slides/complex.tex

   1 \documentclass{beamer}
   2 \usepackage[latin2]{inputenc}
   3 \usepackage{palatino}
   4 \usepackage{amssymb}
   5 \usetheme{Warsaw}
   6 \title{Opakování komplexních èísel}
   7 \author{Martin Mare¹}
   8 \date{2011}
   9 \begin{document}
  10 \setbeamertemplate{navigation symbols}{}
  11
  12 \def\e{{\rm e}}
  13 \def\I{\,{\bf i}}
  14 \def\bb{\mathbb}
  15 \def\sk{\medskip}
  16
  17 \begin{frame}{Komplexní èísla: Slo¾kový tvar}
  18
  19 {\bf Definice:} ${\bb C} = \{ a+b\I \mid a,b\in {\bb R} \}$.
  20
  21 \sk
  22
  23 {\bf Sèítání:} $(a+b\I)\pm(p+q\I) = (a\pm p) + (b\pm q)\I$.
  24
  25 \sk
  26
  27 {\bf Násobení:} $(a+b\I)\cdot(p+q\I) = ap + (aq+bp)\I + bq\I^2 =$
  28
  29 $ =(ap-bq)+(aq+bp)\I$.
  30
  31 \sk
  32
  33 \qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$: $\alpha(a+b\I) = \alpha a + \alpha b\I$.
  34
  35 \sk
  36
  37 {\bf Komplexní sdru¾ení:} $\overline{a+b\I} = a-b\I$.
  38
  39 \sk
  40
  41 \qquad Vlastnosti: $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y}
  42 = \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot
  43 \overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$.
  44
  45 \sk
  46
  47 {\bf Absolutní hodnota:} $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert a+b\I \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.
  48
  49 \sk
  50
  51 \qquad Pro $\alpha\in{\bb R}: \vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.
  52
  53 \sk
  54
  55 {\bf Dìlení:} $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.
  56
  57 \end{frame}
  58
  59 \begin{frame}{Komplexní èísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar}
  60
  61 {\bf Geometrický pohled na $\bb C$:}
  62
  63 \begin{itemize}
  64 \item Èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\I \leftrightarrow (a,b)$.
  65 \item $\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.
  66 \item $\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici \\
  67       ({\it komplexní jednotky\/}).
  68 \end{itemize}
  69
  70 {\bf Goniometrický tvar:}
  71
  72 \begin{itemize}
  73 \item Pro komplexní jednotky: $x=\cos\varphi + \I\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$.
  74 \item Obecnì: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \I\sin\varphi(x))$.
  75 \end{itemize}
  76
  77 \sk
  78
  79 Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\it argument\/} èísla~$x$ (znaèí se $\mathop{\rm arg} x$).
  80
  81 \sk
  82
  83 Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.
  84
  85 \end{frame}
  86
  87 \begin{frame}{Komplexní èísla: Exponenciální tvar}
  88
  89 {\bf Eulerova formule:} $\e^{i\varphi} = \cos\varphi + \I\sin\varphi$.
  90
  91 \sk
  92
  93 Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}$.
  94
  95 \sk
  96
  97 {\bf Násobení:} $xy = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(y)}\right) =
  98 \vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot \e^{\I\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.
  99
 100 \smallskip
 101
 102 {\it (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)}
 103
 104 \sk
 105
 106 {\bf Umocòování:} $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right)^\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot \e^{\I \alpha \varphi(x)}$.
 107
 108 \sk
 109
 110 {\bf Odmocòování:} $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\cdot \varphi(x)/n}$.
 111
 112 \smallskip
 113
 114 Odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\I^4=(-\I)^4=1$.
 115
 116 \end{frame}
 117
 118 \begin{frame}{Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky}
 119
 120 Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:
 121
 122 \begin{itemize}
 123 \item $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=\e^{\I\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$,
 124 \item $\e^{\I\varphi n} = \cos{\varphi n} + \I\sin\varphi n = 1$, \\ co¾ nastane, kdykoliv $\varphi n = 2k\pi$ pro $k\in{\bb Z}$.
 125 \item Dostáváme $n$ rùzných $n$-tých odmocnin: \\ $2k\pi/n$ pro $k=0,\ldots,n-1$.
 126 \end{itemize}
 127
 128 \sk
 129
 130 Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\varphi(x)/n} \cdot \root n\of 1$.
 131
 132 \end{frame}
 133
 134 \end{document}