9-suffix/9-suffix.tex

   1 \input ../sgr.tex
   2
   3 \prednaska{9}{Suffixové stromy} {Tomá¹ Mikula \& Jan Král}
   4
   5 V~této kapitole popí¹eme jednu datovou strukturu, pomocí které doká¾eme problémy týkající
   6 se øetìzcù pøevádìt na grafové problémy a tak je øe¹it v~lineárním èase.
   7
   8 \h{Øetìzce, trie a suffixové stromy}
   9
  10 \s{Definice:}
  11
  12 \nointerlineskip
  13 \halign{\qquad#\dotfill&~#\hfil\cr
  14 \hbox to 0.3\hsize{}\cr
  15 $\Sigma$                                        & koneèná abeceda (mno¾ina znakù, budeme je znaèit latinskými písmeny)\cr
  16 $\Sigma^*$                                      & mno¾ina v¹ech slov nad $\Sigma$ (slova budeme znaèit øeckými písmeny)\cr
  17 $\varepsilon$                                   & prázdné slovo\cr
  18 $\vert\alpha\vert$                              & délka slova $\alpha$\cr
  19 $\alpha\beta$                                   & zøetìzení slov $\alpha$ a $\beta$ ($\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha$)\cr
  20 $\alpha^R$                                      & slovo $\alpha$ napsané pozpátku\cr
  21 $\alpha$ je {\I prefixem} $\beta$               & $\exists\gamma: \beta=\alpha\gamma$ ($\beta$ zaèíná na~$\alpha$)\cr
  22 $\alpha$ je {\I suffixem} $\beta$               & $\exists\gamma: \beta=\gamma\alpha$ ($\beta$ konèí na~$\alpha$)\cr
  23 $\alpha$ je {\I podslovem} $\beta$              & $\exists\gamma,\delta: \beta=\gamma\alpha\delta$ (znaèíme $\alpha \subset \beta$)\cr
  24 $\alpha$ je {\I vlastním prefixem} $\beta$      & je prefixem a $\alpha\ne\beta$ (analogicky vlastní suffix a podslovo)\cr
  25 }
  26
  27 \s{Pozorování:} Prázdné slovo je prefixem, suffixem i podslovem ka¾dého slova vèetnì sebe sama.
  28 Podslova jsou právì prefixy suffixù a také suffixy prefixù.
  29
  30 \s{Definice:} {\I Trie ($\Sigma$-strom)} pro koneènou $X\subset\Sigma^*$ je orientovaný graf $G=(V,E)$, kde:
  31 \itemize\relax
  32 \:$V = \{\alpha: \alpha\hbox{ je prefixem nìjakého $\beta\in X$} \},$
  33 \:$(\alpha,\beta)\in E \equiv \exists x\in\Sigma: \beta=\alpha x$.
  34 \endlist
  35
  36 \s{Pozorování:} Trie je strom s koøenem $\varepsilon$. Jeho listy jsou slova z $X$, která nejsou vlastním prefixem jiných slov z~$X$.
  37 Hrany si mù¾eme pøedstavit popsané písmeny, o~nì¾ prefix roz¹iøují, popisky hran na~cestì z~koøene do~vrcholu~$\alpha$ dají právì slovo~$\alpha$.
  38
  39 \s{Definice:} {\I Komprimovaná trie ($\Sigma^+$-strom)} vznikne z trie nahrazením maximálních nevìtvících se cest hranami. Hrany
  40 jsou tentokrát popsané øetìzci místo jednotlivými písmeny, pøièem¾ popisky v¹ech hrany vycházejících z~jednoho vrcholu se li¹í v~prvním
  41 znaku. Vrcholùm \uv{uvnitø hran} (které padly za obìt kompresi) budeme øíkat {\I skryté vrcholy.}
  42
  43 \medskip
  44 \tabskip=0pt plus 1fil
  45 \halign to\hsize{
  46 \hfil#\hfil&\hfil#\hfil&\hfil#\hfil\cr
  47 \epsfbox{trie.eps}&\epsfbox{trie-c.eps}&\epsfbox{trie-cd.eps}\cr
  48 Trie pro $\{\hbox{AULA, AUTO, AUTOBUS, BUS}\}$ & \dots komprimovaná & \dots odolarovaná\cr
  49 }
  50 \medskip
  51
  52 \s{Definice:} {\I Suffixový strom (ST)} pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ je komprimovaná trie pro $X=\{\alpha: \hbox{$\alpha$ je suffixem $\sigma$}\}$.
  53
  54 \s{Pozorování:} Vrcholy suffixového stromu (vèetnì skrytých) odpovídají prefixùm suffixù slova~$\sigma$,
  55 tedy v¹em jeho podslovùm. Listy stromu jsou suffixy, které se v~$\sigma$ ji¾ nikde jinde nevyskytují
  56 (takovým suffixùm budeme øíkat {\I nevnoøené}). Vnitøní vrcholy odpovídají {\I vìtvícím podslovùm,}
  57 tedy podslovùm $\alpha\subset\sigma$ takovým, ¾e $\alpha a\subset\sigma$ i $\alpha b\subset\sigma$
  58 pro nìjaké dva rùzné znaky~$a$,~$b$.
  59
  60 Nìkdy mù¾e být nepraktické, ¾e nìkteré suffixy neodpovídají listùm (proto¾e jsou vnoøené), ale
  61 s~tím se mù¾eme snadno vypoøádat: pøidáme na~konec slova~$\sigma$ nìjaký znak~$\$$, který se nikde
  62 jinde nevyskytuje. Suffixy slova $\sigma\$$ odpovídají suffixùm slova~$\sigma$ (kdy¾ pomineme
  63 prázdný suffix) a ¾ádný z~nich nemù¾e být vnoøený.
  64
  65 \figure{st-barbara.eps}{Suffixový strom pro slovo BARBARA}{0pt}
  66
  67 \s{Lemma:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ je reprezentovatelný v~prostoru $\O(n)$.
  68
  69 \s{Dùkaz:} Strom má $\O(n)$ listù a ka¾dý vnitøní vrchol má alespoò $2$ syny, tak¾e vnitøních
  70 vrcholù je také $\O(n)$. Hran je rovnì¾ lineárnì. Nálepky na~hranách si staèí reprezentovat
  71 poèáteèní a koncovou pozicí v~$\sigma$.
  72 \qed
  73
  74 \s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ lze sestrojit v~èase $\O(n)$.
  75
  76 \s{Dùkaz:} Ve~zbytku této kapitoly pøedvedeme dvì rùzné konstrukce v~lineárním èase.
  77 \qed
  78
  79 \s{Aplikace:} (co v¹e doká¾eme v~lineárním èase, kdy¾ umíme lineárnì konstruovat ST)
  80
  81 \numlist\ndotted
  82 \:{\I Inverzní vyhledávání} (tj. pøedzpracujeme si v~lineárním èase text a pak umíme pro libovolné
  83 slovo~$\alpha$ v~èase $\O(\vert\alpha\vert)$ rozhodnout, zda se v~textu vyskytuje.\foot{Èili pøesný
  84 opak toho, co~umí vyhledávací automat -- ten si pøedzpracovává dotaz.} -- staèí sestrojit~ST
  85 a pak jej procházet od~koøene. Také umíme najít v¹echny výskyty (odpovídají suffixùm, které mají
  86 jako prefix hledané slovo, tak¾e staèí vytvoøit ST s~dolarem a vypsat v¹echny listy pod
  87 nalezeným vrcholem) nebo pøímo vrátit jejich poèet (pøedpoèítáme si pomocí DFS pro ka¾dý vrchol,
  88 kolik pod ním le¾í listù).
  89
  90 \:{\I Nejdel¹í opakující se podslovo} -- takové podslovo je nutnì vìtvící, tak¾e staèí
  91 najít vnitøní vrchol s~nejvìt¹í {\I písmenkovou hloubkou} (tj. hloubkou mìøenou ve~znacích
  92 místo ve~hranách).
  93
  94 \:{\I Histogram èetností podslov délky~$k$} -- rozøízneme ST v~písmenkové hloubce~$k$ a spoèítáme,
  95 kolik pùvodních listù je pod ka¾dým novým.
  96
  97 \:{\I Nejdel¹í spoleèné podslovo} slov~$\alpha$ a $\beta$ -- postavíme ST pro slovo $\alpha\$_1\beta\$_2$,
  98 jeho listy odpovídají suffixùm slov $\alpha$ a $\beta$. Tak¾e staèí pomocí DFS najít nejhlub¹í vnitøní
  99 vrchol, pod kterým se vyskytují listy pro~$\alpha$ i $\beta$. Podobnì mù¾eme sestrojit ST pro libovolnou
 100 mno¾inu slov.\foot{Jen si musíme dát pozor, abychom si moc nezvìt¹ili abecedu, ale to bude jasné,
 101 a¾ pøedvedeme konkrétní konstrukce.}
 102
 103 \:{\I Nejdel¹í palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro nì¾ je $\beta_R=\beta$)
 104 -- postavíme spoleèný ST pro slova $\alpha$ a $\alpha_R$. Postupnì procházíme pøes v¹echny mo¾né støedy
 105 palindromického podslova a v¹imneme si, ¾e takové slovo je pro ka¾dý støed nejdel¹ím spoleèným
 106 prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu (pozpátku) k~zaèátku,
 107 èili nìjakého suffixu $\alpha$ a nìjakého suffixu $\alpha_R$. Tyto suffixy ov¹em odpovídají
 108 listùm sestrojeného ST a jejich nejdel¹í spoleèný prefix je nejbli¾¹ím spoleèným pøedchùdcem
 109 ve~stromu, tak¾e staèí pro strom vybudovat datovou strukturu pro spoleèné pøedchùdce
 110 a s~její pomocí doká¾eme jeden støed prozkoumat v~konstantním èase.
 111
 112 \:{\I Burrows-Wheelerova Transformace} -- jejím základem je lexikografické setøídìní v¹ech
 113 rotací slova~$\sigma$, co¾ zvládneme sestrojením ST pro slovo~$\sigma\sigma$, jeho
 114 uøíznutím v~písmenkové hloubce~$\vert\sigma\vert$ a následným vypsáním listù v~poøadí dle~DFS.
 115 \endlist
 116
 117 \h{Suffix Array}
 118
 119 \>V~nìkterých pøípadech se hodí místo suffixového stromu pou¾ívat kompaktnìj¹í datové struktury.
 120
 121 \s{Notace:} Pro slovo $\sigma$ bude $\sigma[i:j]$ znaèit podslovo slo¾ené z~$i$-tého a¾ $j$-tého
 122 znaku slova~$\sigma$ (znaky èíslujeme od~$1$). Libovolnou z~mezí mù¾eme vynechat, tak¾e
 123 $\sigma[i:{}]$ bude suffix od~$i$ do~konce a $\sigma[{}:j]$ prefix od~zaèátku do~$j$.
 124 Pokud $j<i$, definujeme $\sigma[i:j]$ jako prázdné slovo, tak¾e prázdný suffix mù¾eme
 125 napøíklad zapsat jako $\sigma[\vert\sigma\vert+1:{}].$
 126
 127 ${\rm LCP}(\alpha,\beta)$ bude znaèit délku nejdel¹ího spoleèného prefixu slov $\alpha$ a $\beta$,
 128 èili nejvìt¹í $i$ takové, ¾e $\alpha[{}:i]=\beta[{}:i]$.
 129
 130 \s{Definice:} {\I Suffix Array} $A_\sigma$ pro slovo $\sigma$ délky~$n$ je posloupnost v¹ech suffixù
 131 slova~$\sigma$ v~lexikografickém poøadí. Mù¾eme ho reprezentovat napøíklad jako permutaci $A$ èísel
 132 $1,\ldots,n+1$, pro ní¾ $\sigma[A[1]:{}] < \sigma[A[2]:{}] < \ldots < \sigma[A[n+1]:]$.
 133
 134 \s{Definice:} {\I Longest Common Prefix Array} $L_\sigma$ pro slovo $\sigma$ je posloupnost,
 135 v~ní¾ $L_\sigma[i]$ udává délku nejdel¹ího spoleèného prefixu slov $A_\sigma[i]$ a $A_\sigma[i+1]$,
 136 èili $L_\sigma[i]={\rm LCP}(A_\sigma[i],A_\sigma[i+1])$.
 137
 138 \s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ s~dolarem je lineárnì ekvivalentní s~dvojicí $(A_\sigma,L_\sigma)$.
 139 [Jinými slovy, kdy¾ máme jedno, mu¾eme z~toho v~lineárním èase spoèítat druhé a naopak.]
 140
 141 \s{Dùkaz:} Kdy¾ projdeme ST($\sigma$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
 142 vrcholù v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma$) získáme tak, ¾e sestrojíme kartézský strom
 143 pro~$L_\sigma$ (to jsou vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy a pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
 144 a nakonec podle listù rekonstruujeme nálepky hran.
 145
 146 \h{Rekurzivní konstrukce}
 147
 148 \>Tento algoritmus konstruuje pro slovo $\sigma$ délky~$n$ pole $A_\sigma$ a $L_\sigma$ v~èase $\O(n+{\rm Sort}(n,\Sigma))$,
 149 kde ${\rm Sort}(\ldots)$ je èas potøebný pro setøídìní $n$ symbolù z~abecedy~$\Sigma$. V~kombinaci s~pøedchozími
 150 výsledky nám tedy dává lineární konstrukci ST($\sigma$) pro libovolnou fixní abecedu.
 151
 152 \s{Algoritmus:} (Konstrukce $A$ a $L$ podle Kärkkäinena a Sanderse)
 153
 154 \algo
 155 \:Redukujeme abecedu na~$1\ldots n$: ve~vstupním slovu je nejvý¹e $n$ rùzných znakù,
 156 tak¾e je staèí setøídit a pøeèíslovat.
 157
 158 \:Definujeme slova $\sigma_0$, $\sigma_1$, $\sigma_2$ následovnì:
 159 $$\eqalign{
 160 \sigma_0[i] &:= \left<\sigma[3i],\sigma[3i+1],\sigma[3i+2]\right>\cr
 161 \sigma_1[i] &:= \left<\sigma[3i+1],\sigma[3i+2],\sigma[3i+3]\right>\cr
 162 \sigma_2[i] &:= \left<\sigma[3i+2],\sigma[3i+3],\sigma[3i+4]\right>\cr
 163 }$$
 164 Slova $\sigma_k$ jsou slova délky $\approx n/3$ nad~abecedou velikosti $n^3$. Dovolíme
 165 si mírnì zneu¾ívat notaci a znaèit $\sigma_k$ i jejich pøepis do~abecedy pùvodní.
 166
 167 \:Zavoláme se rekurzivnì na slovo $\sigma_0\sigma_1$, èím¾ získáme $A_{01}$ a $L_{01}$.
 168
 169 \:Z~$A_{01}$ a $L_{01}$ vydìlíme $A_0=A_{\sigma_0}$, $A_1$, $L_0$ a $L_1$ a spoèítáme permutace inverzní k~$A_0$ a $A_1$.
 170
 171 \:Dopoèítáme $A_2$: Jeliko¾ $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:{}] = \sigma[3i+2]\sigma[3i+3:{}] = \sigma[3i+2]\sigma_0[i+1:{}]$
 172 a v¹echna $\sigma_0[i:{}]$ u¾ máme setøídìná, mù¾eme v¹echna $\sigma_2[i:{}]$ setøídit dvìma prùchody pøíhrádkového tøídìní.
 173
 174 \:Dopoèítáme $L_2$: Stejným trikem jako $A_2$ -- pokud jsou první písmena rùzná, je spoleèný prefix prázdný, jinak
 175 má délku $1+{\rm LCP}(\sigma_0[i+1:{}],\sigma_0[j+1:{}]) = \min_{i+1\le k< j+1} L_0[k]$. Minimum zvládneme pro ka¾dou
 176 dvojici $i,j$ spoèítat v~konstantním èase pomocí datové struktury pro intervalová minima.
 177 \todo{Ta je a¾ v~následující kapitole.}
 178
 179 \:$A_0,A_1,A_2\buildrel merge\over\longrightarrow A$ -- sléváme tøi setøídìné posloupnosti,
 180 tak¾e staèí umìt prvky libovolných dvou posloupností v~konstantním èase porovnat:
 181 $$\eqalign{
 182 \sigma_0[i:{}] < \sigma_1[j:{}] &\equiv A_{01}^{-1}[i] < A_{01}^{-1}[\vert\sigma_0\vert+j]\cr
 183 \sigma_0[i:{}] < \sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3i]\,\sigma_1[i:{}] < \sigma[3k+2]\,\sigma_0[k+1:{}]\cr
 184 &\Leftrightarrow (\sigma[3i] < \sigma[3k+2]) \vee (\sigma[3i] = \sigma[3k+2] \wedge \sigma_1[i:{}] < \sigma_0[k+1:{}])\cr
 185 \sigma_1[j:{}]<\sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3j+1]\,\sigma[3j+2]\,\sigma_0[j+1:{}] < \sigma[3k+2]\,\sigma[3k+3]\,\sigma_1[k+1:{}]
 186 }$$
 187
 188 \:Dopoèítame $L$ -- pokud sousedí suffix ze~$\sigma_{0,1}$ se suffixem ze~$\sigma_{0,1}$,
 189 vyèteme výsledek pøímo z~$L_{01}$. Pokud sousedí $\sigma_2$ se $\sigma_2$, staèí pou¾ít
 190 u¾ spoèítané $L_2$. Pokud sousedí $\sigma_{0,1}$ se $\sigma_2$, odebereme první jeden
 191 nebo dva znaky, ty porovnáme samostatnì a v~pøípadì shody zbude suffix ze~$\sigma_0$
 192 a suffix ze~$\sigma_1$ (stejnì jako pøi slévání) a pro ty doká¾eme $L$ dopoèítat
 193 pomocí struktury pro intervalová minima v~$L_{01}$.
 194
 195 \endalgo
 196
 197 \s{Analýza èasové slo¾itosti:} Tøídìní v~prvním volání trvá ${\rm Sort}(n,\Sigma)$, ve~v¹ech
 198 ostatních voláních je lineární (trojice èísel velikosti $\O(n)$ mù¾eme tøídit tøíprùchodovým
 199 pøíhrádkovým tøídìním s~$\O(n)$ pøíhrádkami). Z~toho dostáváme:
 200 $$T(n) = T(2/3\cdot n) + \O(n),~\hbox{a tedy}~T(n)=\O(n).$$
 201 \qed
 202
 203 \h{Ukkonenova inkrementální konstrukce}
 204
 205 \>Ukkonenùv algoritmus konstruuje suffixový strom bez dolarù inkrementálnì: zaène se stromem
 206 pro prázdné slovo (ten má jediný vrchol, a to koøen) a postupnì pøidává dal¹í znaky na~konec
 207 slova. To zvládne v~èase $\O(1)$ amortizovanì na~pøidání jednoho znaku.
 208 Pro slovo~$\sigma$ tedy doká¾e sestrojit ST v~èase $\O(\vert\sigma\vert)$.
 209
 210 \s{Pozorování:} Kdy¾ slovo~$\sigma$ roz¹íøíme na~$\sigma a$, ST se zmìní následovnì:
 211
 212 \numlist\ndotted
 213 \:Pokud $\beta$ byl nevnoøený suffix $\sigma$, je i $\beta a$ nevnoøený suffix. Z~toho víme, ¾e listy
 214 zùstanou listy, pouze jim potøebujeme prodlou¾it nálepky. Pomù¾eme si snadno: zavedeme
 215 {\I otevøené hrany,} jejich¾ nálepka je \uv{od~pozice~$i$ do konce}. Listy se tak
 216 o~sebe postarají samy.
 217 \:Pokud $\beta$ bylo vìtvící slovo, zùstane nadále vìtvící -- tedy vnitøní vrcholy ve~stromu zùstanou.
 218 \:Pokud $\beta$ byl vnoøený suffix (tj. vnitøní èi skrytý vrchol), pak se $\beta a$ buïto
 219 vyskytuje v~$\sigma$ a tím pádem je to vnoøený suffix nového slova a strom není nutné
 220 upravovat, nebo se v~$\sigma$ nevyskytuje a tehdy pro nìj musíme zalo¾it novou odboèku
 221 a nový list s~otevøenou hranou.
 222 \endlist
 223
 224 Víme tedy, co v¹echno musí algoritmus ve~stromu pøí roz¹íøení slova upravit, zbývá
 225 vyøe¹it, jak to udìlat efektivnì. K~tomu se hodí pár definic a lemmat:
 226
 227 \s{Definice:} {\I Aktivní suffix} $\alpha(\sigma)$ øíkáme nejdel¹ímu vnoøenému suffixu slova~$\sigma$.
 228
 229 \s{Lemma:} Suffix $\beta$ slova $\sigma$ je vnoøený $\Leftrightarrow$ $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert.$
 230
 231 \s{Dùkaz:} Ka¾dý suffix vnoøeného suffixu je opìt vnoøený. \qed
 232
 233 \s{Lemma:} Pro ka¾dé $\sigma$, $a$ platí: $\alpha(\sigma a)$ je suffixem $\alpha(\sigma)a.$
 234
 235 \s{Dùkaz:} $\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto staèí porovnat jejich délky.
 236 Slovo $\beta := \hbox{\uv{$\alpha(\sigma a)$ bez koncového~$a$}}$ je vnoøeným suffixem v~$\sigma$, tak¾e
 237 $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$, a~tedy také $\vert\alpha(\sigma a)\vert = \vert\beta a\vert \le \vert\alpha(\sigma)a\vert$.
 238 \qed
 239
 240 \s{Definice:} Suffix $\beta a$ je {\I zralý} (musíme pro~nìj pøi pøidávání znaku~$a$ k~aktuálnímu
 241 slovu~$\sigma$ zakládat nový vrchol) $\equiv$ $\beta$ je vnoøený suffix~$\sigma$, ale $\beta a$ není podslovem~$\sigma$.
 242
 243 \s{Lemma:} Suffix $\beta$ je zralý $\Leftrightarrow$ $\vert\alpha(\sigma)a\vert \ge \vert\beta a\vert > \vert\alpha(\sigma a)\vert$.
 244
 245 \s{Dùkaz:} Jeliko¾ $\beta$ je vnoøeným suffixem $\sigma$, musí platit první nerovnost. Aby byl zralý,
 246 musí také nebýt vnoøeným suffixem $\sigma a$, èemu¾ odpovídá druhá nerovnost.
 247 \qed
 248
 249 \s{Algoritmus:} Udr¾uji si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a pøi pøidání znaku $a$ zkontroluji, zda $\alpha a$ je
 250 stále vnoøený suffix. Pokud ano, nic se nemìní, pokud ne, pøidám vnitøní vrchol, $\alpha$ zkrátím
 251 zleva o~znak a testuji dál.
 252
 253 \s{Èasová slo¾itost:} Úprav stromu provedu $\O(1)$ amortizovanì (ka¾dá úprava slovo $\alpha$ zkrátí,
 254 ka¾dé pøidání znaku ho~prodlou¾í o~znak, tak¾e v¹ech zkrácení je $\O(\vert\sigma\vert)$). Staèí
 255 tedy ukázat, jak provést úpravu v~(amortizovanì) konstantním èase, k~èemu¾ se nám bude hodit:
 256
 257 \s{Definice:} {\I Referenèní pár} je dvojice $(\pi,\tau)$, v~ní¾ $\pi$ je vrchol
 258 stromu a $\tau$ libovolné slovo. Tento pár popisuje slovo $\pi\tau$. Referenèní
 259 pár je {\I kanonický,} pokud neexistuje hrana vedoucí z~vrcholu $\pi$ s~nálepkou,
 260 která by byla prefixem slova~$\tau$.
 261
 262 \s{Pozorování:} Ke~ka¾dému slovu existuje právì jeden kanonický referenèní pár,
 263 který ho popisuje. V¹imnìte si, ¾e je to ze~v¹ech referenèních párù pro toto slovo
 264 ten s~nejdel¹ím~$\alpha$ (nejhlub¹ím vrcholem).
 265
 266 \s{Definice:} Zpìtná hrana $\<back>[\pi]$ vede z~vrcholu $\pi$ do~vrcholu,
 267 který je ze~v¹ech vrcholù nejdel¹ím vlastním suffixem slova~$\pi$.
 268
 269 \s{Pozorování:} Zpìtné hrany jsme sice zavedli stejnì obecnì, jako se to dìlá
 270 pøi konstrukci vyhledávacích automatù podle Aha a McCorasickové, ale v~na¹em
 271 pøípadì se \<back> pro vnitøní vrcholy chová daleko jednodu¹eji (a~na ¾ádné
 272 jiné ho potøebovat nebudeme): pokud je $\pi$ vnitøní vrchol, musí to být
 273 vìtvící podslovo, a~tím pádem ka¾dé jeho zkrácení zleva musí být také vìtvící
 274 podslovo. Tedy $\<back>(\pi)$ dá~$\pi$ bez prvního znaku, co¾ se nám
 275 bude hodit pøi zkracování suffixù.
 276
 277 \s{Algoritmus podrobnìji:} (Doplnili jsme detaily do~pøedchozího algoritmu.)
 278
 279 \algo
 280 \:Vstup: $\alpha=\alpha(\sigma)$ reprezentovaný jako kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma$ a jeho funkce \<back>, nový znak~$a$.
 281 \:Zjistíme, jestli $\alpha a$ je pøitomen ve~stromu:
 282 \::Pokud $\tau=\varepsilon$: ($\alpha=\pi$ je vnitøní vrchol)
 283 \:::Vede-li z~vrcholu $\pi$ hrana s~nálepkou zaèínající znakem $a$, pak je pøítomen.
 284 \:::Nevede-li, není pøítomen, a~tak pøidáme novou otevøenou hranu vedoucí do~nového listu.
 285 \::Pokud $\tau\ne\varepsilon$: ($\alpha$ je skrytý vrchol)
 286 \:::Najdeme hranu, po~ní¾ z~$\pi$ pokraèuje slovo $\tau$ (která to je, poznáme podle prvního znaku slova~$\tau$).
 287 \:::Pokud v~popisce této hrany po~$\tau$ následuje znak~$a$, pak je $\alpha a$ pøítomen.
 288 \:::Pokud nenásleduje, tak nebyl pøítomen, èili tuto hranu rozdìlíme: pøidáme na~ní nový vnitøní vrchol,
 289     do~nìj¾ povede hrana s~popiskou~$\tau$ a z~nìj zbytek pùvodní hrany a otevøená hrana do~nového listu.
 290 \:Pokud $\alpha a$ byl pøítomen, tak $\alpha$ zkrátíme a test opakujeme:
 291 \::Je-li $\pi\ne\varepsilon$, nastavíme $\pi := \<back>(\pi)$. V~opaèném pøípadì (jsme v~koøeni) zkrátíme $\tau$ o~znak zleva.
 292 \::Pár $(\pi,\tau)$ u¾ popisuje zkrácené slovo, ale nemusí být kanonický, tak¾e to je¹tì napravíme:
 293 \:::Dokud existuje hrana vedoucí z~$\pi$, její¾ popiska je prefixem slova $\tau$, tak se
 294     po~této hranì posuneme, èili prodlou¾íme $\pi$ o~tuto popisku a zkrátíme o~ni~$\tau$.
 295 \::Zpìt na~krok 2.
 296 \:Pokud $\alpha a$ u¾ je pøítomen, zbývá pøidat $a$ k~$\alpha$ a zastavit se:
 297 \::$\tau := \tau a$.
 298 \::Kanonikalizace stejnì jako v~bodech 12--13.
 299 \:Výstup: $\alpha=\alpha(\sigma a)$ coby kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
 300   a jeho funkce \<back>.
 301 \endalgo
 302
 303 \s{Èasová slo¾itost:}
 304
 305 Kanonikalizace pracuje v~amortizovanì konstantním èase, proto¾e ka¾dá její iterace
 306 zkrátí~$\tau$ a za~celou dobu bìhu algoritmu se~$\tau$ prodlou¾í jen jednou, a~to o~jeden znak.
 307
 308 Prùchodù hlavním cyklem je, jak u¾ víme, amortizovanì konstantní poèet a ka¾dý prùchod
 309 zvládneme v~konstantním èase.
 310
 311 Je¹tì jsme ale zapomnìli nastavovat novým vrcholùm jejich \<back>. To potøebujeme
 312 jen pro vnitøní vrcholy (na~zpìtné hrany z~listù se algoritmus nikdy neodkazuje)
 313 a v¹imneme si, ¾e pokud jsme zalo¾ili vrchol, odpovídá tento vrchol v¾dy souèasnému~$\alpha$
 314 a zpìtná hrana z~nìj povede do~zkrácení slova~$\alpha$ o~znak zleva, co¾ je
 315 pøesnì vrchol, který zalo¾íme (nebo zjistíme, ¾e u¾ existuje) v~pøí¹tí iteraci
 316 hlavního cyklu. V~dal¹í iteraci urèitì je¹tì nebudeme tuto hranu potøebovat,
 317 proto¾e $\pi$ v¾dy jen zkracujeme, a~tak mù¾eme vznik zpìtné hrany o~iteraci
 318 zpozdit a zvládnout to tak také v~èase $\O(1)$.
 319
 320 Celkovì je tedy èasová slo¾itost inkrementálního udr¾ování suffixového
 321 stromu amortizovanì konstantní.
 322 \qed
 323
 324 \bye