9-apx/9-apx.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2 \prednaska{9}{Co si poèít s tì¾kým problémem}{}
   3
   4 V~pøedchozí kapitole jsme zjistili, ¾e mnohé problémy, které v~¾ivotì
   5 potkáme, jsou \NP-úplné, tak¾e není pravdìpodobné, ¾e bychom pro nì
   6 umìli nalézt polynomiální algoritmus. Ale co naplat, èasto je potøebujeme
   7 vyøe¹it. Na¹tìstí situace není zase tak beznadìjná. Nabízejí se tyto
   8 mo¾nosti, co si poèít:
   9
  10 \algo
  11 \:{\I Spokojit se s~málem.} Nejsou vstupy, pro které problém potøebujeme
  12   øe¹it, dostateènì malé, abychom si mohli dovolit pou¾ít algoritmus
  13   s~exponenciální slo¾itostí? Zvlá¹» kdy¾ takový algoritmus vylep¹íme
  14   proøezáváním neperspektivních vìtví výpoètu a tøeba ho i paralelizujeme.
  15 \:{\I Vyøe¹it speciální pøípad.} Nemají na¹e vstupy nìjaký speciální
  16   tvar, kterého bychom mohli vyu¾ít? Grafové problémy jsou èasto v~\P{}
  17   tøeba pro stromy nebo i obecnìji pro bipartitní grafy. U~èíselných
  18   problémù zase nìkdy pomù¾e, jsou-li èísla na vstupu dostateènì malá.
  19 \:{\I Øe¹ení aproximovat.} Pokud chceme nalézt nejlep¹í objekt s~danou
  20   vlastností (tøeba nejvìt¹í nezávislou mno¾inu), nestaèil by nám o~nìco
  21   hor¹í? Èasto existuje polynomiální algoritmus, který nalezne nejhùøe
  22   $c$-krát hor¹í øe¹ení ne¾ je optimum pro nìjakou konstantu~$c$.
  23 \:{\I Pou¾ít heuristiku.} Neumíme-li nic lep¹ího, mù¾eme sáhnout po~nìkteré
  24   z~mnoha heuristických technik, které sice nic nezaruèují, ale obvykle
  25   nìjaké uspokojivé øe¹ení najdou. Hodit se mohou tøeba genetické algoritmy.
  26 \:{\I Kombinace pøístupù.} Èasto lze vý¹e zmínìné pøístupy kombinovat:
  27   napøíklad mù¾eme pou¾ít aproximaèní algoritmus a poté jeho výsledek
  28   je¹tì heuristicky vylep¹ovat. Tak získáme øe¹ení, které zaruèenì není
  29   moc daleko od optima, a~pokud budeme mít ¹tìstí, bude k~nìmu velmi blízko.
  30 \endalgo
  31
  32 \>Nyní si nìkteré z~tìchto technik pøedvedeme na konkrétních pøíkladech.
  33
  34 \h{Nejvìt¹í nezávislá mno¾ina ve stromu}
  35
  36 Uká¾eme, ¾e hledání nejvìt¹í nezávislé mno¾iny je pro stromy velmi snadné.
  37
  38 \s{Lemma:} Buï~$T$ zakoøenìný strom a $\ell$ jeho libovolný list. Pak alespoò jedna
  39 z~nejvìt¹ích nezávislých mno¾in obsahuje~$\ell$.
  40
  41 \proof
  42 Mìjme nejvìt¹í nezávislou mno¾inu~$M$, která list~$\ell$ neobsahuje. Podívejme
  43 se na otce~$p$ listu~$\ell$ (kdyby neexistoval, je celý strom jednovrcholový
  44 a tvrzení triviální). Le¾í~$p$ v~$M$? Pokud ne, mohli bychom do~$M$ pøidat
  45 list~$\ell$ a dostali bychom vìt¹í nezávislou mno¾inu. V~opaèném pøípadì z~$M$
  46 odebereme otce~$p$ a nahradíme ho listem~$\ell$, èím¾ dostaneme stejnì velkou
  47 nezávislou mno¾inu obsahující~$\ell$.
  48 \qed
  49
  50 Algoritmus bude pøímoèaøe pou¾ívat toto lemma. Dostane na vstupu strom,
  51 ten zakoøení a zvolí libovolný list. Tento list umístí do nezávislé mno¾iny
  52 a jeho otce odebere, proto¾e se nemù¾e v~nezávislé mno¾inì vyskytovat.
  53 Toto bude opakovat, dokud nìjaké vrcholy zbývají. (Graf se v~prùbìhu mù¾e
  54 rozpadnout na více komponent, ale to nevadí.)
  55
  56 Tento algoritmus jistì pracuje v~polynomiálním èase. ©ikovnou implementací
  57 mù¾eme slo¾itost sní¾it a¾ na lineární. Napøíklad tak, ¾e budeme udr¾ovat seznam
  58 listù. My si uká¾eme jinou lineární implementaci zalo¾enou na prohledávání do hloubky.
  59 Bude pracovat s~polem znaèek~$M$, v~nìm¾ na poèátku bude v¹ude \<false> a postupnì
  60 obdr¾í \<true> v¹echny prvky hledané nezávislé mno¾iny.
  61
  62 \algo
  63 \algin Strom~$T$ s~koøenem~$v$, pole znaèek~$M$.
  64 \:$M[v] \= \<true>$.
  65 \:Pokud je~$v$ list, skonèíme.
  66 \:Pro v¹echny syny~$w$ vrcholu~$v$:
  67 \::Zavoláme se rekurzivnì na podstrom s~koøenem~$w$.
  68 \::Pokud $M[w]=\<true>$, polo¾íme $M[v] \= \<false>$.
  69 \endalgo
  70
  71 \h{Barvení intervalového grafu}
  72
  73 FIXME
  74
  75 \h{Problém batohu s~malými èísly}
  76
  77 \>Je daná mno¾ina $n$~pøedmìtù s~hmotnostmi $h_1,\ldots,h_n$
  78 a cenami $c_1,\ldots,c_n$ a~batoh, který unese hmostnost~$H$. Najdìte takovou
  79 podmno¾inu pøedmìtù, jejich¾ celková hmotnost je maximálnì $H$ a celková cena
  80 je maximální mo¾ná.
  81
  82 \>Tento problém je zobecnìním problému batohu z~minulé pøedná¹ky dvìma smìry:
  83 Jednak místo rozhodovacího problému øe¹íme optimalizaèní, jednak pøedmìty
  84 mají ceny (pøedchozí verze odpovídala tomu, ¾e ceny jsou rovny hmotnostem).
  85 Uká¾eme si algoritmus pro øe¹ení tohoto obecného problému, jeho¾ èasová
  86 slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i
  87 c_i$.
  88
  89 \>Pou¾ijeme dynamické programování. Pøedstavme si problém omezený na~prvních~$k$
  90 pøedmìtù. Oznaème si $A_k(c)$ (kde $0\le c\le C$) minimální hmotnost
  91 podmno¾iny, její¾ cena je právì~$c$. Tato $A_k$ spoèteme indukcí podle~$k$:
  92 Pro $k=0$ je urèitì $A_0(0)=0$, $A_0(c)=infty$ pro $c>0$. Pokud ji¾ známe
  93 $A_{k-1}$, spoèítáme $A_k$ následovnì: $A_k(c)$ odpovídá nìjaké podmno¾inì
  94 pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto $k$-tý pøedmìt nepou¾ili
  95 (a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) =
  96 A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou
  97 mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy:
  98 $$
  99 A_k(c) = \min (A_{k-1}(c), A_{k-1}(c-c_k) + h_k).
 100 $$
 101 Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme $A_k(c)$ pro fixní $k$ a v¹echna $c$,
 102 v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny $A_k(c)$.
 103
 104 \>Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do~batohu.
 105 To bude nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) \le H$. Jeho nalezení nás stojí
 106 èas $\O(C)$.
 107
 108 \>A~jak zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí? Upravíme algoritmus,
 109 aby si pro ka¾dé $A_k(c)$ pamatoval $B_k(c)$, co¾ bude index posledního pøedmìtu,
 110 který jsme do~pøíslu¹né mno¾iny pøidali. Pro nalezené $c^*$ tedy bude $i=B_n(c^*)$
 111 poslední pøedmìt v~nalezené mno¾inì, $i'=B_{i-1}(c^*-c_i)$ ten pøedposlední
 112 a tak dále. Takto v~èase $\O(n)$ rekonstruujeme celou mno¾inu od~posledního
 113 prvku k~prvnímu.
 114
 115 \>Ukázali jsme tedy algoritmus s~èasovou slo¾itostí $\O(nC)$, který vyøe¹í
 116 problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mù¾e
 117 být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti
 118 èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} Ani takové
 119 algoritmy ale nejsou k dispozici pro v¹echny problémy (napø. u problému obchodního
 120 cestujícího nám vùbec nepomù¾e, ¾e váhy hran budou malá èísla).
 121
 122 \s{Verze bez cen:} Na verzi s~cenami rovnými hmotnostem se dá pou¾ít
 123 i jiný algoritmus zalo¾ený na~dynamickém programování: poèítáme mno¾iny
 124 $Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá
 125 nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$
 126 spoèteme ze~$Z_{k-1}$ --- udr¾ujme si $Z_{k-1}$ jako setøídìný spojový seznam,
 127 výpoèet dal¹ího seznamu udìláme slitím dvou seznamù $Z_{k-1}$ a $Z_{k-1}$ se
 128 v¹emi prvky zvý¹enými o hmotnost $k$ zahazujíce duplicitní a pøíli¹ velké hodnoty ---
 129 a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny
 130 mají nejvý¹e $H$ prvkù, tak¾e celková èasová slo¾itost algoritmu je~$\O(nH)$.
 131
 132 \h{Aproximace problému obchodního cestujícího}
 133
 134 \s{Problém: Obchodní cestující}
 135
 136 \>{\I Vstup:} Neorientovaný graf~$G$, ka¾dá hrana
 137 je ohodnocená funkcí $w: E(G)\rightarrow {\bb R }^+_0$.
 138
 139 \>{\I Výstup:} Hamiltonovská kru¾nice (obsahující v¹echny vrcholy grafu), a~to ta nejkrat¹í
 140 (podle ohodnocení).
 141
 142 \>Tento problém je hned na~první pohled nároèný -- u¾ sama existence
 143 hamiltonovské kru¾nice je NP-úplná. Najdeme aproximaèní algoritmus nejprve za pøedpokladu,
 144 ¾e vrcholy splòují trojúhelníkovou nerovnost (tj. $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le
 145 w(xy)+w(yz)$), potom uká¾eme, ¾e v úplnì obecném pøípadé by samotná existence
 146 aproximaèního algoritmu implikovala ${\rm P=NP }$.
 147
 148 \>{\I a) trojúhelníková nerovnost:}
 149
 150 Existuje pìkný algoritmus, který najde hamiltonovskou kru¾nici o délce $\leq
 151 2\cdot opt$, kde $opt$ je délka nejkrat¹í hamiltonovské kru¾nice.
 152 Vedle pøedpokladu trojúhelníkové
 153 nerovnosti budeme potøebovat, aby ná¹ graf byl úplný. Souhrnnì mù¾eme
 154 pøedpokládat, ¾e úlohu øe¹íme v nìjakém metrickém protoru, ve kterém jsou obì
 155 podmínky podle definice splnìny.
 156
 157 Najdeme nejmen¹í kostru grafu a obchodnímu cestujícímu poradíme, a» jde po~ní -- kostru
 158 zakoøeníme a projdeme jako strom do hloubky, pøièem¾ se zastavíme a¾ v koøeni po projití
 159 v¹ech vrcholù. Problém v¹ak je, ¾e prùchod po kostøe obsahuje
 160 nìkteré vrcholy i hrany vícekrát, a proto musíme nahradit nepovolené vracení se.
 161 Máme-li na nìjaký vrchol vstoupit podruhé, prostì ho ignorujeme a pøesuneme se
 162 rovnou na dal¹í nenav¹tívený -- dovolit si to mù¾eme, graf je úplný a obsahuje
 163 hrany mezi v¹emi dvojicemi vrcholù
 164 (jinak øeèeno, poøadí vrcholù kru¾nice bude preorder výpis prùchodem do hloubky).
 165 Pokud platí trojúhelníková nerovnost, tak si tìmito zkratkami neu¹kodíme.
 166 Nech» minimální kostra má váhu~$T$. Pokud bychom pro¹li celou kostru, bude mít
 167 sled váhu~$2T$ (ka¾dou hranou kostry jsme ¹li tam a zpátky), a pøeskakování
 168 vrcholù celkovou váhu nezvìt¹uje (pøi pøeskoku
 169 nahradíme cestu $xyz$ jedinou hranou $xz$, pøièem¾ z trojúhelníkové nerovnosti
 170 máme $xz \leq xy + xz$), tak¾e váha nalezené
 171 hamiltonovské kru¾nice bude také nanejvý¹ $2T$.
 172
 173 Kdy¾ máme hamiltonovskou kru¾nici $C$ a z~ní vy¹krtneme hranu, dostaneme kostru
 174 grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
 175 jako minimální kostra $T$. Tedy optimální hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
 176 ne¾ minimální kostra $T$. Kdy¾ tyto dvì nerovnosti slo¾íme
 177 dohromady, algoritmus nám vrátí hamiltonovskou kru¾nici $T'$ s~váhou nanejvý¹
 178 dvojnásobnou vzhledem k optimální hamiltonovské kru¾nici ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
 179 algoritmy se nazývají {\I 2-aproximaèní}, kdy¾ øe¹ení je maximálnì dvojnásobné
 180 od~optimálního.\foot{Hezkým trikem se v obecných metrických prostorech umí
 181 $1{,}5$-aproximace. Ve~nìkterých metrických prostorech (tøeba v euklidovské
 182 rovinì) se aproximaèní pomìr dá dokonce srazit na
 183 libovolnì blízko k 1. Zaplatíme ale na èase -- èím pøesnìj¹í výsledek
 184 po algoritmu chceme, tím déle to bude trvat.}
 185
 186 \>{\I b) bez~trojúhelníkové nerovnosti:}
 187
 188 Zde se budeme naopak sna¾it ukázat, ¾e ¾ádný polynomiální aproximaèní
 189 algoritmus neexistuje.
 190
 191 \s{Vìta:} Pokud pro~libovolné~$\varepsilon>0$ existuje polynomiální
 192 $(1+\varepsilon)$-aproximaèní algoritmus pro~problém obchodního cestujícího bez~trojúhelníkové nerovnosti, tak ${\rm P = NP }$.
 193
 194 \proof Uká¾eme, ¾e v~takovém pøípadì doká¾eme v~polynomiálním èase zjistit,
 195 zda v grafu existuje hamiltonovská kru¾nice.
 196
 197 \>Dostali jsme graf~$G$, ve~kterém hledáme hamiltonovskou kru¾nici. Doplníme
 198 $G$ na~úplný graf~$G'$ a~váhy hran~$G'$ nastavíme takto:
 199 \itemize\ibull
 200 \: $w(e) = 1$, kdy¾ $e \in E(G)$
 201 \: $w(e) = c \gg 1$, kdy¾ $e \not\in E(G)$
 202 \endlist
 203 \>Konstantu $c$ potøebujeme zvolit tak velkou, abychom jasnì poznali, jestli
 204 je ka¾dá hrana z nalezené hamiltonovské kru¾nice hranou grafu $G$ (pokud by
 205 nebyla, bude kru¾nice obsahovat aspoò jednu hranu s váhou $c$, která vy¾ene
 206 souèet poznatelnì vysoko). Pokud existuje hamiltonovská kru¾nice v~$G'$ slo¾ená jen
 207 z~hran, které byly
 208 pùvodnì v~$G$, pak optimální øe¹ení bude mít váhu~$n$, jinak bude urèitì
 209 minimálnì $n-1+c$. Kdy¾ máme aproximaèní algoritmus s~pomìrem~$1+\varepsilon$,
 210 musí tedy být
 211 $$
 212 \eqalign{
 213 (1+\varepsilon)\cdot n &< n-1+c \cr
 214 \varepsilon n+1 &< c
 215 }
 216 $$
 217 \>Kdyby takový algoritmus existoval, máme polynomiální algoritmus
 218 na~hamiltonovskou kru¾nici.
 219 \qed
 220
 221 \s{Poznámka:} O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
 222 platí analogická vìta, a doká¾e se analogicky -- existující hrany budou
 223 mít váhu 1, neexistující váhu 2.
 224
 225 \h{Aproximaèní schéma pro problém batohu}
 226
 227 Ji¾ víme, jak optimalizaèní verzi problému batohu vyøe¹it v~èase $\O(nC)$,
 228 pokud jsou hmotnosti i ceny na~vstupu pøirozená èísla a $C$ je souèet v¹ech cen.
 229 Jak si poradit, pokud je~$C$ obrovské? Kdybychom mìli ¹tìstí a v¹echny
 230 ceny byly dìlitelné nìjakým èíslem~$p$, mohli bychom je tímto èíslem
 231 vydìlit. Tím bychom dostali zadání s~men¹ími èísly, jeho¾ øe¹ením by byla
 232 stejná mno¾ina pøedmìtù jako u~zadání pùvodního.
 233
 234 Kdy¾ nám ¹tìstí pøát nebude, mù¾eme pøesto zkusit ceny vydìlit a výsledky
 235 nìjak zaokrouhlit. Øe¹ení nové úlohy pak sice nebude pøesnì odpovídat optimálnímu
 236 øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací.
 237
 238 \s{Základní my¹lenka:}
 239
 240 \def\cmax{c_{\rm max}}
 241
 242 Oznaèíme si $\cmax$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M < \cmax$
 243 a zobrazíme interval cen $[0, \cmax]$ na $[0,M]$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme
 244 $M/\cmax$).
 245 Jak jsme tím zkreslili výsledek? V¹imnìme si, ¾e efekt je stejný, jako kdybychom jednotlivé
 246 ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $\cmax/M$ (prvky z intervalu
 247 $[i\cdot \cmax/M,(i+1)\cdot \cmax/M)$ se zobrazí na stejný prvek). Ka¾dé $c_i$ jsme tím
 248 tedy zmìnili o~nejvý¹e $\cmax/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù pak
 249 nejvý¹e o~$n\cdot \cmax/M$. Teï si je¹tì v¹imnìme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme
 250 pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy cenu $\<OPT>\ge \cmax$,
 251 tak¾e chyba v~souètu je nejvý¹e $n\cdot \<OPT>/M$. Má-li tato chyba být shora omezena
 252 $\varepsilon\cdot \<OPT>$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$.\foot{Pøipomìòme, ¾e toto je¹tì není dùkaz, nebo» velkoryse pøehlí¾íme chyby dané zaokrouhlováním. Dùkaz provedeme ní¾e.}
 253
 254 \s{Algoritmus:}
 255 \algo
 256 \:Odstraníme ze~vstupu v¹echny pøedmìty tì¾¹í ne¾~$H$.
 257 \:Spoèítáme $\cmax=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lceil n/\varepsilon\rceil$.
 258 \:Kvantujeme ceny: $\forall i: \hat{c}_i \leftarrow \lfloor c_i \cdot M/\cmax \rfloor$.
 259 \:Vyøe¹íme dynamickým programováním problém batohu pro upravené ceny $\hat{c}_1, \ldots, \hat{c}_n$
 260 a pùvodní hmotnosti i kapacitu batohu.
 261 \:Vybereme stejné pøedmìty, jaké pou¾ilo optimální øe¹ení kvantovaného zadání.
 262 \endalgo
 263
 264 \s{Analýza:}
 265 Kroky 1--3 a 5 jistì zvládneme v~èase $\O(n)$. Krok~4 øe¹í problém batohu
 266 se souètem cen $\hat{C}\le nM = \O(n^2/\varepsilon)$, co¾ stihne v~èase $\O(n\hat{C})=\O(n^3/\varepsilon)$.
 267 Zbývá dokázat, ¾e výsledek na¹eho algoritmu má opravdu relativní chybu nejvý¹e~$\varepsilon$.
 268
 269 Nech» pùvodní úloha má nìjaké optimální øe¹ení~$P$ s~cenou $c(P)$. Rozmysleme
 270 si, jakou cenu $\hat{c}(P)$ bude tato mno¾ina pøedmìtù mít v~nakvantovaném zadání:
 271 $$
 272 \eqalign{
 273 \hat{c}(P) &= \sum_{i\in P} \hat{c}_i =
 274 \sum_i \left\lfloor c_i\cdot {M\over \cmax} \right\rfloor \ge
 275 \sum_i \left( c_i\cdot {M\over \cmax} - 1 \right) \ge \cr
 276 &\ge
 277 \biggl(\sum_i c_i \cdot {M\over \cmax}\biggr) - n =
 278 c(P) \cdot {M\over \cmax} - n.
 279 }
 280 $$
 281 Nyní naopak spoèítejme, jak dopadne optimální øe¹ení~$Q$ nakvantovaného problému pøi pøepoètu
 282 na~pùvodní ceny (to je výsledek na¹eho algoritmu):
 283 $$
 284 \eqalign{
 285 c(Q) &= \sum_{i\in Q} c_i \ge
 286 \sum_i \hat{c}_i \cdot {\cmax\over M} =
 287 \biggl(\sum_i \hat{c}_i\biggr) \cdot {\cmax\over M} \ge
 288 \hat{c}(P) \cdot {\cmax\over M}.
 289 }
 290 $$
 291 Poslední nerovnost platí proto, ¾e $\sum_{i\in Q} \hat{c}_i$ je optimální øe¹ení
 292 kvantované úlohy, zatímco $\sum_{i\in P} \hat{c}_i$ je nìjaké dal¹í øe¹ení té¾e úlohy,
 293 které nemù¾e být lep¹í.%
 294 \foot{Zde nás zachraòuje, ¾e aèkoliv u~obou úloh le¾í optimum obecnì jinde, obì mají
 295 stejnou mno¾inu {\I pøípustných øe¹ení,} tedy tìch, která se vejdou do batohu. Kdybychom
 296 místo cen kvantovali hmotnosti, nebyla by to pravda a algoritmus by nefungoval.}
 297 Teï u¾ staèí slo¾it obì nerovnosti a dosadit za~$M$:
 298 $$
 299 \eqalign{
 300 c(Q) &\ge \biggl( { c(P) \cdot M\over \cmax} - n\biggr) \cdot {\cmax\over M} \ge
 301 c(P) - {n\cdot \cmax\over n / \varepsilon} \ge c(P) - \varepsilon \cmax \ge \cr
 302 &\ge c(P) - \varepsilon c(P) = (1-\varepsilon)\cdot c(P).
 303 }
 304 $$
 305 Algoritmus tedy v¾dy vydá øe¹ení, které je nejvý¹e $(1-\varepsilon)$-krát hor¹í ne¾ optimum,
 306 a~doká¾e to pro libovolné~$\varepsilon$ v~èase polynomiálním v~$n$. Takovému algoritmu øíkáme
 307 {\I polynomiální aproximaèní schéma} (jinak té¾ PTAS\foot{Polynomial-Time Approximation Scheme}).
 308 V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
 309 schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation
 310 Scheme}). U nìkterých problémù se stává, ¾e aproximaèní schéma závisí na
 311 $1/\varepsilon$ exponenciálnì, co¾ tak pøíjemné není. Shròme, co jsme zjistili, do následující vìty:
 312
 313 \s{Vìta:}
 314 Existuje algoritmus, který pro ka¾dé $\varepsilon > 0$ nalezne
 315 {\I $(1 - \varepsilon)$-aproximaci} problému batohu s $n$ pøedmìty v èase
 316 $\O(n^3/\varepsilon)$.
 317
 318 \bye