\input ../lecnotes.tex

\prednaska{10}{Nejkrat¹í cesty}{(zapsali L. Banáková, O. Hoferek, J. Bøeèka)}

\s{Definice:} {\I Vzdálenost vrcholù} $d(u,v)$ je délka nejkrat¹í cesty $(u,v)$, 
pokud existuje, nebo $+\infty$, pokud taková cesta neexistuje.

\s{Problém:} Je dán graf G a funkce $l: E(G) \rightarrow {\bb R}$ pøiøazující
hranám jejich délky. Dále je dán startovací a cílový vrchol
$s,c~\in~V(G)$. Chceme najít cestu $s=v_1, v_2, \dots, v_k=c$ takovou, aby délka cesty
$$l(v_1, v_2) + l(v_2, v_3) + \dots + l(v_{k-1}, v_k)$$
byla minimální. Takovéto cestì budeme øíkat {\I nejkrat¹í cesta} z~$s$~do~$c$.

\noindent
Bez újmy na obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e graf $G$ je orientovaný, bez smyèek a
násobných hran.

\noindent
Nejprve uvá¾íme pøípady, kdy jsou v¹echny hrany stejnì dlouhé. Tehdy mù¾eme pou¾ít
algoritmus prohledávání do ¹íøky (BFS). K jeho implementaci je zapotøebí fronta $Q$ s
metodami $Put(Q, v)$ (pøidání prvku $v$ na konec fronty) a $Get(Q)$ (odebrání
prvku ze zaèátku fronty). Algoritmus vrátí pole \uv{znaèek} $z$: $z(v) = 1$ právì tehdy
pokus je vrchol $v$ dostupný ze startovacího vrcholu $s$, jinak $z(v) = 0$.

\s{Algoritmus:} (Prohledávání do ¹íøky (BFS))

\algo
\:$z(*) \leftarrow 0, z(s) \leftarrow 1$
\:$Q \leftarrow \{s\}$
\:while $Q \not= \emptyset :$
\::$v \leftarrow Get(Q)$
\::for $\forall w: (v,w)\in E$
\:::if $z(w) = 0$ then
\::::$z(w) \leftarrow 1$
\::::$Put(Q, w)$
\endalgo

\s{Lemma È (èasové):} BFS dobìhne v~èase $\O(m+n)$.

\proof
Ka¾dý vrchol se do fronty dostane maximálnì jednou a ka¾dou hranu zpracujeme
maximálnì jednou.
\qed

\s{Lemma D (dosa¾itelnost):} BFS oznaèí právì vrcholy dostupné ze $s$.

\proof

\noindent
\uv{$\Rightarrow$}: Indukcí podle bìhu algoritmu.

\noindent
\uv{$\Leftarrow$}: Doká¾eme sporem. Uva¾me, ¾e existuje vrchol dostupný, ale algoritmem
neoznaèený. Vezmìme takovýto \uv{¹patný} vrchol $v$, který je $s$ nejblí¾e. Uva¾me
nejkrat¹í cestu $(s,v)$: $s,\dots,u,v$. Pøedchozí vrchol na této cestì $u$
musí být \uv{dobrý}. Vrchol $u$ se dostane do fronty, pak je z~ní vybrán a tím
se zpracuje i vrchol $v$ $\Rightarrow$ spor.

Pøedchozím algoritmem jsme pouze zjistili, které vrcholy jsou z~$s$ dosa¾itelné.
Nyní si tento algoritmus modifikujeme tak, abychom na¹li $d(s,v)$ pro v¹echna
$v~\in~V(G)$.

\s{Roz¹íøený algoritmus:} (Prohledávání do ¹íøky (BFS))

\algo
\:$z(*) \leftarrow 0, z(s) \leftarrow 1$
\:$D(*) \leftarrow +\infty, D(s) \leftarrow 0$ 
\:$Q \leftarrow \{s\}$
\:while $Q \not= \emptyset :$
\::$v \leftarrow Get(Q)$
\::for $\forall w: (v,w)\in E$
\:::if $z(w) = 0$ then
\::::$z(w) \leftarrow 1$
\::::$D(w) \leftarrow D(v) + 1$
\::::$Put(Q, w)$
\endalgo

\noindent
Prùbìh tohoto algoritmu si mù¾eme ukázat na následujícím obrázku (\uv{praseèí graf}):

\figure{praseci-graf.eps}{Praseèí graf}{75mm}

\s{Definice:} {\I Vrstva} $ L_i\subseteq V $ : $ L_0 = \{s\} $ , $ L_{i+1} = $
$ \{ w$ : $ w $  oznaèen pøi procházení vrcholu $ v \in L_i $$ \} $

\s{Lemma V (vzdálenosti):} Na konci BFS je $\forall v: D(v) = d(s,v)$.
 
\proof

\noindent
a) pro nedosa¾itelné vrcholy: OK (algoritmus je neoznaèí $\Rightarrow D(v) = \infty$)

\noindent
b) pro dosa¾itelné vrcholy: Víme, ¾e pro vrchol $v \in L_i$ platí $D(v)=i$,
staèí tedy zjistit, zda $\forall i: \forall v \in L_i$ je $d(s,v)=i$. To ovìøíme matematickou indukcí
podle~$i$:

pro $i=0$: evidentní,

pro $i>0$: Pøi procházení vrstvy $L_{i-1}$ musí být vrchol $v$ takový, ¾e $d(s,v)=i$, oznaèen
a zároveò nemohl být oznaèen døíve a tudí¾ patøí do $L_i$. 
\qed

\noindent
V¹imnìme si, ¾e v~grafu existují pouze tøi typy hran vzhledem k na¹emu algoritmu:
\itemize\ibull
\:dopøedu o jednu vrstvu
\:dozadu o jednu nebo víc vrstev
\:ve vrstvì
\endlist 

Abychom na¹li i samotné cesty, nejen jejich délky, modifikujeme svùj algoritmus tak,
¾e si pro ka¾dý vrchol $v$, který oznaèíme, budeme pamatovat jeho pøedchùdce $p(v)$:

\algo
\:$z(*) \leftarrow 0, z(s) \leftarrow 1$
\:$D(*) \leftarrow +\infty, D(s) \leftarrow 0$ 
\:$p(*) \leftarrow$ ?
\:$Q \leftarrow \{s\}$
\:while $Q \not=  \emptyset :$
\::$v \leftarrow Get(Q)$
\::for $\forall w: (v,w)\in E$
\:::if $z(w) = 0$ then
\::::$z(w) \leftarrow 1$
\::::$D(w) \leftarrow D(v) + 1$
\::::$p(w) \leftarrow v$
\::::$Put(Q, w)$
\endalgo

\s{Pozorování:} Pokud $p(v) \not=$ ? $\Rightarrow D(v) = D(p(v)) + 1$.

\s{Lemma S (stromové):} Graf $(W,F)$, kde $W$ = dosa¾itelná èást $V$, $F = \{(v,p(v))\}$
je strom orientovaný do~koøene $s$. Navíc ukazuje nejkrat¹í cestu pro ka¾dý dosa¾itelný
vrchol (pro ka¾dý vrchol v tomto grafu, existuje jediná orientovaná cesta do koøene
$s$, která je zároveò nejkrat¹í cesta z $s$ do tohoto vrcholu).

\noindent
Nyní uva¾me, ¾e délky hran $l$ nejsou v¹echny stejnì dlouhé:

Uká¾eme si trik pro ohodnocené hrany: hranu délky $l$
podrozdìlíme na $l$ hran délky 1 a pak spustíme BFS. Algoritmus pobì¾í s èasovou
slo¾itostí $O((m+n)l_{max})$. To není zrovna moc výhodné, a proto si uká¾eme tzv. {\I Budíkovou taktiku}:

Místo toho, abychom ka¾dou hranu podrozdìlovali, si budeme pro ka¾dý vrchol pamatovat \uv{èas budíku} $b$.
Èasem $b(v)$ budíku vrcholu~$v$ rozumíme èas, kdy se do tohoto vrcholu vlna dostane, kdy¾ se bude ¹íøit po
dosud známých hranách. Na zaèátku nastavíme $\forall v \in V: b(v) = l(s,v)$ a pokud pøi bìhu
algoritmu objevíme hranu, která nám umo¾ní dostat se do $v$ rychleji, tak hodnotu $b(v)$ zmìníme.
Algoritmus pak bude pracovat tak, ¾e bude spát, dokud nezazvoní nìjaký budík (co¾ znamená, ¾e
jsme dorazili do nìjakého vrcholu).

Tato taktika nás pøivede k Dijkstrovu algoritmu, kde se ze dvoustavového $z(v)$ stane tøístavové
$z(v)) \in \{{\bf{N}}, {\bf{V}}, {\bf{H}}\}$, kde {\bf{N}} znamená nevidìn, {\bf{V}} vidìn a {\bf{H}} hotov. Podle hodnoty $z(v)$ se
pak $D(v)$ rovná $+\infty$ pro $z(v) = {\bf{N}}$, èasu budíku pro $z(v) = {\bf{V}}$ nebo vzdálenosti $d(s,v)$ pro $z(v) = {\bf{H}}$.

\s{Algoritmus:} (Dijkstrùv algoritmus)

\algo
\:$z(*) \leftarrow {\bf{N}}, z(s) \leftarrow {\bf{V}}$
\:$D(*) \leftarrow +\infty , D(s) \leftarrow 0$
\:$p(*) \leftarrow $?
\:while $\exists v : z(v) = {\bf{V}} :$
\::$v \leftarrow $ vrchol, pro nìj¾ $z(v)={\bf{V}}$ a zároveò $D(v)$ je minimální
\::$z(v) \leftarrow {\bf{H}}$
\::for $\forall w : (v,w) \in E$:
\:::if $D(w)>D(v) + l(v,w)$ then
\::::$D(w) \leftarrow D(v) + l(v,w)$
\::::$z(w) \leftarrow {\bf{V}}$
\::::$p(w) \leftarrow v$
\endalgo

\s{Vìta:} Pokud $\forall v,w: l(v,w) \in \bb{Z}^+ \cup \{\infty\}$, pak Dijkstrùv algoritmus
najde nejkrat¹í cesty v èase $\O(n^2)$.

\proof
V prùbìhu algoritmu se maximálnì $n$-krát hledá vrchol $v$ s minimálním $D(v)$,
maximálnì $m$-krát se pøenastavuje $D(v)$. Pokud bude struktura $D$ ulo¾ena jako
pole (hledání minima v $\O(n)$, zmìna hodnoty $\O(1)$), bude celková
èasová slo¾itost Dijkstrova algoritmu $\O(n^2 + m) = \O(n^2)$. Fakt, ¾e se algoritmus
zastaví je evidentní, proto¾e se stav ¾ádného vrcholu nevrací z {\bf{H}} do {\bf{V}}. 

Úplný dùkaz správnosti a èasové slo¾itosti i pro hrany ohodnocené reálnými èísly
bude na pøí¹tí pøedná¹ce.
\qed

Nahlédnìme nyní, zda by vedlo k~vylep¹ení èasové slo¾itosti, kdybychom pøi~implementaci
Dijkstrova algoritmu pou¾ili jako datovou strukturu pro ukládání vidìných vrcholù rùzné typy hald.
Provádìli bychom s~nimi operace \<DeleteMin> (maximálnì $n$-krát) a \<Decrease> (maximálnì $m$-krát). Zmínìné
operace mají pro rùzné typy hald následující èasové slo¾itosti:
$$\vbox{\halign{\strut # \quad & # \quad & # \quad & #\cr
& \it binární halda & \it $k$-regulární halda & \it Fibonacciho halda\cr
\noalign{\smallskip}
\<DeleteMin> & $\O(\log{n})$ & $\O(k\log_k{n})$ & $\O(\log{n})$ \cr
\<Decrease> & $\O(\log{n})$ & $\O(\log_k{n})$ & $\O(1)$ \cr
{\I celková slo¾itost} & $\O((m+n)\log{n})$ & $\O(m\log_{m/n}{n})$ & $\O(n\log{n}+m)$ \cr
}}$$

Pou¾ijeme-li klasickou haldu, dostaneme celkovou èasovou slo¾itost $\O((m+n)\log{n})$, co¾ znamená,
¾e jsme si pomohli v pøípadech, kdy je graf \uv{øídký}. U $k$-regulární haldy se celková èasová slo¾itost
rovná $\O(nk\log_k{n}+m\log_k{n})$, ideálnì pro $k=m/n$: $\O(m\log_{m/n}{n})$. Prozkoumejme,
jak se nám v tomto pøípadì bude mìnit èasová slo¾itost pro rùznì \uv{husté} grafy:
\itemize\ibull
\:$m \approx n \rightarrow \O((m+n)\log{n})$
\:$m \approx n^2 \rightarrow \O(m)$
\:$m \approx n^{1+\epsilon} \rightarrow \O(m) \dots (k=m/n= n^\epsilon)$
\endlist
\noindent
Pøi pou¾ití Fibonacciho haldy je pak celková èasová slo¾itost rovna $\O(n\log{n}+m)$.

\medskip 

Nyní si pøedvedeme trochu jiný algoritmus na prohledávání grafu. Mìjme matici sousednosti $A$
ke grafu $G = (V, E)$: $ A_{ij} = 1 \Leftrightarrow (v_i, v_j) \in E $, jinak $A_{ij} = 0$. Potom
$A^2_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}A_{kj} $. Tento souèet je nenulový právì tehdy, kdy¾
vrcholy $i$,$k$,$j$ tvoøí sled délky 2. Jinými slovy $A^2_{ij}$ se rovná poètu sledù
délky 2 v $G$ z $i$ do $j$. Obdobnì $A^k_{ij}$ = poèet sledù délky $k$. Pokud
k matici $A$ pøièteme jednotkovou matici ${\bb E}_n$ (èím¾ si pøimyslíme smyèky),
dostaneme po umocnìní:

$ (A+{\bb E}_n)^k_{ij} \neq 0 \Leftrightarrow \exists$ $i,j$-sled délky maximálnì $k$.

Výstupem algoritmu tedy bude matice $(A + {\bb E}_n)^n$. Mù¾eme si také v¹imnout, ¾e
pokud matici $A + {\bb E}_n$ umocníme na èíslo vìt¹í ne¾ $n$, tak výsledek bude poøád
správný, jen bude výpoèet trvat déle. Tak¾e algoritmus mù¾e pracovat
v iteracích umocòováním matice na druhou: $M_0 = A + {\bb E}_n$, $M_1 = M^2_0$, $M_{i+1} = M^2_i$.
Výstupní matice bude tudí¾:

$ M_{\lceil \log{n} \rceil (ij)} \neq 0 \Leftrightarrow \exists$ cesta z $i$ do $j$

Na výpoèet dosa¾itelnosti vrcholù v grafu tedy staèí $\O(\log{n})$ násobení matic,
a pokud na toto pou¾ijeme Strassenùv algoritmus, dostaneme
ve výsledku algoritmus se slo¾itostí $\O(n^{\log_2{7}}\log{n})$. 

\bye
