\input ../lecnotes.tex

\prednaska{1}{Úvodní pøíklady, definice RAM}
{(zapsal Karel Král)}
%Úvodní pøíklady, definice modelu RAM se nevlezlo na øádek

\h{Pøíklad: {\sc Reportá¾}}

Novináø má za úkol za jeden rok vyzkou¹et co nejvíc pracovních pozic v urèité firmì a
napsat o této firmì reportá¾. Chce ale aby se mu neustále zvy¹oval plat. Firma v
rùzných èasech vypisuje pracovní místa.

Øeèeno matematicky máme zadánu posloupnost $p_1,\, \dots, p_n$ reálných èísel a hledáme
nejdel¹í ostøe rostoucí vybranou podposloupnost.


\> Jak mù¾eme takový problém øe¹it?
\numlist\ndotted
\:{\I Podle definice}: budeme generovat v¹echny podposloupnosti a testovat jestli jsou
rostoucí. Podposloupnost mù¾eme popsat charakteristickým vektorem, co¾ je posloupnost
nul a jednièek, kde na $i$-té pozici je $1$ právì kdy¾ podposloupnost obsahuje $i$-tý
èlen pùvodní posloupnosti.

Nyní nás bude zajímat kolik øádovì provedeme krokù. V¹ech charakteristických vektorù
je $2^n$. Pro ka¾dý zkontrolujeme, jestli je podposloupnost rostoucí, co¾ zabere $n$
krokù. Celkem tedy provedeme øádovì $2^n\cdot n$ krokù.

\:{\I Rekurzívnì}: funkce dostane zaèátek posloupnosti a najde v¹echna roz¹íøení na
rostoucí podposloupnost
$f(i_1, \, \dots, i_k) :=$ maximání délka rostoucí podposloupnosti navazující na $x_{i_1},
\, \dots, x_{i_k}$.
Probereme v¹echna $j$~od $i_k+1$ do $n$ a pro ka¾dé $j$ takové, ¾e $x_j > x_{i_k}$
nastavíme maximum $m \leftarrow max(m, f(i_1, \, \dots, i_k, j) + 1)$. Jako výsledek
funkce vrátí $m$. Na zaèátek posloupnosti pøidáme $-\infty$ a zavoláme $f(0)$.

Nejhor¹ím pøípadem je rostoucí posloupnost na které na¹e funkce vykoná $2^n$ krokù.

Volání funkce mù¾eme zjednodu¹it, kdy¾ si uvìdomíme, ¾e prvních $k-1$ parametrù vùbec
nepotøebujeme, tak¾e mù¾eme rovnou volat $f(i_k)$.

\:{\I 2. s blbenkou}: efektivitu algoritmu mù¾eme zvý¹it tím, ¾e ho nenecháme poèítat
to samé dokola. V poli $X$ si pamatujeme výsledky funkce $f$ pro jednotlivá $i$, tedy
pole $X$ obsahuje na pozici $i$ hodnotu $f(i)$.

Cvièení: uka¾te, ¾e algoritmus vykoná øádovì $n^2$ operací a spotøebuje $n$~pamìti.

\:{\I Pøevédst úlohu na grafovou} je standartní informatický trik.
Vrcholy jsou èísla $V := \{1, \,\dots, n\}$,
hrana $(i, j) \in E \equiv i \le j\, \& \,x_i~\le~x_j$. Cesty v tomto grafu jsou vybrané
posloupnosti a my hledáme nejdel¹í cestu v acyklickém grafu, co¾ umíme (budeme umìt)
lineárnì s velikostí grafu. Hran mù¾e být a¾ ${\tt\char124}E{\tt\char124} = {n \choose
2} \approx n^2$. Èím¾ jsme dostali dal¹í kvadratický algoritmus.

\:{\I Datová struktura}: vytvoøíme ¹ikovnou datovou strukturu, která obsahuje
uspoøádané  dvojice reálných èísel $(x, y)$ kde $x$ je klíè a $y$ hodnota. Po této
struktuøe budeme chtít aby umìla vlo¾it dvojici $Insert(x, y)$ a dotaz $Query(t) :=
max\{y {\tt\char124} \exists x \geq t: (x, y)$ je ve struktuøe$\}$.
V jednom prùchodu zavoláme $Insert(x_j, f(j))$ a $Query(x_{k+1})$, obì trvají øádovì
$log(n)$.

Provedeme tedy øádovì $n\cdot log(n)$ krokù, co¾ je nejlep¹í známé øe¹ení.
\endlist

\s{Definice:} Algoritmus

®ádná poøádná definice algoritmu neexistuje. My budeme brát algoritmus jako program v
nìjakém jazyce na nìjakém výpoèetním stroji.

Churchova teze: v¹echny definice algoritmù jsou ekvivalentní. Toto není opravdová
vìta, spí¹ vyjadøuje, ¾e v¹echny rozumné definice algoritmu definují vpodstatì to
samé.




\vskip 6pt
\line{{\bf Model RAM} \hfil {(zapsal Martin Koutecký)}}
\vskip 4pt

Výpoèetních modelù je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:

\s{Definice:} Random Access Machine (RAM)

RAM poèítá jen s celými èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. Program samotný je
koneèná posloupnost instrukcí (také opatøených adresami) následujících druhù:
\itemize\ibull
\:Pøesuny $X$ |<-| $Y$
\:Aritmetické a logické:
$X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
{\tt\char124}, |<<|, |>>|\}$
\:Øídící: skok |goto| $Z$, podmínìný skok |if [|$X$ |<| $Y$ |goto| $Z$|]|,
zastavení programu |halt|
%\<label>
%\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít \hfil \break
%if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
% zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
% øádku. Díky.
\endlist

\s{Poznámka} (operandy):
\itemize\ibull
\:Konstanty $(1, 2, \, \dots)$
\:Adresované pøímo -- |[konst.]| -- budeme pou¾ívat písmena {\tt A-Z} jako aliasy
pro
buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$, které nazýváme registry.
(tedy A={\tt [-1]})
\:Adresované nepøímo -- {\tt [[konst.]]}
\endlist

Samotný výpoèet probíhá takto:
\algo
\:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
definován.
\:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
programu.
\:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
výstup.
\endalgo


\h{Slo¾itost}
\> Jak dobøe popsat slo¾itost?
\numlist\ndotted
\:{\I Ram s jednotkovou cenou}: èas $\approx$ \#instrukcí pøi daném
vstupu,\break prostor
$\approx$
\#bunìk do kterých algoritmus aspoò jednou zapsal bìhem výpoètu.

Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
poèítaèe se tak pøece nechovají. Navíc bychom jakýkoliv problém mohli vyøe¹it v
konstantním èase. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
\:{\I Ram s logaritmickou cenou}: cena instrukce $\approx$ \#bitù
zpracovávaných èísel,
prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
\:{\I Ram s omezenými èísly}: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme
nìjakým polynomem $P(n)$. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám ov¹em obvykle nevadí).
\endlist

Nadále tedy budeme pøedpokládat tøetí zmínìný model.

% Z minulých zápiskù.
\s{Definice:}
\itemize\ibull
\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako sumu èasù provedených
operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
$x$.
\:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
\:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
$$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
\:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
$$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
\endlist

\bye

