slides/complex.tex

   1 \input slidemac.tex
   2
   3 \language=\czech
   4 \chyph
   5
   6 \def\i{{\rm i}}
   7 \def\bb{\fam\bbfam}
   8 \advance\parskip by 10pt
   9
  10 \slide{Komplexní èísla: Slo¾kový tvar}
  11
  12 Definice: ${\bb C} = \{ a+b\i \mid a,b\in {\bb R} \}$.
  13
  14 Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$.
  15
  16 Násobení: $(a+b\i)\cdot(p+q\i) = ap + (aq+bp)\i + bq\i^2 = (ap-bq)+(aq+bp)\i$.
  17
  18 \noindent\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$.
  19
  20 Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$.
  21
  22 \noindent\qquad $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot \overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$.
  23
  24 Absolutní hodnota: $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.
  25
  26 \noindent\qquad Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.
  27
  28 Dìlení: $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.
  29
  30 \endslide
  31
  32 \slide{Komplexní èísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar}
  33
  34 Komplexním èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\i \leftrightarrow (a,b)$.
  35
  36 $\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.
  37
  38 $\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\sit komplexní jednotky\/}).
  39
  40 \noindent\qquad Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$.
  41
  42 Pro libovolné $x\in{\bb C}$: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \i\sin\varphi(x))$.
  43
  44 \noindent\qquad Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\sit argument\/} èísla~$x$, nìkdy znaèíme $\mathop{\rm arg} x$.
  45
  46 Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.
  47
  48 \endslide
  49
  50 \slide{Komplexní èísla: Exponenciální tvar}
  51
  52 Eulerova formule: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + \i\sin\varphi$.
  53
  54 Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}$.
  55
  56 Násobení: $xy = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(y)}\right) =
  57 \vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.
  58
  59 \noindent\qquad (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)
  60
  61 Umocòování: $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right)^\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot e^{\i \alpha \varphi(x)}$.
  62
  63 Odmocòování: $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\cdot \varphi(x)/n}$.
  64
  65 \noindent\qquad \dots\ pozor, odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$.
  66
  67 \endslide
  68
  69 \slide{Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky}
  70
  71 Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:
  72
  73 \noindent\qquad $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$,
  74
  75 \noindent\qquad $e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$, proèe¾ $\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$.
  76
  77 Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$
  78
  79 \noindent\qquad (pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny).
  80
  81 Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\varphi(x)/n} \cdot u$, kde $u=\root n\of 1$.
  82
  83 \endslide
  84
  85 \end