notation.tex

   1 \ifx\endpart\undefined
   2 \input macros.tex
   3 \fi
   4
   5 \chapter{Notation}
   6
   7 {\obeylines\parskip=0pt
   8 \def\n#1#2{\>\hbox to 6em{#1 \dotfill} #2}
   9 \def\[#1]{[\ref{#1}]}
  10 \n{$\bb R$}{the set of all real numbers}
  11 \n{$\bb N$}{the set of all natural numbers, including 0}
  12 \n{${\bb N}^+$}{the set of all positive integers}
  13 \n{$T[u,v]$}{the path in a tree~$T$ joining vertices $u$ and $v$ \[heavy]}
  14 \n{$T[e]$}{the path in a tree~$T$ joining the endpoints of an~edge~$e$ \[heavy]}
  15 \n{$A\symdiff B$}{symetric difference of sets: $(A\setminus B) \cup (B\setminus A)$}
  16 \n{$G-e$}{graph $G$ with edge $e$ removed}
  17 \n{$G+e$}{graph $G$ with edge $e$ added}
  18 \n{$w(e)$}{weight of an edge $e$}
  19 \n{$V(G)$}{set of vertices of a graph~$G$}
  20 \n{$E(G)$}{set of edges of a graph~$G$}
  21 \n{$n(G)$}{number of vertices of a graph~$G$, that is $\vert V(G)\vert$}
  22 \n{$m(G)$}{number of edges of a graph~$G$, that is $\vert E(G)\vert$}
  23 \n{$V,E,n,m$}{when used without $(G)$, they refer to the input of the current algorithm}
  24 \n{$\delta_G(U)$}{all edges connecting $U\subset V(G)$ with $V(G)\setminus U$; we usually omit the~$G$}
  25 \n{$\delta_G(v)$}{the edges of a one-vertex cut, i.e., $\delta_G(\{v\})$}
  26 \n{MST}{minimum spanning tree \[mstdef]}
  27 \n{MSF}{minimum spanning forest \[mstdef]}
  28 \n{$\mst(G)$}{the unique minimum spanning tree of a graph~$G$ \[mstnota]}
  29 \n{$X \choose k$}{a set of all $k$-element subsets of a set~$X$}
  30 \n{$G/e$}{multigraph contraction \[contract]}
  31 \n{$G.e$}{simple graph contraction \[simpcont]}
  32 \n{$\alpha(n)$}{the inverse Ackermann's function}
  33 \n{$f[X]$}{function applied to a set: $f[X]:=\{ f(x) ; x\in X \}$}
  34 \n{$f[e]$}{as edges are two-element sets, $f[e]$ maps both endpoints of an edge~$e$}
  35 \n{$\varrho({\cal C})$}{edge density of a graph class~$\cal C$ \[density]}
  36 \n{$\deg_G(v)$}{degree of vertex~$v$ in graph~$G$; we omit $G$ if it is clear from context}
  37 \n{${\bb E}X$}{expected value of a~random variable~$X$}
  38 \n{${\rm Pr}[\varphi]$}{probability that a predicate~$\varphi$ is true}
  39 \n{$\log n$}{a binary logarithm of the number~$n$}
  40 \n{$f^{(i)}$}{function~$f$ iterated $i$~times: $f^{(0)}(x):=x$, $f^{(i+1)}(x):=f(f^{(i)}(x))$}
  41 \n{$2\tower n$}{the tower function (iterated exponential): $2\tower 0:=1$, $2\tower (n+1):=2^{2\tower n}$}
  42 \n{$\log^* n$}{the iterated logarithm: $\log^*n := \min\{i: \log^{(i)}n < 1\}$; the inverse of~$2\tower n$}
  43 \n{$\beta(m,n)$}{$\beta(m,n) := \min\{i: \log^{(i)}n < m/n \}$ \[itjarthm]}
  44 }
  45
  46 \section{Multigraphs and contractions}
  47
  48 Since the formalism of multigraphs is not fixed in the literature, we will
  49 better define it carefully, following \cite{diestel:gt}:
  50
  51 \defn A~\df{multigraph} is an ordered triple $(V,E,M)$, where $V$~is the
  52 set of vertices, $E$~is the set of edges, taken as abstract objects disjoint
  53 with the vertices, and $M$ is a mapping $E\mapsto V \cup {V \choose 2}$
  54 which assigns to each edge either a pair of vertices or a single vertex
  55 (if the edge is a loop).
  56
  57 \proclaim{Notation}%
  58 When the meaning is clear from the context, we use our notation originally
  59 defined for graphs even for multigraphs. For example, $xy\in E(G)$ becomes a
  60 shorthand for $\exists e\in E(G)$ such that $M(G)(e) = \{x,y\}$. Also, we
  61 consider multigraphs with no multiple edges nor loops and simple graphs to be
  62 the same objects, although they formally differ.
  63
  64 \defn\id{contract}%
  65 Let $G=(V,E,M)$ be a multigraph and $e=xy$ its edge. \df{(Multigraph) contraction of~$G$ along~$e$}
  66 produces a multigraph $G/e=(V',E',M')$ such that:
  67 $$\eqalign{
  68 V' &= (V(G) \setminus \{x,y\}) \cup \{v_e\},\quad\hbox{where $v_e$ is a new vertex,}\cr
  69 E' &= E(G) - \{e\},\cr
  70 M'(f) &= \{ m(v) ; v\in M(f) \} \quad\hbox{for every $f=\in E'$, and}\cr
  71 m(x) &= \cases{v_e & \hbox{for $v=x,y,$}\cr v & \hbox{otherwise.}} \cr
  72 }$$
  73
  74 Sometimes we need contraction for simple graphs as well. It corresponds to performing
  75 the multigraph contraction, unifying parallel edges and deleting loops.
  76
  77 \defn\id{simpcont}%
  78 Let $G=(V,E)$ a simple graph and $e=xy$ its edge. \df{(Simple graph) contraction of~$G$ along~$e$}
  79 produces a graph $G.e=(V',E')$ such that:
  80 $$\eqalign{
  81 V' &= (V(G) \setminus \{x,y\}) \cup \{v_e\},\quad\hbox{where $v_e$ is a new vertex,}\cr
  82 E' &= \{ \{m(x),m(y)\} ; xy\in E \land m(x)\ne m(y) \},\cr
  83 m(x) &= \cases{v_e & \hbox{for $v=x,y,$}\cr v & \hbox{otherwise.}} \cr
  84 }$$
  85
  86 \endpart