8-qheap/8-qheap.tex

   1 \def\msb{{\rm MSB}}
   2 \def\rank{{\rm Rank}}
   3
   4 \def\pnromanp{(\nroman)}
   5 \def\pnromanap{(\nroman ')}
   6
   7 % Vlozeni obrazku {obrazek}{popisek}
   8 \def\nosizefigure#1#2{\bigskip\vbox{\centerline{\epsfbox{#1}}\smallskip\centerline{#2}}\bigskip}
   9
  10 \input ../sgr.tex
  11
  12 \prednaska{8}{Q-Heaps}{zapsal Cyril Strejc}
  13
  14 V~minulé pøedná¹ce jsme mimo jiné ukázali výpoèetní model RAM a nahlédli jsme,
  15 ¾e pomocí RAMu mù¾eme celkem snadno (v konstantním èase) simulovat vektorový poèítaè.
  16 Kdy¾ u¾ máme vektorový poèítaè, pojïme si ukázat, jaké datové struktury s~ním mù¾eme
  17 vytváøet.
  18
  19 \s{Znaèení:} $w$~bude v¾dy znaèit ¹íøku slova RAMu, $n$~velikost vstupu algoritmu,
  20 v~nìm¾ datovou strukturu vyu¾íváme (tedy speciálnì víme, ¾e $w\ge\log n$).
  21
  22 Bez újmy na~obecnosti budeme pøedpokládat, ¾e hodnoty, které do~struktur ukládáme,
  23 jsou navzájem rùzné.
  24
  25 Svým sna¾ením smìrujeme ke strukturám, které zvládnou operace \<Insert> a \<Delete>
  26 v~konstantním èase, pøièem¾ bude omezena buïto velikost èísel nebo maximální velikost
  27 struktury nebo obojí.
  28
  29 \h{Word-Encoded B-Tree}
  30
  31 Pùjde o~obyèejný B-strom s daty v~listech, ov¹em kódovaný vektorovì. Do~listù
  32 stromu budeme ukládat $k$-bitové hodnoty, vnitøní vrcholy budou obsahovat pouze
  33 pomocné klíèe a budou mít nejvý¹e $B$ synù, strom bude mít hloubku~$h$. Hodnoty
  34 v¹ech klíèù ve~vrcholu si budeme ukládat jako vektor, ukazatele na~jednotlivé
  35 syny jakbysmet.
  36
  37 Se~stromem zacházíme jako s~klasickým B-stromem, ov¹em operace s~vrcholy
  38 provádíme vektorovì: vyhledání pozice prvku ve~vektoru pomocí operace \<Rank>,
  39 rozdìlení a sluèování vrcholù pomocí bitových posuvù a maskování, to v¹e
  40 v~èase $\O(1)$. Stromové operace tedy stihneme v~èase $\O(h)$.
  41
  42 Zbývá si rozmyslet, co~musí splòovat parametry struktury, aby se v¹echny
  43 vektory ve¹ly do~konstantního poètu slov. Kvùli vektorùm klíèù musí platit
  44 $Bk=\O(w)$. Jeliko¾ strom má a¾~$B^h$ listù a nejvý¹e tolik vnitøních vrcholù,
  45 ukazatele zabírají $\O(h\log B)$ bitù, tak¾e pro vektory ukazatelù potøebujeme
  46 $Bh\log B=\O(w)$. Dobrá volba je napøíklad $B=k=\sqrt w$, $h=\O(1)$, èím¾
  47 získáme strukturu obsahující $w^{\O(1)}$ prvkù o~$\sqrt w$ bitech pracující
  48 v~konstantním èase.
  49
  50 \h{Q-Heap}
  51
  52 Pøedchozí struktura má zajímavé vlastnosti, ale èasto je její pou¾ití
  53 znemo¾nìno omezením na~velikost èísel. Popí¹eme tedy o~nìco slo¾itìj¹í
  54 strukturu, která doká¾e toté¾, ale lze do~ní ukládat a¾ $w$-bitová èísla.
  55 Tato struktura má spí¹e teoretický význam (konstrukce je znaènì komplikovaná
  56 a skryté konstanty nemalé), ale pøekvapivì mnoho my¹lenek je pou¾itelných
  57 i v~praxi.
  58
  59 \s{Znaèení:}
  60 \itemize\ibull
  61 \: $k = \O(w^{1/4})$ -- omezení na~velikost haldy.
  62 \: $r\le k$ -- aktuální poèet prvkù v~haldì.
  63 \: $X=\{x_1, \ldots, x_r\}$ -- ulo¾ené $w$-bitové prvky, oèíslujeme si je tak, aby $x_1 < \ldots < x_r$.
  64 \: $c_i = \msb(x_i \oplus x_{i+1})$ -- nejvy¹¹í bit, na kterém se li¹í $x_i$ a
  65 $x_{i+1}$.
  66 \: $\rank_X(x)$, poèet prvkù mno¾iny~$X$, které jsou men¹í ne¾ $x$
  67 (definujeme i~pro $x\not\in X$).
  68 \endlist
  69
  70 \s{Pøedvýpoèet:} Budeme ochotni obìtovat èas $\O(2^{k^4})$ na~pøedvýpoèet.
  71 To mù¾e znít hroznì, ale ve~vìt¹inì aplikací bude $k=\log^{1/4} n$, tak¾e
  72 pøedvýpoèet stihneme v~èase $\O(n)$. V~tomto èase mimo jiné stihneme
  73 pøedpoèítat tabulku pro libovolnou funkci, která má vstup dlouhý $\O(k^3)$
  74 bitù a pro ka¾dý vstup ji dovedeme vyhodnotit v~polynomiálním èase.
  75 Nadále tedy mù¾eme bezpeènì pøedpokládat, ¾e v¹echny takové funkce
  76 umíme spoèítat v~konstantním èase.
  77
  78 \s{Iterování:} V¹imnìte si, ¾e jakmile doká¾eme sestrojit haldu s~$k$ prvky
  79 pracující v~konstantním èase, mù¾eme s~konstantním zpomalením sestrojit
  80 i haldu s~$k^{\O(1)}$ prvky. Staèí si hodnoty ulo¾it do~listù stromu
  81 s~vìtvením $k$ a konstantním poètem hladin a v~ka¾dém vnitøním vrcholu
  82 si pamatovat minimum podstromu a Q-Heap s~hodnotami jeho synù. Tak doká¾eme
  83 ka¾dé vlo¾ení i odebrání prvku pøevést na~konstantnì mnoho operací s~Q-Heapy.
  84
  85 \s{Náèrt} fungování Q-Heapu:
  86 Nad~prvky $x_1,\ldots,x_r$ sestrojíme komprimovanou trii~$T$ (nevìtvící se cesty
  87 nahradíme hranami). Listy trie budou jednotlivá $x_i$, vnitøní vrchol,
  88 který le¾í mezi $x_i$ a $x_{i+1}$, bude testovat $c_i$-tý bit èísla.
  89 Pokud budeme hledat nìkteré z~$x_i$, tyto vnitøní vrcholy (budeme jim
  90 øíkat {\I znaèky}) nás správnì dovedou do~pøíslu¹ného listu. Pokud ale
  91 budeme hledat nìjaké jiné~$x$, zavedou nás do~nìjakého na~první pohled
  92 nesouvisejícího listu a teprve tam zjistíme, ¾e jsme zabloudili. K~na¹emu
  93 pøekvapení ale to, kam jsme se dostali, bude staèit ke~spoèítáním ranku
  94 prvku, a~tím pádem i k~jeho vlo¾ení do~struktury.
  95
  96 \s{Pøíklad:}
  97 \nosizefigure{trie.eps}{Trie. Ohodnocení hran je pouze pro názornost -- není
  98 souèástí trie.}
  99
 100 \s{Lemma 1:} $\rank_X(x)$ je urèen jednoznaènì:
 101 \numlist\pnromanp
 102 \:tvarem stromu $T$
 103 \:indexem $i$ listu $x_i$, do~kterého nás zavede hledání hodnoty~$x$ ve~stromu,
 104 \:vztahem mezi $x$ a $x_i$ ($x<x_i$, $x>x_i$ nebo $x=x_i$)
 105 \:$\msb(x \oplus x_i)$
 106 \endlist
 107
 108 \s{Dùkaz:} Pokud $x=x_i$, je zjevnì $\rank_X(x) = i$. Pøedpokládejme tedy $x\ne x_i$.
 109 Hodnoty znaèek klesají ve~smìru od koøene k~listùm a na cestì od koøene k~$x_i$ se
 110 v¹echny bity v $x_i$ na~pozicích urèených znaèkami shodují s bity v $x$, pøièem¾
 111 a¾ do~pozice $c_i$ se shodují i bity znaèkami netestované. Sledujme tuto cestu
 112 od~koøene a¾ po~$c_i$: pokud cesta odboèuje doprava, jsou v¹echny hodnoty
 113 v~levém podstromu men¹í ne¾~$x$, a~tedy se do~ranku zapoèítají. Pokud odboèuje
 114 doleva, jsou hodnoty v~pravém podstromu zaruèenì vìt¹í a nezapoèítají se.
 115 Pokud nastala neshoda a $x<x_i$ (tedy $c_i$-tý bit v~$x$ je nula, zatímco v~$x_i$
 116 je jednièkový), jsou v¹echny hodnoty pod touto hranou vìt¹í; pøi opaèné nerovnosti
 117 jsou men¹í.
 118 \qed
 119
 120 \s{Pøíklad:} Vezmìme mno¾inu $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_6\}$ z pøedchozího pøíkladu
 121 a poèítejme $\rank_X(011001)$. Místo první neshody je oznaèeno puntíkem.
 122 Platí $x>x_i$, tedy celý podstrom je men¹í ne¾ $x$, proèe¾ $\rank_X(011001)=4$.
 123
 124 Rádi bychom pøedchozí lemma vyu¾ili k~sestrojení tabulek, které podle uvedených
 125 hodnot vrátí rank prvku~$x$. K~tomu potøebujeme pøedev¹ím umìt indexovat tvarem
 126 stromu.
 127
 128 \s{Pozorování:} Tvar trie je jednoznaènì urèen hodnotami $c_1,\ldots,c_n$
 129 (je to toti¾ kartézský strom nad tìmito hodnotami -- blí¾e viz kapitola o~dekompozicích
 130 stromù), hodnoty v~listech jsou $x_1,\ldots,x_n$ v~poøadí zleva doprava.
 131
 132 Vektor $(c_1,\ldots,c_n)$ má pouze $k\log w=\O(k^2)$ bitù, tak¾e jím mù¾eme
 133 indexovat. Pro zjednodu¹ení ostatních operací zvolíme trochu jinou, ale
 134 ekvivalentní reprezentaci:
 135
 136 \s{Znaèení:}
 137 \itemize\ibull
 138 \:$B := \{c_1,\ldots,c_r\}$ (mno¾ina v¹ech pozic bitù, které trie testuje, ulo¾ená ve~vektoru setøídìnì)
 139 \:$C: \{1,\ldots,r\} \to B: B[C(i)]:=c_i$.
 140 \endlist
 141
 142 \s{Lemma 1':} $\rank_X(x)$ lze spoèítat v~konstantním èase~z:
 143 \numlist\pnromanap
 144 \:funkce $C$
 145 \:$x_1,\ldots,x_r$
 146 \:$x[B]$ -- hodnoty bitù na~\uv{zajímavých} pozicích v~èísle~$x$,
 147 \endlist
 148
 149 \s{Dùkaz:} Z~pøedchozího lemmatu:
 150 \numlist\pnromanp
 151 \:Tvar stromu závisí jen na~vzájemných vztazích mezi polohami znaèek,
 152   tak¾e je jednoznaènì urèený funkcí~$C$.
 153 \:Z~tvaru stromu a $x[B]$ jednoznaènì plyne list $x_i$ a tyto vstupy
 154   jsou dostateènì krátké na~to, abychom mohli pøedpoèítat tabulku.
 155 \:Zjistíme prostým porovnáním.
 156 \:$x_i$ známe a MSB umíme na~RAMu poèítat v~konstantním èase.
 157 \endlist
 158 Pøitom (i)--(iv) jsou opìt dost krátké na~to, abychom jimi mohli
 159 indexovat tabulku.
 160 \qed
 161
 162 \>Poèítání rankù je témìø v¹e, co potøebujeme k~implementaci operací
 163 \<Find>, \<Insert> a \<Delete>. Jediná dal¹í pøeká¾ka u¾ je zatøiïování
 164 do~seznamu $x_1,\ldots,x_r$, který je moc velký na~to, aby se ve¹el
 165 do~$\O(1)$ slov. Proto si budeme pamatovat zvlá¹» tyto hodnoty v~libovolném
 166 poøadí a zvlá¹» permutaci, která je setøídí -- ta se ji¾ do~vektoru vejde.
 167 Øeknìme tedy poøádnì, co~v¹e si bude struktura pamatovat:
 168
 169 \s{Stav struktury:}
 170 \itemize\ibull
 171 \:$k$, $r$ -- kapacita haldy a aktuální poèet prvkù (èísla)
 172 \:$X=\{x_1,\ldots,x_r\}$ -- hodnoty prvkù v libovolném poøadí (pole èísel)
 173 \:$\varrho$ -- permutace na~$\{1,\ldots,r\}$ taková, ¾e $x_i=X[\varrho(i)]$
 174   a $x_1<x_2<\ldots<x_r$ (vektor o~$r\cdot\log r$ bitech)
 175 \:$B$ -- mno¾ina \uv{zajímavých} bitových pozic (setøídìný vektor o~$r\cdot\log w$ bitech)
 176 \:$C$ -- funkce popisující znaèky: $c_i=B[C(i)]$ (vektor o~$r\cdot r$ bitech)
 177 \endlist
 178
 179 \>Nyní ji¾ uká¾eme, jak provádìt jednotlivé operace:
 180
 181 \s{Find(x)}
 182
 183 \algo
 184 \:$i := \rank_X(x)$
 185 \:Pokud $x_i=x$, odpovíme {\sc ano,} jinak {\sc ne.}
 186 \endalgo
 187
 188 \s{Insert(x)}
 189
 190 \algo
 191 \:$i := \rank_X(x)$
 192 \:Pokud $x=x_i$, hodnota u¾ je pøítomna.
 193 \:Ulo¾íme $x$ do~pole~$X$ a vlo¾íme jeho pozici na~$i$-té místo v~permutaci~$\varrho$.
 194 \:Pøepoèítáme $c_{i-1}$ a $c_i$. Pro ka¾dou zmìnu $c_j$:
 195 \::Pokud je¹tì nová hodnota není v~$B$, pøidáme ji tam.
 196 \::Upravíme $C(j)$, aby ukazovalo na~tuto hodnotu.
 197 \::Pokud se na~starou hodnotu neodkazuje ¾ádné jiné $C(k)$, sma¾eme ji z~$B$.
 198 \endalgo
 199
 200 \s{Delete(x)}
 201
 202 \algo
 203 \:$i := \rank_X(x)$ (víme, ¾e $x_i=x$).
 204 \:Sma¾eme $x_i$ z~pole~$X$ (napøíklad prohozením s~posledním prvkem) a pøíslu¹nì upravíme~$\varrho$.
 205 \:Pøepoèítáme $c_{i-1}$ a $c_i$ a upravíme $B$ a $C$ jako pøi Insertu.
 206 \endalgo
 207
 208 \todo{Popsat, jak se poèítá $x[B]$.}
 209
 210 \todo{Aplikace na~kostry.}
 211
 212 \bye
 213
 214 % LocalWords:  MSB Vlozeni