\input ../lecnotes.tex

\prednaska{10}{Hledání nejkrat¹í cesty}{(zapsali L. Banáková, O. Hoferek, J. Bøeèka)}

\s{Problém:} Je dán graf G, kde $l(u,v)$~=~délka hrany~$(u,v)$. Dále jsou dány vrcholy
$s,c~\in~V(G)$. Chceme najít cestu $s=v_1, v_2, \dots, v_k=c$ takovou, aby
$$l(v_1, v_2) + l(v_2, v_3) + \dots + l(v_{k-1}, v_k)$$ bylo minimální. Takovéto
cestì budeme øíkat nejkrat¹í cesta z~$s$~do~$c$.

\noindent
Bez újmy na obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e graf G je orientovaný, bez smyèek a
násobných hran.

\noindent
Nejprve uvá¾íme, ¾e $l=const.$ $1$ :

\s{Algoritmus:} (Prohledávání do ¹íøky (BFS))

\algo
\:$z(*) \leftarrow 0, z(s) \leftarrow 1$
\:$Q \leftarrow {s}$
\:while $Q \not= \emptyset$
\::$v \leftarrow Get(Q)$
\::for $\forall w: (v,w)\in E$
\:::if $z(w) = 0$ then
\::::$z(w) \leftarrow 1$
\::::$Put(Q, w)$
\endalgo

\s{Lemma È (èasové):} BFS dobìhne v~èase $\O(m+n)$.

\proof
Ka¾dý vrchol se do fronty dostane maximálnì jednou a ka¾dou hranu zpracujeme
maximálnì jednou.
\qed

\s{Lemma D (dosa¾itelnost):} BFS oznaèí právì vrcholy dostupné ze $s$.

\proof

\noindent
,,$\Rightarrow$``: Zjevné, indukcí podle bìhu algoritmu.

\noindent
,,$\Leftarrow$``: Doká¾eme sporem. Uva¾me, ¾e existuje vrchol dostupný, ale algoritmem
neoznaèený. Vezmìme takovýto ,,¹patný`` vrchol $v$, který je $s$ nejblí¾e. Uva¾me
nejkrat¹í cestu $(s,v)$: $s,\dots,u,v$. Pøedchozí vrchol na této cestì $u$
musí být ,,dobrý``. Vrchol $u$ se dostane do fronty, pak je z~ní vybrán a tím
se zpracuje i vrchol $v$ $\Rightarrow$ spor.

\s{Definice:} {\I Vzdálenost vrcholù} $d(u,v)$ je délka nejkrat¹í cesty $(u,v)$, 
pokud existuje, nebo $+\infty$, pokud taková cesta neexistuje.

Pøedchozím algoritmem jsme pouze zjistili, které vrcholy jsou z~$s$ dosa¾itelné.
Nyní si tento algoritmus modifikujeme tak, abychom na¹li $d(s,v)$ pro v¹echna
$v~\in~V(G)$.

\s{Roz¹íøený algoritmus:} (Prohledávání do ¹íøky (BFS))

\algo
\:$z(*) \leftarrow 0, z(s) \leftarrow 1$
\:$D(*) \leftarrow +\infty, D(s) \leftarrow 0$ 
\:$Q \leftarrow {s}$
\:while $Q \not= \emptyset$
\::$v \leftarrow Get(Q)$
\::for $\forall w: (v,w)\in E$
\:::if $z(w) = 0$ then
\::::$z(w) \leftarrow 1$
\::::$D(w) \leftarrow D(v) + 1$
\::::$Put(Q, w)$
\endalgo

\noindent
Prùbìh tohoto algoritmu si mù¾eme ukázat na následujícím obrázku (,,praseèí graf``):

\figure{praseci-graf.eps}{Praseèí graf}{75mm}

\s{Definice:} {\I Vrstva} $ L_i\subseteq V $ : $ L_0 = \{s\} $ , $ L_{i+1} = $
$ \{ w$ : $ w $  oznaèen pøi procházení vrcholu $ v \in L_i $$ \} $

\s{Lemma V (vzdálenosti):} Na konci BSF je $\forall v: D(v) = d(s,v)$.
 
\proof

\noindent
a) pro nedosa¾itelné vrcholy: OK (algoritmus je neoznaèí $\Rightarrow D(v) = \infty$ )

\noindent
b) pro dosa¾itelné vrcholy: Víme, ¾e pro vrchol $v \in L_i$ platí $D(v)=i$,
staèí tedy zjistit, zda $\forall i: \forall v \in L_i$ je $d(s,v)=i$. To ovìøíme matematickou indukcí
podle~$i$:

pro $i=0$: evidentní,

pro $i>0$: Pøi procházení vrstvy $L_{i-1}$ musí být vrchol $v$ takový, ¾e $d(s,v)=i$, oznaèen a tudí¾ patøí do $L_i$. 
\qed

\noindent
V¹imnìme si, ¾e v~grafu existují pouze tøi typy hran vzhledem k na¹emu algoritmu:
\itemize\ibull
\:dopøedu o jednu vrstvu
\:dozadu o jednu nebo víc vrstev
\:ve vrstvì
\endlist 

Abychom na¹li i samotné cesty, nejen jejich délky, modifikujeme ná¹ algoritmus tak,
abychom si pro ka¾dý vrchol, který oznaèíme, pamatovali jeho pøedchùdce:

\algo
\:$z(*) \leftarrow 0, z(s) \leftarrow 1$
\:$D(*) \leftarrow +\infty, D(s) \leftarrow 0$ 
\:$p(*) \leftarrow$ ?
\:$Q \leftarrow {s}$
\:while $Q \not=  \emptyset$
\::$v \leftarrow Get(Q)$
\::for $\forall w: (v,w)\in E$
\:::if $z(w) = 0$ then
\::::$z(w) \leftarrow 1$
\::::$D(w) \leftarrow D(v) + 1$
\::::$p(w) \leftarrow v$
\::::$Put(Q, w)$
\endalgo

\s{Pozorování:} Pokud $p(v) \not=$ ? $\Rightarrow D(v) = D(p(v)) + 1$.

\s{Lemma S (stromové):} Graf $(W,F)$, kde $W$ = dosa¾itelná èást $V$, $F = \{(v,p(v))\}$
je strom orientovaný do~koøene $s$. Navíc ukazuje v¹echny nejkrat¹í cesty.

\noindent
Nyní uva¾me, ¾e $l \not= const.$ :

Uká¾eme si trik pro ohodnocené hrany: hranu délky $l$
podrozdìlíme na $l$ hran délky 1 a pak spustíme BFS. Algoritmus pobì¾í s èasovou
slo¾itostí $O((m+n)l_{max})$. To není zrovna moc výhodné, a proto si uká¾eme tzv. {\I Budíkovou taktiku }:
Èasem $b(v)$ budíku vrcholu~$v$ rozumíme èas, kdy se do tohoto vrcholu vlna dostane, kdy¾ se bude ¹íøit po
dosud známých hranách. Na zaèátku nastavíme $\forall v \in V: b(v) = l(s,v)$ a pokud pøi bìhu
algoritmu objevíme hranu, která nám umo¾ní dostat se do $v$ rychleji, tak hodnotu $b(v)$ zmìníme.

Tato taktika nás pøivede k Dijkstrovu algoritmu, kde se ze dvoustavového $z(v)$ stane tøístavové
( $z(v)) \in  \{N, V, H\}$, kde N znamená nevidìn, V vidìn a H hotov ). Podle hodnoty $z(v)$ se
pak $D(v)$ rovná $+\infty$ pro $z(v) = N$, èasu budíku pro $z(v) = V$ nebo vzdálenosti $d(s,v)$ pro $z(v) = H$.

\s{Algoritmus:} (Dijkstrùv algoritmus)

\algo
\:$z(*) \leftarrow N, z(s) \leftarrow V$
\:$D(*) \leftarrow +\infty , D(s) \leftarrow 0$
\:$p(*) \leftarrow $?
\:while $\exists v : z(v)=V$
\::$v \leftarrow $ vrchol, pro nìj¾ $z(v)=V$ a zároveò $D(v)$ je minimální
\::$z(v) \leftarrow H$
\::for $\forall w : (v,w) \in E$:
\:::if $D(w)>D(v) + l(v,w)$ then
\::::$D(w) \leftarrow D(v) + l(v,w)$
\::::$z(w) \leftarrow V$
\::::$p(w) \leftarrow v$
\endalgo

\s{Vìta:} Pokud $\forall v,w: l(v,w) \in Z^+ \cup \{\infty\}$, pak Dijkstrùv algoritmus
najde nejkrat¹í cesty v èase $\O(n^2)$.

\proof
na pøí¹tí pøedná¹ce
\qed

Nahlédnìme nyní, zda by vedlo k~vylep¹ení èasové slo¾itosti, kdybychom pøi~implementaci
Dijkstrova algoritmu pou¾ili jako datovou strukturu pro ukládání vidìných vrcholù rùzné typy hald.
Provádìli bychom s~nimi operace DeleteMin (maximálnì $n$-krát) a Decrease (maximálnì $m$-krát). Zmínìné
operace mají pro rùzné typy hald následující èasové slo¾itosti:

\medskip

\vbox{\halign{# \quad \vrule \quad & # \quad \vrule \quad & # \quad \vrule \quad & #\cr
& halda & $k$-regulární halda & Fibonaciho halda\cr
\noalign{\medskip\hrule\bigskip}
DeleteMin & $\O(\log{n})$ & $\O(k.\log_k{n})$ & $\O(\log{n})$\cr
Decrease & $\O(\log{n})$ & $\O(\log_k{n})$ & $\O(1)$\cr}}

\medskip 

Pou¾ijeme-li klasickou haldu, dostaneme celkovou èasovou slo¾itost $\O((m~+~n).\log{n})$, co¾ znamená,
¾e jsme si pomohli v pøípadech, kdy je graf ,,øídký``. U $k$-regulární haldy se celková èasová slo¾itost
rovná $\O(n.k.\log_k{n}+m.\log_k{n})$, ideálnì pro $k~=$~${m}\over{n}$~:~$\O(m.\log_{{m}\over{n}}{n})$. Prozkoumejme,
jak se nám v tomto pøípadì bude mìnit èasová slo¾itost pro rùznì ,,husté`` grafy:
\itemize\ibull
\:$m \approx n \rightarrow \O((m+n).\log{n})$
\:$m \approx n^2 \rightarrow \O(m)$
\:$m \approx n^{1+\epsilon} \rightarrow \O(m) \dots (k=$~${m}\over{n}$~$= n^\epsilon)$
\endlist
\noindent
Pøi pou¾ití Fibonaciho haldy je pak celková èasová slo¾itost rovna $\O(n.\log{n}+m)$.

\medskip 

Nyní si pøedvedeme trochu jiný algoritmus na prohledávání grafu. Mìjme matici sousednosti $A$
ke grafu $G = (V, E)$: $ A_{ij} = 1 \Leftrightarrow (v_i, v_j) \in E $. Potom
$A^2_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}A_{kj} $. Tento souèet je nenulový právì tehdy, kdy¾
vrcholy $i$,$k$,$j$ tvoøí sled délky 2. Jinými slovy $A_{ij}$ se rovná poètu sledù
délky 2 v $G$ z $i$ do $j$. Obdobnì $A^k_{ij}$ = poèet sledù délky $k$. Pokud
k matici $A$ pøièteme jednotkovou matici $E$ (èím¾ si pøimyslíme smyèky),
dostaneme po umocnìní:

$ (A+E)^k_{ij} \neq 0 \Leftrightarrow \exists$ $i,j$-sled délky maximálnì $k$

Výstupem algoritmu tedy bude matice $(A + E)^n$. Mù¾eme si také v¹imnout, ¾e
pokud matici $(A + E)$ umocníme na èíslo vìt¹í ne¾ $n$, tak výsledek bude poøád
správný, jen bude výpoèet trvat déle. Tak¾e algoritmus mù¾e pracovat
v iteracích umocòováním matice na druhou: $M_0 = A + E$, $M_1 = M^2_0$, $M_{i+1} = M^2_i$,
tak¾e výstupní matice bude:

$ M_{\lceil \log{n} \rceil (ij)} \neq 0 \Leftrightarrow \exists$ cesta z $i$ do $j$

Pokud pou¾ijeme Strassenùv vzorec na násobení matic, dostaneme
ve výsledku algoritmus na dosa¾itelnost v grafu se slo¾itostí
$\O(n^{\log_2{7}}.\log{n})$. 

\bye
