9-geom/9-geom.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{9}{Geometrické algoritmy}{(B. Maslowski, J. Návrat, M. Sta¹a)}
   4
   5 \>Budeme se teï bavit o geometrických problémech v~rovinì. Vìt¹ina algoritmù, které zde uvedeme, má sice své obdoby i pro prostory vy¹¹í nebo ni¾¹í dimenze, ale jednorozmìrné pøípady bývají triviální a vícerozmìrné jsou zase vìt¹inou moc slo¾ité.
   6 Budeme se tedy zabývat tím, jak tyto problémy øe¹it v~dimenzi dva (v~Euklidovské rovinì).
   7
   8
   9 \h{Hledání konvexního obalu}
  10 Ptáte se o co pùjde? Zkusme si to pøiblí¾it na problému ledních medvìdù :)
  11 {\I Lední medvìdi si po dlouhé dobì zmapovali vody severního moøe a zjistili pøesnì místa, kde se nacházejí jejich oblíbené ryby. No a proto¾e to jsou medvìdi chytøí, rozhodli se v¹echny tyto rybky pochytat najednou do jedné velké sítì. A problém, který tady mají, je následující: jaký nejmen¹í obvod mù¾e mít taková sí», aby se dovnitø ve¹ly v¹echny rybky?!}
  12
  13 Neboli budeme øe¹it, jak nìjakou zadanou mno¾inu bodù v~rovinì obalit co nejkrat¹í uzavøenou køivkou, do které se je¹tì v¹echny body vejdou.
  14
  15 Intuice nám napovídá ¾e výsledek bude nìjaký konvexní\foot{Mno¾ina bodù v~rovinì je konvexní, pokud platí, ¾e pro ka¾dé dva body této mno¾iny le¾í úseèka spojující tyto dva body také celá v~této mno¾inì.} mnohoúhelník, který bude mít vrcholy v~nìkterých uvedených bodech. Ostatní vrcholy pak budou buï nìkde na hranách mnohoúhelníku, nebo uvnitø. Tomuto mnohoulehníku se øíká {\I konvexní obal} dané mno¾iny.
  16
  17 \>Mo¾ná by se teï hodilo pøedvést názornì, jak vypadají nejmen¹í konvexní obaly:
  18
  19 \figure{ZakladniObaly.eps}{Základní obaly.}{3in}
  20
  21 \itemize\ibull
  22 \:Konvexní obal prázdné mno¾iny je prázdná mno¾ina.
  23 \:Konvexní obal 1 bodu je bod samotný.
  24 \:Konvexní obal 2 bodù je úseèka spojující tyto body.
  25 \:Konvexní obal 3 bodù je trojúhleník s vrcholy v~tìchto bodech.
  26 \:Konvexní obal 4 bodù \dots to u¾ je slo¾itìj¹í\dots
  27 \endlist
  28 Konvexní obaly 4 a více bodù, jak si mù¾eme v¹imnout, u¾ nejsou jednoznaèné. Pro $N$-prvkovou mno¾inu bude konvexní obal mnohoúhelník se tøemi a¾ $N$ vrcholy.
  29
  30 Jeden dobrý zpùsob, jak tento konvexní obal sestrojit se nazývá {\I Zametání roviny.}
  31
  32 Algoritmus funguje tak, ¾e si v~rovinì zvolíme nìjaký smìr, a v~tomto smìru zaèneme posouvat pøímku. Budeme takto potkávat body le¾ící v~na¹í mno¾inì.
  33 V~ka¾dém okam¾iku budeme chtít, aby body v~èásti, kterou jsme ji¾ zametli, u¾ mìli spoèítaný konvexní obal. V¾dy kdy¾ pak zametací pøímkou narazíme na nový bod, u¾ si jen rozmyslíme, jak ho do konvexního obalu pøidat.
  34
  35 BÚNO pøedpokládáme body v~obecné poloze, tedy takové, ¾e ¾ádné tøi nele¾í na~jedné pøímce. Dále také budeme pøedpokládat, ¾e budeme zametat ve smìru $x$-ové osy a ¾e v¹echny body mají rùznou $x$-ovou souøadnici.
  36
  37 Je také vidìt, ¾e bod s nejmen¹í a nejvìt¹í $x$-ovou souøadnicí bude le¾et na~konvexním obalu.
  38
  39 \s{My¹lenka algoritmu:}
  40 \algo
  41 \:Setøídíme body podle jejich $x$-ové souøadnice.
  42 \:Vezmeme první tøi body a sestrojíme jejich konvexní obal.
  43 \:Opakuj: Najdeme dal¹í bod a podíváme se, jestli ho mù¾eme do konvexního obalu rovnou pøidat:
  44 \::Pokud jej mù¾eme rovnou pøidat, tak jej pøidáme.
  45 \::Pokud jej pøidat rovnou nemù¾eme, pak je potøeba nejdøíve nìjaké body odzadu odebrat a pak teprve pøipojit ná¹ nový bod.
  46 \endalgo
  47
  48 Ka¾dá iterace tedy bude probíhat tak, ¾e nìjaké body z pùvodního konvexního obalu pozapomínáme a pøidáme nový bod. Aby se to lépe popisovalo, tak celý konvexní obal rozdìlíme na {\I horní obálku} a {\I dolní obálku.}
  49
  50 \figure{HD-obalka.eps}{Obrázek obálek.}{3in}
  51
  52 Vidíme teï, ¾e dolní obálka je nìjaká lomená èára, která zatáèí doleva. Horní obálka zatáèí doprava. V~na¹em algoritmu si budeme obálky pamatovat jako dva seznamy vrcholù. Kdy¾ pak v~algoritmu narazíme na nový bod, budeme zvlá¹» øe¹it jak to ovlivní horní obálku a jak ovlivní dolní.
  53 Je vidìt ¾e bod nejvíce vlevo a bod nejvíce vpravo le¾í v obou obálkách. Ostatní body buï le¾í jen v~jedné z obálek, nebo nele¾í v~¾ádné z nich (tedy nejsou souèástí konvexního obalu).
  54
  55 \s{Algoritmus:}
  56 \algo
  57 \:Setøídíme body podle souøadnice $x$, dostaneme mno¾inu bodù $b_1~-~b_n$.
  58 \:Spoèítáme konvexní obal ${b_1, b_2, b_3}$, z toho získáme horní a dolní obálku\foot{Body $b_1$ a $b_3$ budou v obou obálkách. Bod $b_2$ bude v~horní obálce pokud le¾í nad pøímkou spojující $b_1$ a $b_3$, v~dolní obálce bude pokud le¾í pod pøímkou.}.
  59 \:Pro $b$ postupnì zpracováváme $b_3 - b_n$:
  60 \::Pøepoèítáme Horní obálku:
  61 \:::Dokud $(\vert H\vert \geq 2)$ a úhel $(H[-2], H[-1], b)$ je orientovaný doleva:
  62 \::::Odebereme poslední prvek z obálky.
  63 \:::Pøidáme do obálky nový vrchol.
  64 \::Pøepoèítáme dolní obálku:
  65 \:::Dokud $(\vert D\vert \geq 2)$ a úhel $(D[-2], D[-1], b)$ je orientovaný doprava:
  66 \::::Odebereme poslední prvek z obálky.
  67 \:::Pøidáme do obálky nový vrchol.
  68 \endalgo
  69
  70 Setøídit body podle $x$-ové souøadnice a sestrojit konvexní obal prvních tøech bodù stihneme v~èase $\O(n \log n)$. Zbytek pak u¾ udìláme dokonce v~èase lineárním $\O(n)$\foot{V této èásti u¾ jen do obálek pøidáváme a odebíráme body.Pøidáváme jich $N$. A odebrat jich mù¾eme maximálnì tolik kolik jsme jich pøidali. Tedy zase maximálnì $N$.}. Platí tedy:
  71
  72 \s{Vìta:} Konvexní obal doká¾eme sestrojit v~èase $\O(n \log n)$.
  73
  74 \>Na¹i lední medvìdi se tedy ji¾ nauèili, jak si efektivnì obstarat potravu a mohly se pustit do øe¹ení dal¹ího velmi dùle¾itého problému. Pojïme se na nìj podívat s nimi.
  75 \>A o co ¾e to pùjde?
  76 {\I Lední medvìdi nejsou na antarktidì sami, kromì nich tam taky bydlí kamarádi eskymáci ve svých iglù. Medvìdi by si teï rádi udìlali mapu, podle které by hned poznali, ke kterému ekymákovi to mají nejblí¾e na náv¹»evu.}
  77
  78 My tuhle medvìdí mapu od teï budeme nazývat {\I Voroneho diagramem}.
  79
  80 \h{Voroného diagramy}
  81
  82 Pøed tím, ne¾ vás vystra¹ím nìjakou definicí, si øekneme, co jsi pod tímto, na
  83 první pohled ne zøejmým pojmem, pøedstavit. Mìjme mno¾inu teèek T rozmístìných
  84 náhodnì po papíru. Ke ka¾dému bodu nakreslíme okraje tak, aby vniklá plo¹ka
  85 obsahovala body, které jsou nejblí¾e právì té na¹í vybrané teèce. Samozøejmì
  86 \uv{sousední} teèky budou mít tyto hranice spoleèné. Výsledkem na¹eho dlouhého
  87 sna¾ení pak bude právì Voroného diagram. V dal¹ích odstavcích se budeme zajímat
  88 o to, jak takový útvar správnì popsat, jak ho sestrojit a jaké datové struktury
  89 k tomu pou¾ít.
  90
  91 \s{Definice:} {\I Voroného} diagram pro koneènou mno¾inu $M = \{m_1, \dots, m_n\} \in
  92 {\bb R}^2$ míst je systém mno¾in $O_1,\dots,O_n$ takových, ¾e pro v¹echna $i$ a $j$ a
  93 pro v¹echna $x \in M_i$ je vzdálenost $x$ od $m_i$ men¹í nebo rovna vzdálenosti
  94 $x$ od $m_j$ a zároveò sjednocení $O_i$ pøes v¹echna $i$ je celý prostor ${\bb R}^2$,
  95 neboli:
  96
  97 $$d(x,m_i) \leq d(x,m_j) \wedge {\bigcup}_i O_i = {\bb R}^2.$$
  98
  99 Voroného diagram se tedy skládá z nìjakých míst, oblastí a hran, které ty oblasti oddìlují.
 100
 101 \s{Definice:} Øekneme, ¾e {\I hrana} $H$ je taková mno¾ina bodù, ¾e pro ka¾dý bod $x \in H$
 102 platí.
 103 \s{Definice:} Øekneme, ¾e {\I vrchol} je takový bod, kde se potkávají alespoò dvì hrany.
 104
 105 \s{Pozorování:}
 106 \itemize\ibull
 107 \:Ka¾dá mno¾ina $M_i$ je ohranièena konvexní lomenou èarou, tak¾e oblasti mají tvar konvexních mnohoúhelníkù, ale je mo¾né, ¾e jsou oteveøené do nekneèna.
 108 \:Pro ka¾dou hranu $h$ ve Voroného diagramu existuje $i$ a $j$ takové, ¾e kdy¾ $x \in H$, pak vzdálenost $d(x,m_i) = d(x,m_j)$.
 109 \:Pro ka¾dý vrchol $v$ Voroného diagramu existují alespoò tøi místa le¾ící
 110 na kru¾nici se støedem $v$.
 111 \figure{body.eps}{Body na kru¾nici.}{3in}
 112 \:Poèet vrcholù a hran je lineární.
 113 \:Poèet krajních oblastí je tak velký, jak velký je konvexní obal té zadané mno¾iny.
 114 (Je to dobré vìdìt, ale asi to nebudeme potøebovat.)
 115 \endlist
 116
 117 Pojïme teï vymyslet, jak takový diagram vyrobit. Mohli bychom zkonstruovat v¹echny
 118 dìlící pøímky a poslepovat je, ale vznikl by nám kvadratický algoritmus a to nám
 119 nemù¾e staèit.
 120
 121 Mluvili jsme o zametání roviny, a tak bychom tento trik mohli vyu¾ít právì pøi
 122 øe¹ení na¹eho problému. Ov¹em tentokrát má zametání jeden podstatný háèek. Kdy¾
 123 si vezmeme nìjakou zametací pøímku a pojedeme s ní shora dolù, tak nad ní
 124 máme nìjakou u¾ zkonstruovanou èást diagramu a kdy¾ narazíme na dal¹í bod, tak
 125 se nám mù¾e právì tato èást diagramu pomìrnì slo¾itì zmìnit. Pomù¾eme si malým trikem.
 126 Nebudeme pova¾ovat za hotovou celou oblast nad zametací pøímkou, ale jen takové
 127 body, které mají blí¾e k místùm ($m_i$) ne¾ k zametací pøímce.
 128 Tak dostaneme nìjakou posloupnost (mno¾inu) parabol. V¹echno, co jsme spoèítali
 129 uvnitø této oblasti nám u¾ nikdo nepokazí (ani nevylep¹í), je tam bezpeèno.
 130 Vezmeme si tedy dolní obálku tìchto parabol, budeme jí øíkat {\I pobøe¾í}.
 131 \figure{pobrezi.eps}{Pobøe¾ní linie.}{3in}
 132 Pobøe¾í je tedy nìjaká posloupnost parabolických obloukù s tím, ¾e nejlevìj¹í a
 133 nejpravìj¹í jdou do nekoneèna.
 134
 135 Kdykoliv v prùbìhu zametání narazíme na nìjaký bod, mù¾e nám ovlivnit u¾ jen èást diagramu
 136 pod pobøe¾ím. Dostáváme se tedy k tomu, co se dìje, kdy¾ hýbeme zametací pøímkou.
 137 Pakli¾e nenará¾íme na ¾ádné body, tak se v podstatì nedìje nic zajímavého.
 138 Zajímavá situace nastává a¾ tehdy, narazíme-li na dal¹í bod. V~tom okam¾iku vzniká
 139 nová parabola. V tuto chvíli je znaènì degenerovaná. Je to toti¾ zatím jen
 140 polopøímka kolmá na zametací pøímku. S dal¹ím pohybem se zaène parabola rozevírat.
 141 V¹imnìme si, ¾e prùnik oné pøímky a pobøe¾í je vlastnì vrchol Voroného diagramu.
 142
 143 Mù¾e nastat je¹tì jeden problém. Nìjaká parabola se mù¾e natolik rozevøít, ¾e pohltí
 144 jiné a ty zmizí z pobøe¾ní linie. V takovém pøípadì se nám ale netriviálnì zmìní
 145 vzhled pobøe¾í, a proto se této situaci budeme muset více vìnovat.
 146
 147 Shrneme-li na¹e úvahy, mohou se dít celkem tøi vìci. Jedna z nich je posun pøímky.
 148 To se vlastnì dìje poøád. Pobøe¾í se témìø nemìní a prùseèíky parabol nám kreslí
 149 hrany. To mù¾eme poèítat najednou. Navíc nejen ¾e bychom mohli s pøímkou skoèit
 150 o nìjaké epsilon, ale my dokonce mù¾eme skoèit o poøádný kus a prostì pouze dopoèítat,
 151 jak se pobøe¾í zmìnilo a co se vykreslilo. Dùle¾itým místùm, kde se budeme zastavovat,
 152 budeme øíkat {\I události}.
 153
 154 Místní událost
 155
 156 Pokud narazíme na bod, musíme najít místo, kde pobøe¾í rozetnou
 157 a kam vklínit dal¹í výbì¾ek (parabolu). Takovéto události budeme øíkat místní událost.
 158 Pokud se pohybujeme v obecné poloze, nestane se nám, ¾e bychom narazili na prùseèík.
 159 \figure{mistni.eps}{Místní událost - èervená kolmice je novì vznikající parabola,
 160 pøi postupu zametací pøímky dále se bude rozevírat a vytvoøí dal¹í parabolu.}{3in}
 161
 162 Kru¾nicová událost
 163
 164 Poslední situace, která mù¾e nastat, je, ¾e se nìjaká parabola schová za jiné.
 165 Kouknìme se na první obrázek ní¾e, fialový bod le¾í na v¹ech tøech parabolách.
 166 Speciálnì tedy ta tøi ohniska parabol jsou vzdálena stejnì a le¾í na kru¾nici.
 167 Stane se nám to pravì tehdy, kdy¾ se nám zametací pøímka dotkne kru¾nice zespodu.
 168 Tato kru¾nice je urèena právì tìmito tøemi ohnisky. Vzniklé události budeme øíkat kru¾nicová.
 169 Z obrázku by tedy mìlo být patrné (alespoò èásteènì), ¾e kru¾nicové události
 170 jsou urèeny trojicemi sousedních obloukù v pobøe¾í.
 171 Pojïme si to ukázat lépe na následujících dvou obrázcích. První pøedstavuje
 172 situaci pøed kru¾nicovou událostí a druhý právì kru¾nicovou událost.
 173 \figure{kruznicova.eps}{Pøed kru¾nicovou událostí.}{3in}
 174 \figure{kruznicovakonec.eps}{Kru¾nicová událost.}{3in}
 175
 176
 177 \s{Datové struktury}
 178
 179 Budeme potøebovat haldu událostí (místních i kru¾nicových dohromady), ta nám
 180 zabere $\O(\log n)$ pamìti.
 181
 182 Dále bude zapotøebí udr¾ovat si pobøe¾ní linii, nebo-li posloupnost míst
 183 v~ohniscích parabolických obloukù. Zde je potøeba si definovat operace
 184 {\I Insert,Delete} a {\I FindX.} Navíc budeme potøebovat vyhledávací strom nad
 185 prùseèíky s implicitní reprezentací. Zdá se, ¾e je toho hodnì, ale v¹echno to
 186 zvládneme s pamìtí $\O(\log n).$
 187
 188 Poslední datovou strukturou bude samotný diagram, reprezentovaný grafem se
 189 souøadnicemi a vazbami hran na prùseèík.
 190
 191
 192 \s{Fortunùv~algoritmus}
 193 \algo
 194 \:Pøipravíme si haldu $H$ a vlo¾íme do ní v¹echny místní události.
 195 \:Pøipravíme pobøe¾ní linii $P \leftarrow 0$.
 196 \:Dokud existuje $h \leftarrow DeleteMin(H)$:
 197 \::Je-li na øadì místní událost:
 198 \:::Najdeme prùseèík s $P(FindX(P))$.
 199 \:::Vlo¾íme do $P$ novou parabolu.
 200 \:::Poznamenáme do $D$ vznik hran.
 201 \:::Pøepoèítáme kru¾nicové události.
 202 \::Je-li na øadì kru¾nicová událost:
 203 \:::Sma¾eme oblouk z $P$.
 204 \:::Poznamenáme vznik a zánik do $D$.
 205 \:::Pøepoèítáme kru¾nicové události.
 206 \endalgo
 207
 208
 209 \s{Slo¾itost:}
 210 Poèet místních událostí je roven $n$ a poèet kru¾nicových událostí není vìt¹í ne¾
 211  $n$, proto¾e kru¾nicové události odpovídají vrcholùm, a proto tìch, kterých se
 212  doopravdy provedou je pouze $\O(n)$, neboli velikost $P$ není vìt¹í
 213 ne¾ $2n$ a tedy je v¾dy lineární. Zároveò velikost $H$ není vìt¹í ne¾ $2n$,
 214 proto¾e aèkoliv~poèet místních událostí je $n$, tak v~$H$ je záznam pro ka¾dou
 215 trojici sousedních a tedy v~$H$ je maximálnì $2n$ událostí najednou. Zbývá nám tedy zjistit
 216 velikost diagramu $D$, ale ten se urèitì vejde do $\O(n)$ pamìti.
 217
 218 Pokud tedy shrneme v¹echny na¹e odhady, pak èasová slo¾itost algoritmu je
 219 $\O(n \log n)$ a prostorová $\O(n)$.
 220
 221
 222 \bye
 223
 224
 225 -------------------
 226
 227 1) Pøipravíme si haldu $H$ a vlo¾íme do ní v¹echny místní události.
 228 2) pøipravíme pobøe¾ní linii P <- 0                               } O(n*log n)
 229 3) pøipraváme reprezentaci diagramu D                            /
 230 4) dokud existuje h <- DeleteMin(H)
 231 5)    je-li na øadì místní událost:                         ----
 232         a) najdeme prùseèík s P(FindX(P))   \
 233         b) vlo¾íme do P novou parabolu       \
 234         c) poznamenáme do D vznik hran        } O(log n)
 235         d) pøepoèítáme kru¾nicové události   /                   } <= 2n
 236 6)    je-li na øadì kru¾nicová událost:
 237         a) sma¾eme oblouk z P              \
 238         b) poznamenáme vznik a zánik do D   } O(log n)
 239         c) pøepoèítáme kru¾nicové události /                ----
 240
 241
 242
 243
 244 \bye