\input ../lecnotes.tex

\prednaska{1}{Úvodní pøíklady, definice RAM}
{}

\h{Pøíklad: {\sc Reportá¾}}

Novináø má za úkol za rok napsat reportá¾ o pracovních podmínkách v jedné nejmenované
firmì. Musí tedy vyzkou¹et co nejvíce pracovních pozic. Chce ale, aby se mu neustále
zvy¹oval plat. Firma v rùzných èasech vypisuje pracovní místa.

Øeèeno matematicky, máme zadánu posloupnost $p_1,\, \dots, p_n$ reálných èísel a~hledáme
nejdel¹í ostøe rostoucí vybranou podposloupnost.


\> Jak mù¾eme takový problém øe¹it?


{\I Podle definice}: budeme generovat v¹echny podposloupnosti a testovat, jestli jsou
rostoucí. Podposloupnost mù¾eme popsat charakteristickým vektorem, co¾ je posloupnost
nul a jednièek, kde na $i$-té pozici je $1$ právì kdy¾ podposloupnost obsahuje $i$-tý
èlen pùvodní posloupnosti. Charakteristické vektory odpovídají binárním zápisùm èísel
$1$ a¾ $2^n$ kde $n$ je poèet vypsaných prací, co¾ nám dává jednoduchý zpùsob jak je
generovat.

Nyní nás bude zajímat kolik øádovì provedeme krokù. V¹ech charakteristických vektorù
je $2^n$. Pro ka¾dý zkontrolujeme, jestli je podposloupnost rostoucí, co¾ zabere $n$
krokù. Celkem tedy provedeme øádovì $2^n\cdot n$ krokù.

{\I Rekurzívnì}: funkce dostane zaèátek posloupnosti a najde v¹echna roz¹íøení na
rostoucí podposloupnost
$f(i_1, \, \dots, i_k) :=$ maximání délka rostoucí podposloupnosti navazující na $x_{i_1},
\, \dots, x_{i_k}$.
Probereme v¹echna $j$~od $i_k+1$ do $n$ a pro ka¾dé $j$ takové, ¾e $x_j > x_{i_k}$,
nastavíme maximum $m \leftarrow \max(m, f(i_1, \, \dots, i_k, j) + 1)$. Jako výsledek
funkce vrátí $m$. Na zaèátek posloupnosti pøidáme $-\infty$ a zavoláme $f(0)$.
%TODO sázet jako algoritmus
\algo
\:for $j = i_k + 1$ to $n$
\::if $x_j > x_{i_k}$
\:::$m |<-| \max (m, f(i_1, \dots, i_k), j + 1)$
\:return $m$
\endalgo

Nejhor¹ím pøípadem je rostoucí posloupnost, na které na¹e funkce vykoná øádovì $2^n$ krokù.

Volání funkce mù¾eme zjednodu¹it, kdy¾ si uvìdomíme, ¾e prvních $k-1$ parametrù vùbec
nepotøebujeme, tak¾e mù¾eme rovnou volat $f(i_k)$.

{\I Rekurze s blbenkou}: pøedchozí algoritmus poèítá mnohokrát tyté¾ vstupy, proto¾e
$f(i)$ bude nebo byla volána i pro v¹echny podposloupnosti zrovna zkoumané podposloupnosti.
V poli $X$ si pamatujeme výsledky funkce $f$ pro jednotlivá $i$, tedy
pole $X$ obsahuje na pozici $i$ hodnotu $f(i)$.

Cvièení: uka¾te, ¾e algoritmus vykoná øádovì $n^2$ operací a spotøebuje $n$~bunìk pamìti.

{\I Pøevédst úlohu na grafovou} je standardní informatický trik.
Vrcholy jsou èísla $V := \{1, \,\dots, n\}$,
hrana $(i, j) \in E \equiv i < j\, \& \,x_i~<~x_j$. Cesty v tomto grafu odpovídají
vybraným rostoucím posloupnostem a my hledáme nejdel¹í cestu v acyklickém grafu, co¾ umíme (budeme umìt)
lineárnì s velikostí grafu. Hran mù¾e být a¾ $\vert E\vert  = {n \choose
2} \approx~n^2$. Èím¾ jsme dostali dal¹í kvadratický algoritmus.

{\I Datová struktura}: bìhem semestru poznáme ¹ikovnou datovou strukturu, která obsahuje
uspoøádané  dvojice reálných èísel $(x, y)$ kde $x$ je klíè a $y$ hodnota. Po~této
struktuøe budeme chtít aby umìla vlo¾it dvojici \<Insert>$(x, y)$ a dotaz \<Query>:
\<Query>($t$)~$:=~\max~\{y~\mid \exists x \geq t: (x, y)$ je ve struktuøe$\}$.

V jednom prùchodu zavoláme \<Insert>$(x_j, f(j))$ a \<Query>($x_{k+1}$), obì trvají øádovì
$\log n$, struktura nám vrátí nejvìt¹í hodnotu $f(j)$ pro dané $x_{k+1}$.
%TODO lépe vysvìtlit

Provedeme tedy øádovì $n\cdot \log n$ krokù, co¾ je nejlep¹í známé øe¹ení.

Na pøí¹tích pøedná¹kách budeme studovat algoritmy a jejich vlastnosti. Co~ale
algoritmus doopravdy je? Jak ho definovat?
®ádná poøádná definice algoritmu neexistuje. My budeme brát algoritmus jako program v
nìjakém jazyce na nìjakém výpoèetním stroji (viz definice RAM). Churchova teze: v¹echny definice algoritmù jsou ekvivalentní. Toto není opravdová
vìta, spí¹ vyjadøuje, ¾e v¹echny rozumné definice algoritmu definují vpodstatì to
samé.




\vskip 6pt
\line{{\bf Model RAM} \hfil {}}
\vskip 4pt

Výpoèetních modelù je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:

\s{Definice:} Random Access Machine (RAM)

RAM poèítá jen s celými èísly, dále jen {\I èísla} -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
{\I èísly}, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
{\I èísla}. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ {\I èísly}. Program samotný je
koneèná posloupnost instrukcí (také opatøených adresami) následujících druhù:
\itemize\ibull
\:Datové pøesuny $X$ |<-| $Y$
\:Aritmetické a logické:
$X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
{\tt\char124}, |<<|, |>>|\}$
\:Øídící: skok |goto| $Z$, podmínìný skok |if |$X$ |<| $Y$ |goto| $Z$||,
zastavení programu |halt|.
%\<label>
%\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít \hfil \break
%if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
% zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
% øádku. Díky.
\endlist

\s{Operandy}:
\itemize\ibull
\:Konstanty $(1, 2, \, \dots)$
\:Adresované pøímo -- |[\<konst.>]| -- budeme pou¾ívat písmena {\tt A-Z} jako aliasy
pro
buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$ (tedy A={\tt [-1]}), které nazýváme registry a budou nám slou¾it jako promìnné.

\:Adresované nepøímo -- {\tt [[\<konst.>]]}

Mù¾eme se chtít podívat na adresu, kterou máme ulo¾enou v nìjaké buòce (podobnì jako
pointry v C).
\endlist

\> Samotný výpoèet probíhá takto:

\algo
\:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
definován.
\:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
programu.
\:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
výstup.
\endalgo


\h{Míry slo¾itosti}
\> Chceme zavést míru èasové a prostorové nároènosti programù, které budeme øíkat
slo¾itost.
\numlist\ndotted
\:{\I RAM s jednotkovou cenou}: èas $=$ \# instrukcí pøi daném
vstupu,\break prostor
$=$
\# bunìk do kterých algoritmus aspoò jednou zapsal bìhem výpoètu.

Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
velmi dlouhými {\I èísly} -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost {\I èísel} ale konstantou (tøeba $32$ bitù) omezit nesmíme, proto¾e
bychom omezili pamì» ({\I èísly} ji adresujeme) a co hùø i mo¾nou velikost vstupu.
\:{\I RAM s logaritmickou cenou}: cena instrukce $=$ \# bitù
zpracovávaných {\I èísel},
prostor $=$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly spousty logaritmù).
\:{\I RAM s omezenými {\I èísly}}: jednotková cena instrukcí, ale {\I èísla} omezíme
nìjakým polynomem $P(n)$, kde $n$ je velikost vstupu. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám ov¹em obvykle nevadí).
\endlist

Nadále budeme pøedpokládat tøetí zmínìný model.

% Z minulých zápiskù.
\s{Definice:}
\itemize\ibull
\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako sumu èasù 
instrukcí, které program provedl pøi zpracování vstupu
$x$. Pokud se pro daný vstup program nezastaví berme $t(x)=+ \infty$.
\:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
bunìk pou¾itých pøi výpoètu se vstupem~$x$.
\endlist

Slo¾itost je maximum délky bìhu pøes v¹echny vstupy urèité délky.

\itemize\ibull
\:{\I Mno¾ina mo¾ných vstupù} $X$
\:{\I Délka vstupu} je funkce $l:X \rightarrow {\bb N}$
\:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
$$T(n) := \max \{t(x) \mid \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
\:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
$$S(n) := \max \{s(x) \mid  \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
\endlist

Podobnì mù¾eme zavést i slo¾itost v nejlep¹ím a prùmìrném pøípadì, ale ty budeme
pou¾ívat jen zøídka.

\bye

