\input ../lecnotes.tex

\prednaska{1}{Hradlové sítì}{(zapsali Jirka Fajfr a Ján Èerný)}

Na této pøedná¹ce se budeme zabývat jednoduchým modelem paralelního poèítaèe,
toti¾ hradlovou sítí, a uká¾eme si alespoò jeden efektivní paralelní algoritmus,
konkrétnì sèítání dvojkových èísel v~logaritmickém èase vzhledem k~jejich délce.

\h{Hradlové sítì}

\s{Definice:} {\I Hradlo} je element, který poèítá nìjakou pevnì danou funkci
s~$k$ vstupy a jedním výstupem.

\s{Pøíklad:} Obvykle pracujeme s~booleovskými hradly, ta pak odpovídají funkcím
$f: \{0,1\}^{k} \rightarrow \{0,1\} $. Z~nich nejèastìji potkáme:

\itemize\ibull
\:0-vstupové: to jsou konstanty {\sc true} a {\sc false},
\:1-vstupové: identita (ta je vcelku k~nièemu) a negace (znaèíme~$\lnot$),
\:2-vstupuvé: logický souèin ({\sc and},~\&) a souèet ({\sc or},~$\lor$).
\endlist

\>Hradla kreslíme tøeba následovnì:

\figure{1_1_hradlo.eps}{Hradlo provádìjící logickou operaci {\sc AND} se dvìma vstupy}{4cm}

Z~jednotlivých hradel pak vytváøíme hradlové sítì. Pokud pou¾íváme pouze booleovská
hradla, øíkáme takovým sítím {\I booleovské obvody,} pokud operace nad nìjakou obecnìj¹í
(ale koneènou) mno¾inou symbolù (abecedou), nazývají se {\I kombinaèní obvody.}
Ka¾dý vstup hradla je pøipojen buïto na~nìkterý ze~vstupù sítì nebo na~výstup nìjakého
jiného hradla. Výstupy hradel mohou být propojeny na výstupy sítì nebo pøivedeny
na~vstupy dal¹ích hradel, pøièem¾ je zakázáno vytváøet cykly. Ne¾ si øekneme
formální definici, podívejme se na obrázek.

\todo{OBR}

\s{Definice:} {\I Hradlová sí»} je urèena:
\itemize\ibull
\:{\I abecedou} $\Sigma$ (to je nìjaká koneèná mno¾ina symbolù, obvykle $\Sigma=\{0,1\}$);
\:mno¾inou {\I hradel} $H$, {\I vstupních portù} $I$ a {\I výstupních portù} $O$;
\:acyklickým orientovaným grafem~$(V,E)$, kde~$V = H \cup I \cup O$;
\:zobrazením~$F$, které ka¾dému hradlu $h\in H$ pøiøadí nìjakou funkci~$F(h):
  \Sigma^{a(h)} \rightarrow \Sigma$. To je funkce, kterou toto hradlo vykonává,
  a~èíslu $a(h)$ øíkáme {\I arita} hradla~$h$;
\:zobrazením~$z: E \rightarrow {\bb N}$, které ka¾dé hranì vedoucí do~nìjakého
  hradla pøiøazuje nìkterý ze vstupù tohoto hradla.
\endlist

\>Pøitom jsou splnìny následující podmínky:

\itemize\ibull
\:$\forall i \in I: \deg^{+}(i)=0$ (do~vstupù nic nevede);
\:$\forall o \in O: \deg^{+}(o)=1 \mathbin{\&} \deg^{-}(o)=0$ (z~výstupù nic nevede a do~ka¾dého vede právì jedna hrana);
\:$\forall h \in H: \deg^{+}(v)=a(v)$ (do~ka¾dého hradla vede tolik hran, kolik je jeho arita);
\:$\forall h \in H, 1\le j\le a(h)$ existuje právì jeden vrchol~$v$ takový, ¾e $z(vh)=j$
  (v¹echny vstupy hradel jsou zapojeny).
\endlist

\s{Pozorování:} Kdybychom pøipustili hradla s~libovolnì vysokým poètem vstupù, mohli bychom
libovolný problém se vstupem délky~$n$ vyøe¹it jedním hradlem o~$n$~vstupech, co¾ není
ani realistické, ani pìkné. Proto pøijmìme omezení, ¾e v¹echna hradla budou mít maximálnì
$k$ vstupù, kde~$k$ je nìjaká pevná konstanta, obvykle dvojka. Následující obrázky
ukazují, jak hradla o~více vstupech nahradit dvouvstupovými:

\twofigures{1_2_vice_vstupove_hradlo.eps}{Trojvstupové hradlo {\sc and}}{3cm}{1_3_vice_vstupove_hradlo.eps}{Jeho nahrazení 2-vstupovými hradly}{3cm}

\s{Definice:} {\I Výpoèet sítì} probíhá v taktech. V nultém taktu jsou definovány právì hodnoty
vstupních portù. V~$i$-tém taktu vydají výsledek hradla, která jsou pøipojena na~porty
nebo hradla, jejich¾ hodnota byla definována v~$(i-1)$-ním taktu. A¾ po~nìjakém koneèném
poètu taktù budou definované i hodnoty výstupních portù, sí» se zastaví a vydá výsledek.

\figure{1_7_vypocet_site.eps}{Výpoèet hradlové sítì}{6cm}

\>Podle toho, jak sí» poèítá, si ji mù¾eme rozdìlit na~vrstvy:

\s{Definice:} {\I $i$-tá vrstva} obsahuje v¹echny vrcholy~$v$ takové, ¾e
nejdel¹í cesta z~nìkterého z~portù sítì do~$v$ má délku právì~$i$. To jsou
pøesnì vrcholy, které vydají výsledek poprvé v~$i$-tém taktu výpoètu.
Dává tedy smysl prohlásit za~{\I èasovou slo¾itost} sítì poèet jejích
vrstev. Podobnì {\I prostorovou slo¾itost} definujeme jako poèet hradel
v~síti.

\s{Pøíklad:} Sestrojte sí», která zjistí, zda se mezi jejími~$n$ vstupy
vyskytuje alespoò jedna jednièka.

\>{\I První øe¹ení:} zapojíme hradla za~sebe (sériovì). Èasová a prostorová
slo¾itost jsou~$n$. Zde vùbec nevyu¾íváme toho, ¾e by mohlo poèítat více
hradel souèasnì.

\figure{1_5_hloupy_or.eps}{Hradlová sí», která zjistí zda-li je na vstupu alespoò jedna jednièka}{7cm}

\>{\I Druhé øe¹ení:} Budeme vrcholy spojovat do~dvojic, pak výsledky z~tìchto
dvojic opìt do~dvojic a tak dále. Tak dosáhneme èasové slo¾itosti $\log_2 n$,
prostorová slo¾itost zùstane lineární.

\figure{1_4_chytry_or.eps}{Chytøej¹í øe¹ení stejného problému}{8cm}

\h{Sèítání dvou binárních èísel}

Mìjme dvì èísla zapsané ve~dvojkové soustavì jako $x_{n-1}\ldots x_1x_0$ a $y_{n-1}\ldots y_1y_0$.
Budeme chtít spoèítat jejich souèet $z_nz_{n-1}\ldots z_1z_0$.

\h{Algoritmus základní ¹koly}
Pøenosy oznaèíme $c_0$ a¾ $c_{n-1}$ v krocích poèítání, dodefinujeme $c_{-1}=0$. Algoritmus probíhá zleva od místa s nejni¾¹í vahou, viz Obrázek 1.6. 
 
Výsledné èíslo $z_{n}...z_1z_0$ lze tedy vyjádøit pøedpisem $$z_i=x_i \oplus y_i \oplus c_{i-1}$$ kde $\oplus$ znaèí operaci XOR. Pøenos nastane, pokud je alespoò 1 èíslo jednièka, tedy
$$c_i=(x_i \land y_i)\lor((x_i \lor y_i) \land c_{i-1})$$.
\figure{1_6_hloupe_scitani.eps}{Obrázek 1.7 sèítání}{8cm}
Bohu¾el na to abychom spoèítali $z_i$ musíme znát hodnotu $c_{i-1}$, tedy mít spoèítané hodnoty pro v¹echny èísla men¹í ne¾ i. To dává lineární èasovou slo¾itost. Zamysleme se nad tím jak by se proces sèítání mohl zrychlit.

\h{Trik - chování blokù souètu}

\figure{1_7_blok_scitani.eps}{Obrázek 1.8 - Blok souètu}{8cm}
\>Blok se mù¾e chovat tøemi rùznými zpùsoby:

\numlist{\ndotted}
\:V¾dy vydá pøenos 0 
\:V¾dy vydá pøenos 1
\:Kopíruje (pøedá dál)
\endlist

\h{Rozdìlení a skládání blokù}
Blok B lze rozdìlit na 2 bloky p,q (pokud B není trivální)
\figure{1_10_konvence_deleni_bloku.eps}{Obrázek 1.9 - Dìlení blokù}{3cm}


\h{Triviální bity}
\figure{1_11_tabulka_kodovani.eps}{Obrázek 1.10 - Tabulka triviálních bitù}{3cm}

\s{Tvrzení:} Ka¾dý blok mohu postavit z triviálních bitù. 

\proof 
Dùkaz indukcí z asociativity.



\h{Kódování typù chování blokù}
%\>{\I Sem tabulku prosím :)}

\>Definujeme (a,x) : 
\itemize\ibull
\:$(1,*) = <$
\:$(0,0) = 0$
\:$(0,1) = 1$
\endlist

\>a operaci skládání blokù $\sigma$ pro kterou platí

$(a,x) \sigma (b,y) = (c,z)$

\>kde

$c = a \land b$

$z = (\neg a \land x) \lor (a \land y)$



\h{Lep¹í algoritmus sèítání}
V na¹em pùvodním algoritmu ze základní ¹koly jsme mìli O(n) hradel v O(n) hladinách. Algoritmus tedy nebyl paralelní a trval èas O(n).

\figure{1_9_deleni_bloku.eps}{Obrázek 1.11 - Výpoèet pøenosu}{8cm}
Víme pro ka¾dý blok velikosti $2^k$ na pozici dìlitelné $2^k$ jeho chování.
Teï, kdy¾ u¾ známe v¹echny zbytky $c_0$ a¾ $c_n$ mù¾eme u¾ jednodu¹e v konstantním èase spoèítat výsledek.



\bye
