8-qheap/8-qheap.tex

   1 \def\msb{{\rm MSB}}
   2 \def\rank{{\rm Rank}}
   3
   4 \def\pnromanp{(\nroman)}
   5 \def\pnromanap{(\nroman ')}
   6
   7 % Vlozeni obrazku {obrazek}{popisek}
   8 \def\nosizefigure#1#2{\bigskip\vbox{\centerline{\epsfbox{#1}}\smallskip\centerline{#2}}\bigskip}
   9
  10 \input ../sgr.tex
  11
  12 \prednaska{8}{Q-Heaps}{}
  13
  14 V~minulé kapitole jsme zavedli výpoèetní model RAM a nahlédli jsme,
  15 ¾e na~nìm mù¾eme snadno simulovat vektorový poèítaè s~vektorovými operacemi pracujícími v~konstantním èase.
  16 Kdy¾ u¾ máme takový poèítaè, pojïme si ukázat, jaké datové struktury na~nìm mù¾eme
  17 vytváøet.
  18
  19 Bez újmy na~obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e hodnoty, které do~struktur ukládáme,
  20 jsou navzájem rùzné.
  21
  22 Svým sna¾ením budeme smìøovat ke~strukturám, které zvládnou operace \<Insert> a \<Delete>
  23 v~konstantním èase, pøièem¾ bude omezena buïto velikost èísel nebo maximální velikost
  24 struktury nebo obojí.
  25
  26 \s{Znaèení:} $w$~bude v¾dy znaèit ¹íøku slova RAMu a $n$~velikost vstupu algoritmu,
  27 v~nìm¾ datovou strukturu vyu¾íváme (tedy speciálnì víme, ¾e $w\ge\log n$).
  28
  29 \h{Word-Encoded B-Tree}
  30
  31 Pùjde o~obyèejný B-strom s daty v~listech, ov¹em kódovaný vektorovì. Do~listù
  32 stromu budeme ukládat $k$-bitové hodnoty, vnitøní vrcholy budou obsahovat pouze
  33 pomocné klíèe a budou mít nejvý¹e $B$ synù. Strom bude mít hloubku~$h$. Hodnoty
  34 v¹ech klíèù ve~vrcholu si budeme ukládat jako vektor, ukazatele na~jednotlivé
  35 syny jakbysmet.
  36
  37 Se~stromem zacházíme jako s~klasickým B-stromem, pøitom operace s~vrcholy
  38 provádíme vektorovì: vyhledání pozice prvku ve~vektoru pomocí operace \<Rank>,
  39 rozdìlení a sluèování vrcholù pomocí bitových posuvù a maskování, to v¹e
  40 v~èase $\O(1)$. Stromové operace (\<Find>, \<FindNext>, \<Insert>, \<Delete>, \dots)
  41 tedy stihneme v~èase $\O(h)$.
  42
  43 Zbývá si rozmyslet, co~musí splòovat parametry struktury, aby se v¹echny
  44 vektory ve¹ly do~konstantního poètu slov. Kvùli vektorùm klíèù musí platit
  45 $Bk=\O(w)$. Jeliko¾ strom má a¾~$B^h$ listù a nejvý¹e tolik vnitøních vrcholù,
  46 ukazatele zabírají $\O(h\log B)$ bitù, tak¾e pro vektory ukazatelù potøebujeme,
  47 aby bylo $Bh\log B=\O(w)$. Dobrá volba je napøíklad $B=k=\sqrt w$, $h=\O(1)$, èím¾
  48 získáme strukturu obsahující $w^{\O(1)}$ prvkù o~$\sqrt w$ bitech pracující
  49 v~konstantním èase.
  50
  51 \h{Q-Heap}
  52
  53 Pøedchozí struktura má zajímavé vlastnosti, ale èasto je její pou¾ití
  54 znemo¾nìno omezením na~velikost èísel. Popí¹eme tedy o~nìco slo¾itìj¹í
  55 konstrukci \cite{fw90trans}, která doká¾e toté¾, ale s~a¾ $w$-bitovými èísly.
  56 Tato struktura má spí¹e teoretický význam (konstrukce je znaènì komplikovaná
  57 a skryté konstanty nemalé), ale pøekvapivì mnoho my¹lenek je pou¾itelných
  58 i v~praxi.
  59
  60 \s{Znaèení:}
  61 \itemize\ibull
  62 \: $k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy,
  63 \: $r\le k$ -- aktuální poèet prvkù v~haldì,
  64 \: $X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- ulo¾ené $w$-bitové prvky, oèíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$,
  65 \: $c_i = \msb(x_i \oplus x_{i+1})$ -- nejvy¹¹í bit, na kterém se li¹í $x_i$ a
  66 $x_{i+1}$,
  67 \: $\rank_X(x)$ -- poèet prvkù mno¾iny~$X$, které jsou men¹í ne¾ $x$
  68 (definujeme i~pro $x\not\in X$).
  69 \endlist
  70
  71 \s{Pøedvýpoèet:} Budeme ochotni obìtovat èas $\O(2^{k^4})$ na~pøedvýpoèet.
  72 To mù¾e znít hrozivì, ale ve~vìt¹inì aplikací bude $k=\log^{1/4} n$, tak¾e
  73 pøedvýpoèet stihneme v~èase $\O(n)$. V~tomto èase mimo jiné stihneme
  74 pøedpoèítat tabulku pro libovolnou funkci, která má vstup dlouhý $\O(k^3)$
  75 bitù a kterou pro ka¾dý vstup dovedeme vyhodnotit v~polynomiálním èase.
  76 Nadále tedy mù¾eme bezpeènì pøedpokládat, ¾e v¹echny takové funkce
  77 umíme spoèítat v~konstantním èase.
  78
  79 \s{Iterování:} V¹imnìte si, ¾e jakmile doká¾eme sestrojit haldu s~$k$ prvky
  80 pracující v~konstantním èase, mù¾eme s~konstantním zpomalením sestrojit
  81 i haldu s~$k^{\O(1)}$ prvky. Staèí si hodnoty ulo¾it do~listù stromu
  82 s~vìtvením $k$ a konstantním poètem hladin a v~ka¾dém vnitøním vrcholu
  83 si pamatovat minimum podstromu a Q-Heap s~hodnotami jeho synù. Tak doká¾eme
  84 ka¾dé vlo¾ení i odebrání prvku pøevést na~konstantnì mnoho operací s~Q-Heapy.
  85
  86 \s{Náèrt} fungování Q-Heapu:
  87 Nad~prvky $x_1,\ldots,x_r$ sestrojíme trii~$T$ a nevìtvící se cesty zkomprimujeme
  88 (nahradíme hranami). Listy trie budou jednotlivá $x_i$, vnitøní vrchol,
  89 který le¾í mezi $x_i$ a $x_{i+1}$, bude testovat $c_i$-tý bit èísla.
  90 Pokud budeme hledat nìkteré z~$x_i$, tyto vnitøní vrcholy (budeme jim
  91 øíkat {\I znaèky}) nás správnì dovedou do~pøíslu¹ného listu. Pokud ale
  92 budeme hledat nìjaké jiné~$x$, zavedou nás do~nìjakého na~první pohled
  93 nesouvisejícího listu a teprve tam zjistíme, ¾e jsme zabloudili. K~na¹emu
  94 pøekvapení v¹ak to, kam jsme se dostali, bude staèit ke~spoèítání ranku
  95 prvku a z~rankù u¾ odvodíme i ostatní operace.
  96
  97 \s{Pøíklad:}
  98 \nosizefigure{trie.eps}{Trie. Ohodnocení hran je pouze pro názornost -- není
  99 souèástí trie.}
 100
 101 \s{Lemma 1:} $\rank_X(x)$ je urèen jednoznaènì:
 102 \numlist\pnromanp
 103 \:tvarem stromu $T$,
 104 \:indexem $i$ listu $x_i$, do~kterého nás zavede hledání hodnoty~$x$ ve~stromu,
 105 \:vztahem mezi $x$ a $x_i$ ($x<x_i$, $x>x_i$ nebo $x=x_i$),
 106 \:pozicí $b=\msb(x \oplus x_i)$.
 107 \endlist
 108
 109 \s{Dùkaz:} Pokud $x=x_i$, je zjevnì $\rank_X(x) = i$. Pøedpokládejme tedy $x\ne x_i$.
 110 Hodnoty znaèek klesají ve~smìru od koøene k~listùm a na cestì od koøene k~$x_i$ se
 111 v¹echny bity v $x_i$ na~pozicích urèených znaèkami shodují s bity v $x$, pøièem¾
 112 a¾ do~pozice $b$ se shodují i bity znaèkami netestované. Sledujme tuto cestu
 113 od~koøene a¾ po~$b$: pokud cesta odboèuje doprava, jsou v¹echny hodnoty
 114 v~levém podstromu men¹í ne¾~$x$, a~tedy se do~ranku zapoèítají. Pokud odboèuje
 115 doleva, jsou hodnoty v~pravém podstromu zaruèenì vìt¹í a nezapoèítají se.
 116 Pokud nastala neshoda a $x<x_i$ (tedy $b$-tý bit v~$x$ je nula, zatímco v~$x_i$
 117 je jednièkový), jsou v¹echny hodnoty pod touto hranou vìt¹í; pøi opaèné nerovnosti
 118 jsou men¹í.
 119 \qed
 120
 121 \s{Pøíklad:} Vezmìme mno¾inu $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_6\}$ z pøedchozího pøíkladu
 122 a poèítejme $\rank_X(011001)$. Místo první neshody je oznaèeno puntíkem.
 123 Platí $x>x_i$, tedy celý podstrom je men¹í ne¾ $x$, proèe¾ $\rank_X(011001)=4$.
 124
 125 Rádi bychom pøedchozí lemma vyu¾ili k~sestrojení tabulek, které podle uvedených
 126 hodnot vrátí rank prvku~$x$. K~tomu potøebujeme pøedev¹ím umìt indexovat tvarem
 127 stromu.
 128
 129 \s{Pozorování:} Tvar trie je jednoznaènì urèen hodnotami $c_1,\ldots,c_n$
 130 (je to toti¾ kartézský strom nad tìmito hodnotami -- blí¾e viz kapitola o~dekompozicích
 131 stromù), hodnoty v~listech jsou $x_1,\ldots,x_n$ v~poøadí zleva doprava.
 132
 133 Vektor $(c_1,\ldots,c_n)$ má pouze $k\log w=\O(k^2)$ bitù, tak¾e jím mù¾eme
 134 indexovat. Pro zjednodu¹ení ostatních operací ale zvolíme trochu jinou,
 135 ekvivalentní reprezentaci:
 136
 137 \s{Znaèení:}
 138 \itemize\ibull
 139 \:$B := \{c_1,\ldots,c_r\}$ (mno¾ina v¹ech pozic bitù, které trie testuje, ulo¾ená ve~vektoru setøídìnì)
 140 \:$C: \{1,\ldots,r\} \to B: B[C(i)]=c_i$.
 141 \endlist
 142
 143 \s{Lemma 1':} $\rank_X(x)$ lze spoèítat v~konstantním èase~z:
 144 \numlist\pnromanap
 145 \:funkce $C$,
 146 \:hodnot $x_1,\ldots,x_r$,
 147 \:$x[B]$ -- hodnot bitù na~\uv{zajímavých} pozicích v~èísle~$x$.
 148 \endlist
 149
 150 \s{Dùkaz:} Z~pøedchozího lemmatu:
 151 \numlist\pnromanp
 152 \:Tvar stromu závisí jen na~nerovnostech mezi polohami znaèek,
 153   tak¾e je jednoznaènì urèený funkcí~$C$.
 154 \:Z~tvaru stromu a $x[B]$ jednoznaènì plyne list $x_i$ a tyto vstupy
 155   jsou dostateènì krátké na~to, abychom mohli pøedpoèítat tabulku
 156   pro prùchod stromem.
 157 \:Zjistíme prostým porovnáním.
 158 \:$x_i$ známe a MSB umíme na~RAMu poèítat v~konstantním èase.
 159 \endlist
 160 Pøitom (i)--(iv) jsou opìt dost krátké na~to, abychom jimi mohli
 161 indexovat tabulku.
 162 \qed
 163
 164 \>Poèítání rankù je témìø v¹e, co potøebujeme k~implementaci operací
 165 \<Find>, \<Insert> a \<Delete>. Jedinou dal¹í pøeká¾ku tvoøí zatøiïování
 166 do~seznamu $x_1,\ldots,x_r$, který je moc velký na~to, aby se ve¹el
 167 do~$\O(1)$ slov. Proto si budeme pamatovat zvlá¹» hodnoty v~libovolném
 168 poøadí a zvlá¹» permutaci, která je setøídí -- ta se ji¾ do~vektoru vejde.
 169 Øeknìme tedy poøádnì, co~v¹e si bude struktura pamatovat:
 170
 171 \s{Stav struktury:}
 172 \itemize\ibull
 173 \:$k$, $r$ -- kapacita haldy a aktuální poèet prvkù (èísla),
 174 \:$X=\{x_1,\ldots,x_r\}$ -- hodnoty prvkù v libovolném poøadí (pole èísel),
 175 \:$\varrho$ -- permutace na~$\{1,\ldots,r\}$ taková, ¾e $x_i=X[\varrho(i)]$
 176   a $x_1<x_2<\ldots<x_r$ (vektor o~$r\cdot\log r$ bitech),
 177 \:$B$ -- mno¾ina \uv{zajímavých} bitových pozic (setøídìný vektor o~$r\cdot\log w$ bitech),
 178 \:$C$ -- funkce popisující znaèky: $c_i=B[C(i)]$ (vektor o~$r\cdot\log r$ bitech),
 179 \:pøedpoèítané tabulky pro rùzné funkce.
 180 \endlist
 181
 182 \>Nyní ji¾ uká¾eme, jak provádìt jednotlivé operace:
 183
 184 \>$\<Find>(x):$
 185
 186 \algo
 187 \:$i := \rank_X(x)$.
 188 \:Pokud $x_i=x$, odpovíme {\sc ano,} jinak {\sc ne.}
 189 \endalgo
 190
 191 \>$\<Insert>(x):$
 192
 193 \algo
 194 \:$i := \rank_X(x)$
 195 \:Pokud $x=x_i$, hodnota u¾ je pøítomna.
 196 \:Ulo¾íme $x$ do~$X[\mathop{{+}{+}}r]$ a vlo¾íme $r$ na~$i$-té místo v~permutaci~$\varrho$.
 197 \:Pøepoèítáme $c_{i-1}$ a $c_i$. Pro ka¾dou zmìnu $c_j$:
 198 \::Pokud je¹tì nová hodnota není v~$B$, pøidáme ji tam.
 199 \::Upravíme $C(j)$, aby ukazovalo na~tuto hodnotu.
 200 \::Pokud se na~starou hodnotu neodkazuje ¾ádné jiné $C(\cdot)$, sma¾eme ji z~$B$.
 201 \endalgo
 202
 203 \>$\<Delete>(x):$
 204
 205 \algo
 206 \:$i := \rank_X(x)$ (víme, ¾e $x_i=x$).
 207 \:Sma¾eme $x_i$ z~pole~$X$ (napøíklad prohozením s~posledním prvkem) a pøíslu¹nì upravíme~$\varrho$.
 208 \:Pøepoèítáme $c_{i-1}$ a $c_i$ a upravíme $B$ a $C$ jako pøi Insertu.
 209 \endalgo
 210
 211 \todo{Popsat, jak se poèítá $x[B]$.}
 212
 213 \todo{Na $AC^0$-RAMu staèí $k=\O(w/\log w)$.}
 214
 215 \todo{Aplikace na~kostry.}
 216
 217 \references
 218 \bye