena vrcholy grafu, které spolu nemají spoleènou hranu

{\I Vstup:} Neorientovaný graf G, $k \in N$
{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$, $u,v \in A \Rightarrow (uv) \not\in E(G)$ ?

Úlohu øe¹íme tak, ¾e problém 3-SAT pøevedeme tuto úlohu.

\s{poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina.
 
\s{øe¹ení úlohy:} Z ka¾dé klauzule vybereme $1$ literál tak, abychom v rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. $x a \lnot x$

\s {pøíklad} 
$$(x \lor y \lor z) \& (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \& (\lnot x \lor \lnot y \lor p) $$
pro ka¾dou klauzuli sestrojíme graf (trojúhelník) + pøidáme "konfliktní" hrany tj. $x a \lnot x$

Princip je takový, ¾e z ka¾dé klauzule si vybereme promìnnou, která danou klauzuli splní a to, aby promìnné, které si vybereme nekolidovali, vyøe¹íme hranami mezi promìnnými a jejich negacemi. 

Existuje NzMna velikosti rovné poètu klauzulí?
Pokud ano, tak dostaneme seznam promìnných, pomocí kterých splníme danou formuli.

\h{4. Problém: Klika}
{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$
{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech ?
\s{øe¹ení:} prohodíme hrany a nehrany $\rightarrow$ hledání nezávislé mno¾iny
\s{dùvod:} pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v "invertovaném" grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu

\s{Pøíklad:} (viz obrázky)

\s{Pøevod NzMna na SAT}
Máme promìnné $v_1 \ldots v_n$ pro vrcholy

pro ka¾dé $(i,j) \in E(G)$ pøidáme klauzuli $(\lnot vi \lor \lnot vj)$


prvek matice $x_{i,j} = 1 \Leftrightarrow i$-tý prvek je vrchol $j$, tj. $\forall i,j$, $x_{ij} \Rightarrow v_j$

$\forall j,i,i^{'}, i\ne i^{'} : x_{ij} \Rightarrow x_{i^{'}j}$

$\forall i,j,j^{'}, j\ne j^{'} : x_{ij} \Rightarrow x_{ij^{'}}$


\h{5. Problém: 3D -- párování (matching)}
{\I Vstup:} Mno¾ina K, H, Z + mno¾ina kompatibilních 3-ic (ti, kteøí se spolu snesou)
{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina 3-ic
\s{Øe¹ení:} pøes 3,3-SAT (konkrétnìji viz dal¹í pøedná¹ka)


\h{3,3-SAT}
\s{Definice:} {\I 3,3-SAT} je speciální pøípad 3-SATu, kde ka¾dá promìnná se vyskytuje v maximálnì 3 literálech

\s{Pøevod 3-SAT na 3,3-SAT}
Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v $k > 3$ literálech, tak nahradíme výskyty novými promìnnými $x_1 \ldots x_k$ a pøidáme klauzule
$$
(\lnot x_1 \lor x_2)
(\lnot x_2 \lor x_3)
(\lnot x_3 \lor x_4)
\ldots
(\lnot x_{k-1} \lor x_k)
(\lnot x_k \lor x_1)
$$

co¾ odpovídá:

$$
(x_1 \Rightarrow x_2)
(x_2 \Rightarrow x_3)
(x_3 \Rightarrow x_4)
\ldots
(x_{k-1} \Rightarrow x_k)
(x_k \Rightarrow x_1)
$$
tímto zaruèíme, ¾e v¹echny promìnné budou mít stejnou hodnotu.

\bye
