3 \prednaska{8}{Pøevody problémù a NP-úplnost}{}
5 \def\prob#1{\h{Problém #1}}
6 \def\inp{\s{Vstup problému:} }
7 \def\outp{\s{Výstup problému:} }
9 V¹echny úlohy, které jsme zatím potkali, jsme umìli vyøe¹it algoritmem
10 s~polynomiální èasovou slo¾itostí. V~prvním pøiblí¾ení mù¾eme øíci, ¾e
11 polynomialita docela dobøe vystihuje praktickou pou¾itelnost algoritmu.%
12 \foot{Jistì vás napadne spousta protipøíkladù, jako tøeba algoritmus se
13 slo¾itostí $\O(1.001^n)$, který nejspí¹ je pou¾itelný, aèkoliv není polynomiální,
14 a~jiný se slo¾itostí $\O(n^{100})$, u~kterého je tomu naopak. Ukazuje se,
15 ¾e tyto pøípady jsou velmi øídké, tak¾e u~vìt¹iny problémù ná¹ zjednodu¹ený
16 pohled funguje pøekvapivì dobøe.}
18 Existují tedy polynomiální algoritmy pro v¹echny úlohy? Zajisté ne,
19 jsou dokonce i takové úlohy, je¾ ¾ádným algoritmem vyøe¹it nelze.
20 Ale i mezi tìmi algoritmicky øe¹itelnými potkáme spoustu úloh,
21 pro které zatím ¾ádný polynomiální algoritmus není známý (ale ani neumíme
22 dokázat, ¾e neexistuje). Takové úlohy jsou pøekvapivì èasté, proto se
23 na této pøedná¹ce podíváme na nìkolik typických pøíkladù.
25 Navíc uvidíme, ¾e aèkoliv tyto úlohy neumíme efektivnì øe¹it, jde mezi
26 nimi nalézt zajímavé vztahy a pomocí tìchto vztahù obtí¾nost problémù
27 vzájemnì porovnávat. Z~tìchto úvah vyrùstá i skuteèná teorie slo¾itosti
28 se svými hierarchiemi slo¾itostních tøíd. Mù¾ete tedy následující kapitolu
29 pova¾ovat za malou ochutnávku toho, jak lze k~tøídám problémù pøistupovat.
31 \h{Rozhodovací problémy a pøevody mezi nimi}
33 Aby se nám teorie pøíli¹ nerozko¹atila, omezíme své úvahy na rozhodovací
34 problémy. To jsou úlohy, jejich¾ výstupem je jediný bit -- máme tedy rozhodnout,
35 zda vstup má èi nemá urèenou vlastnost. Vstup pøitom budeme reprezentovat øetìzcem
36 nul a jednièek -- libovolnou jinou \uv{rozumnou} reprezentaci doká¾eme na tyto
37 øetìzce pøevést v~polynomiálním èase. Formálnìji:
39 \s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} (zkrácenì {\I problém}) je funkce z~mno¾iny $\{0,1\}^*$ v¹ech
40 øetìzcù nad binární abecedou do mno¾iny $\{0,1\}$.%
41 \foot{Ekvivalentnì bychom se na~problém mohli také dívat jako na nìjakou
42 mno¾inu $A\subseteq \{0,1\}^*$ vstupù, na nì¾ je odpovìï~1. Tento pøístup
43 mají rádi v~teorii automatù.}
45 \s{Pøíklad problému:} {\I Bipartitní párování} -- je dán bipartitní graf
46 a èíslo $k \in {\bb N}$. Zapí¹eme je pomocí øetìzce bitù: graf tøeba maticí
47 sousednosti, èíslo dvojkovì (detaily kódování budeme nadále vynechávat). Máme
48 odpovìdìt, zda v~zadaném grafu existuje párování, které obsahuje alespoò $k$
51 (Otázka, zda existuje párování o~právì~$k$ hranách, je ekvivalentní,
52 proto¾e mù¾eme libovolnou hranu z~párování vypustit a bude to stále párování.)
54 \s{Odboèka:} Èasto nás samozøejmì nejen zajímá, zda párování existuje, ale také
55 chceme nìjaké konkrétní najít. I~to jde pomocí rozhodovací verze problému snadno
56 zaøídit. Podobný postup funguje pro mnoho dal¹ích problémù.
58 Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný
59 graf má nebo nemá párování o~$k$ hranách. Odebereme z~grafu libovolnou hranu
60 a zeptáme se, jestli i tento nový graf má párovaní velikosti~$k$. Kdy¾ má, pak tato
61 hrana nebyla pro existenci párování potøebná, a~tak ji odstraníme. Kdy¾ naopak
62 nemá (hrana patøí do ka¾dého párování po¾adované velikosti), tak si danou hranu
63 poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy, ale také hrany, které do tìchto
64 vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy
65 byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy.
66 Na~nový graf aplikujeme znovu tentý¾ postup. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí
67 do hledaného párování. Hran, a tedy i iterací na¹eho algoritmu, je polynomiálnì
68 mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální.%
69 \foot{Zde se skrývá hlavní dùvod, proè informatici mají tak rádi polynomiální
70 algoritmy. Tøída v¹ech polynomù je toti¾ nejmen¹í tøídou funkcí, která obsahuje
71 v¹echny \uv{základní} funkce (konstanty, $n$, $n^2$, \dots) a je uzavøená na sèítání,
72 odèítání, násobení i skládání funkcí.}
74 \s{Zpìt z~odboèky:} Jak párovací problém vyøe¹it? Vìrni matfyzáckým vtipùm,
75 pøevedeme ho na nìjaký, který u¾ vyøe¹it umíme. To u¾ ostatnì umíme -- na~toky
76 v~sítích. Poka¾dé, kdy¾ se ptáme na existenci párování velikosti alespoò~$k$
77 v~nìjakém bipartitním grafu, umíme efektivnì sestrojit nìjakou sí» a zeptat se,
78 zda v~této síti existuje tok velikosti alespoò~$k$. Chceme tedy pøelo¾it vstup
79 jednoho problému na vstup jiného problému tak, aby odpovìï zùstala stejná.
81 Takovéto pøevody mezi problémy mù¾eme definovat i~obecnìji:
83 \s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, øíkáme, ¾e $A$ lze {\I
84 pøevést} (neboli {\I redukovat}) na~$B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) právì tehdy,
85 kdy¾ existuje funkce $f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ taková, ¾e pro v¹echna
86 $x\in \{0,1\}^*$ platí $A(x) = B(f(x))$, a~navíc lze funkci~$f$ spoèítat v~polynomiálním
89 \s{Pozorování:} $A\rightarrow B$ také znamená, ¾e problém~$B$ je alespoò tak tì¾ký
90 jako problém~$A$. Tím myslíme, ¾e kdykoliv umíme vyøe¹it~$B$, je vyøe¹it~$A$ nejvý¹e
91 polynomiálnì obtí¾nìj¹í. Speciálnì platí:
93 \s{Lemma:} Pokud $A\rightarrow B$ a $B$~lze øe¹it v~polynomiálním èase,
94 pak i~$A$ lze øe¹it v~polynomiálním èase.
97 Nech» existuje algoritmus øe¹ící problém~$B$ v~èase $\O(b^k)$, kde $b$~je
98 délka vstupu tohoto problému a $k$~konstanta. Mìjme dále funkci~$f$ pøevádìjící
99 $A$ na~$B$ v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Chceme-li nyní spoèítat
100 $A(x)$ pro nìjaký vstup~$x$ délky~$a$, spoèítáme nejprve $f(x)$. To bude trvat
101 $\O(a^\ell)$ a vyjde výstup délky takté¾ $\O(a^\ell)$ -- del¹í bychom v~daném èase
102 ani nestihli vypsat. Tento vstup pak pøedáme algoritmu pro problém~$B$,
103 který nad ním stráví èas $\O((a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$. Celkový èas výpoètu
104 tedy èiní $\O(a^\ell + a^{k\ell})$, co¾ je polynom v~délce pùvodního vstupu.
107 Relace pøevoditelnosti jistým zpùsobem porovnává problémy podle obtí¾nosti.
108 Nabízí se pøedstava, ¾e se jedná o~uspoøádání na mno¾inì v¹ech problémù. Je tomu
111 \s{Pozorování:} O~relaci \uv{$\rightarrow$} platí:
113 \:{\I Je reflexivní} ($A\rightarrow A$) -- úlohu mù¾eme pøevést na tuté¾ identickým zobrazením.
114 \:{\I Je tranzitivní} ($A\rightarrow B \land B\rightarrow C \Rightarrow A\rightarrow C$) --
115 pokud funkce~$f$ pøevádí $A$ na~$B$ a funkce~$g$ pøevádí $B$ na~$C$, pak funkce $g\circ f$
116 pøevádí $A$ na~$C$. Slo¾ení dvou polynomiálnì vyèíslitelných funkcí je zase polynomiálnì
117 vyèíslitelná funkce, jak u¾ jsme zpozorovali v~dùkazu pøedchozího lemmatu.
118 \:{\I Není antisymetrická} -- napøíklad problémy \uv{na vstupu je øetìzec zaèínající nulou}
119 a \uv{na vstupu je øetìzec konèící nulou} lze mezi sebou pøevádìt obìma smìry.
120 \:Existují {\I navzájem nepøevoditelné problémy} -- tøeba mezi problémy \uv{na ka¾dý vstup
121 odpovìz~0} a \uv{na ka¾dý vstup odpovìz~1} nemù¾e existovat pøevod ani jedním smìrem.
124 \>Relacím, které jsou reflexivní a tranzitivní, ale obecnì nesplòují antisymetrii,
125 se øíká {\I kvaziuspoøádání}. Pøevoditelnost je tedy èásteèné kvaziuspoøádání na mno¾inì
126 v¹ech problémù.\foot{Kdybychom z~nìj chtìli vyrobit opravdové (by» èásteèné) uspoøádání,
127 mohli bychom definovat ekvivalenci $A\sim B \equiv A\rightarrow B \land B\rightarrow A$
128 a relaci pøevoditelnosti zavést jen na tøídách této ekvivalence. Taková pøevoditelnost
129 by u¾ byla slabì antisymetrická. To je v~matematice dost bì¾ný trik, øíká se mu {\I faktorizace} kvaziuspoøádání.}
131 Nyní se ji¾ podíváme na pøíklady nìkolika problémù, které se obecnì pova¾ují
132 za tì¾ké. Uvidíme, ¾e ka¾dý z~nich je mo¾né pøevést na v¹echny ostatní, tak¾e
133 z~na¹eho \uv{polynomiálního} pohledu jsou stejnì obtí¾né.
135 \prob{SAT -- splnitelnost (satisfiability) logických formulí v~CNF}
137 Mìjme nìjakou logickou formuli s~promìnnými a logickými spojkami. Zajímá
138 nás, je-li tato formule {\I splnitelná,} tedy zda lze za promìnné dosadit
139 0 a~1 tak, aby formule dala výsledek~1 (byla {\I splnìna}).
141 Zamìøíme se na formule ve~speciálním tvaru, v~takzvané {\I konjunktivní normální
145 \:{\I formule} je slo¾ena z~jednotlivých {\I klauzulí} oddìlených spojkou~$\land$,
146 \:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$,
147 \:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace.
150 \inp Formule $\psi$ v konjunktivní normální formì.
152 \outp Existuje-li dosazení 0 a~1 za promìnné tak, aby $\psi(\ldots) = 1$.
154 \s{Pøíklad:} Formule $(x\lor y\lor z) \land (\lnot x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor z) \land (x \lor y \lor \lnot z)$
155 je splnitelná, staèí nastavit napøíklad $x=y=z=1$ (jaká jsou ostatní splòující
156 ohodnocení?). Naproti tomu formule $(x\lor y) \land (x\lor \lnot y)
157 \land \lnot x$ splnitelná není, co¾ snadno ovìøíme tøeba vyzkou¹ením v¹ech
158 ètyø mo¾ných ohodnocení.
160 \s{Poznámka:} Co kdybychom chtìli zjistit, zda je splnitelná nìjaká formule,
161 která není v~CNF? V~logice se dokazuje, ¾e ke~ka¾dé formuli lze najít ekvivalentní
162 formuli v~CNF, ale pøi tom se bohu¾el formule mù¾e a¾ exponenciálnì prodlou¾it.
163 Pozdìji uká¾eme, ¾e pro ka¾dou formuli~$\chi$ existuje nìjaká formule $\chi'$ v~CNF,
164 která je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je $\chi$ splnitelná. Formule $\chi'$ pøitom
165 bude dlouhá $\O(\vert\chi\vert)$, ale budou v~ní nìjaké nové promìnné.
167 \prob{3-SAT -- splnitelnost formulí s~krátkými klauzulemi}
169 Pro SAT zatím není známý ¾ádný polynomiální algoritmus. Co kdybychom zkusili
170 problém trochu zjednodu¹it a uva¾ovat pouze formule ve~speciálním tvaru?
172 Povolíme tedy na vstupu pouze takové formule v~CNF, jejich¾ ka¾dá klauzule obsahuje
173 nejvý¹e tøi literály. Uká¾eme, ¾e tento problém je stejnì tì¾ký jako pùvodní SAT.
175 \s{Pøevod 3-SATu na SAT:}
176 Jeliko¾ 3-SAT je speciálním pøípadem SATu, poslou¾í tu jako pøevodní funkce
179 \s{Pøevod SATu na 3-SAT:}
180 Nech» se ve~formuli vyskytuje nìjaká \uv{¹patná} klauzule o~$k>3$ literálech.
181 Mù¾eme ji zapsat ve~tvaru $(\alpha\lor\beta)$, kde $\alpha$ obsahuje 2~literály
182 a $\beta$ $k-2$ literálù. Poøídíme si novou promìnnou~$x$ a klauzuli nahradíme
183 dvìma novými $(\alpha\lor x)$ a $(\beta\lor\lnot x)$. První z~nich obsahuje 3~literály,
184 tedy je dobrá. Druhá má $k-1$ literálù, tak¾e mù¾e být stále ¹patná, ale aspoò je
185 krat¹í, tak¾e mù¾eme postup opakovat.
187 Takto postupnì nahradíme v¹echny ¹patné klauzule dobrými, co¾ bude trvat nejvý¹e
188 polynomiálnì dlouho: klauzuli délky~$k$ rozebereme po $k-3$ krocích, ¹patných
189 klauzulí je lineárnì s~délkou formule.
191 Zbývá ukázat, ¾e nová formule je splnitelná právì tehdy, byla-li splnitelná
192 formule pùvodní. K~tomu staèí ukázat, ¾e ka¾dý jednotlivý krok pøevodu splnitelnost
195 Pokud pùvodní formule byla splnitelná, uva¾me nìjaké splòující ohodnocení promìnných.
196 Uká¾eme, ¾e v¾dy mù¾eme novou promìnnou~$x$ nastavit tak, aby vzniklo splòující
197 ohodnocení nové formule. Víme, ¾e klauzule $(\alpha\lor\beta)$ byla splnìna. Proto
200 \:Buïto $\alpha=1$. Pak polo¾íme $x=0$, tak¾e $(\alpha\lor x)$ bude splnìna díky~$\alpha$
201 a $(\beta\lor\lnot x)$ díky~$x$.
202 \:Anebo $\alpha=0$, a~tedy $\beta=1$. Pak polo¾íme $x=1$, èím¾ bude $(\alpha\lor x)$ splnìna díky~$x$,
203 zatímco $(\beta\lor\lnot x)$ díky~$\beta$.
205 \>Ostatní klauzule budou stále splnìny.
207 V~opaèném smìru: pokud dostaneme splòující ohodnocení nové formule, umíme z~nìj získat
208 splòující ohodnocení formule pùvodní. Uká¾eme, ¾e staèí zapomenout promìnnou~$x$.
209 V¹echny klauzule, kterých se na¹e transformace netýká, jsou nadále splnìné.
210 Co klauzule $(\alpha\lor\beta)$?
212 \:Buïto $x=0$, pak musí být $(\alpha\lor x)$ splnìna díky~$\alpha$, tak¾e
213 $(\alpha\lor\beta)$ je také splnìna díky~$\alpha$.
214 \:Anebo $x=1$, pak musí být $(\beta\lor\lnot x)$ splnìna díky~$\beta$, tak¾e
215 i $(\alpha\lor\beta)$ je splnìna.
218 \>Tím je pøevod hotov, SAT a 3-SAT jsou tedy ekvivalentní.
220 \prob{NzMna -- nezávislá mno¾ina vrcholù v~grafu}
222 \s{Definice:} Mno¾ina vrcholù grafu je {\I nezávislá,} pokud ¾ádné dva
223 vrcholy le¾ící v~této mno¾inì nejsou spojeny hranou. (Jinými slovy nezávislá
224 mno¾ina indukuje podgraf bez hran.)
226 \figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{0.7in}
228 \>Na samotnou existenci nezávislé mno¾iny se nemá smysl ptát -- prázdná mno¾ina
229 èi libovolný jeden vrchol jsou v¾dy nezávislé. Zajímavé ale je, jestli graf obsahuje
230 dostateènì velkou nezávislou mno¾inu.
232 \inp Neorientovaný graf $G$ a èíslo $k \in {\bb N}$.
234 \outp Zda existuje nezávislá mno¾ina $A \subseteq V(G)$ velikosti alespoò~$k$.
236 \s{Pøevod 3-SAT $\rightarrow$ NzMna:}
237 Dostaneme formuli a máme vytvoøit graf, v~nìm¾ se bude nezávislá mno¾ina
238 urèené velikosti nacházet právì tehdy, je-li formule splnitelná.
239 My¹lenka pøevodu bude jednoduchá: z~ka¾dé klauzule budeme chtít vybrat jeden
240 literál, jeho¾ nastavením klauzuli splníme. Samozøejmì si musíme dát pozor, abychom
241 v~rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. jednou~$x$ a podruhé~$\lnot x$.
243 Jak to pøesnì zaøídit:
244 pro ka¾dou z~$k$~klauzulí zadané formule vytvoøíme trojúhelník a jeho vrcholùm
245 pøiøadíme literály klauzule. (Pokud by klauzule obsahovala ménì literálù,
246 prostì nìkteré vrcholy trojúhelníka sma¾eme.) Navíc spojíme hranami v¹echny
247 dvojice konfliktních literálù ($x$ a~$\lnot x$) z~rùzných trojúhelníkù.
249 V~tomto grafu se budeme ptát po nezávislé mno¾inì velikosti alespoò~$k$.
250 Jeliko¾ z~ka¾dého trojúhelníka mù¾eme do~nezávislé mno¾iny vybrat nejvý¹e jeden vrchol,
251 jediná mo¾nost, jak dosáhnout po¾adované velikosti, je vybrat z~ka¾dého právì jeden
252 vrchol. Uká¾eme, ¾e taková nezávislá mno¾ina existuje právì tehdy, je-li formule splnitelná.
254 Máme-li splòující ohodnocení formule, mù¾eme z~ka¾dé klauzule vybrat jeden splnìný
255 literál. Do nezávislé mno¾iny umístíme vrcholy odpovídající tìmto literálùm. Je jich
256 právì~$k$. Jeliko¾ ka¾dé dva vybrané vrcholy le¾í v~rùzných trojúhelnících a nikdy
257 nemù¾e být splnìný souèasnì literál a jeho negace, mno¾ina je opravdu nezávislá.
259 A~opaènì: Kdykoliv dostaneme nezávislou mno¾inu velikosti~$k$, vybereme literály
260 odpovídající vybraným vrcholùm a pøíslu¹né promìnné nastavíme tak, abychom tyto
261 literály splnili. Díky hranám mezi konfliktními literály se nikdy nestane, ¾e bychom
262 potøebovali promìnnou nastavit souèasnì na~0 a na~1. Zbývající promìnné ohodnotíme
263 libovolnì. Jeliko¾ jsme v~ka¾dé klauzuli splnili alespoò jeden literál, jsou
264 splnìny v¹echny klauzule, a~tedy i celá formule.
266 Pøevod je tedy korektní, zbývá rozmyslet, ¾e bì¾í v~polynomiálním èase:
267 Poèet vrcholù grafu odpovídá poètu literálù ve formuli, poèet hran je maximálnì
268 kvadratický. Ka¾dý vrchol i hranu pøitom sestrojíme v~polynomiálním èase, tak¾e
269 celý pøevod je také polynomiální.
271 \figure{nezmna_graf.eps}{Graf pro formuli $(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p)$}{3in}
273 \s{Pøevod NzMna $\rightarrow$ SAT:}
274 Dostaneme graf a èíslo~$k$, chceme vytvoøit formuli, která je splnitelná právì
275 tehdy, pokud se v~grafu nachází nezávislá mno¾ina o~alespoò~$k$ vrcholech.
276 Tuto formuli sestrojíme následovnì.
278 Vrcholy grafu oèíslujeme od~1 do~$n$ a poøídíme si pro nì promìnné $v_1, \ldots, v_n$,
279 které budou indikovat, zda byl pøíslu¹ný vrchol vybrán do nezávislé mno¾iny
280 (pøíslu¹né ohodnocení promìnných tedy bude odpovídat charakteristické funkci nezávislé mno¾iny).
282 Aby mno¾ina byla opravdu nezávislá, pro ka¾dou hranu $ij \in E(G)$ pøidáme klauzuli
283 $(\lnot v_i \lor \lnot v_j)$.
285 Je¹tì potøebujeme zkontrolovat, ¾e mno¾ina je dostateènì velká. To neumíme provést
286 pøímo, ale pou¾ijeme lest: vyrobíme matici promìnných~$X$ tvaru~$k\times n$, která bude popisovat
287 oèíslování vrcholù nezávislé mno¾iny èísly od~1 do~$k$. Konkrétnì $x_{ij}$ bude øíkat,
288 ¾e v~poøadí $i$-tý prvek nezávislé mno¾iny je vrchol~$j$. K~tomu potøebujeme zaøídit:
291 \:Aby v~ka¾dém sloupci byla nejvý¹e jedna jednièka. Na to si poøídíme klauzule
292 $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i',j})$ pro $i'\ne i$.
293 (Jsou to implikace, ale mù¾eme je zapsat i jako disjunkce, proto¾e $a\Rightarrow b$
294 je toté¾ jako $\lnot a \lor b$.)
295 \:Aby v~ka¾dém øádku le¾ela právì jedna jednièka. Nejprve zajistíme nejvý¹e jednu
296 klauzulemi $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i,j'})$ pro $j'\ne j$.
297 Pak pøidáme klauzule $(x_{i,1}\lor x_{i,2}\lor \ldots \lor x_{i,n})$,
298 které po¾adují alespoò jednu jednièku v~øádku.
299 \:Vztah mezi oèíslováním a nezávislou mno¾inou: pøidáme klauzule $x_{i,j} \Rightarrow v_j$.
300 (V¹imnìte si, ¾e nezávislá mno¾ina mù¾e obsahovat
301 i neoèíslované prvky, ale to nám nevadí. Dùle¾ité je, aby jich mìla $k$~oèíslovaných.)
304 Správnost pøevodu je zøejmá, ovìøme je¹tì, ¾e probíhá v~polynomiálním èase.
305 To plyne z~toho, ¾e vytvoøíme polynomiálnì mnoho klauzulí a ka¾dou z~nich
306 stihneme vypsat v~lineárním èase.
308 Dokázali jsme tedy, ¾e testování existence nezávislé mno¾iny je stejnì tì¾ké
309 jako testování splnitelnosti formule. Pojïme se podívat na dal¹í problémy.
311 \prob{Klika -- úplný podgraf}
313 Podobnì jako nezávislou mno¾inu mù¾eme v~grafu hledat i {\I kliku} -- úplný
314 podgraf dané velikosti.
316 \inp Graf $G$ a èíslo $k \in N$.
318 \outp Existuje-li úplný podgraf grafu $G$ na alespoò $k$ vrcholech.
320 \figure{klika.eps}{Pøíklad kliky}{2in}
322 Tento problém je ekvivalentní s~hledáním nezávislé mno¾iny. Pokud v~grafu prohodíme
323 hrany a nehrany, stane se z~ka¾dé kliky a nezávislá mno¾ina a naopak. Pøevodní funkce
324 tedy zneguje hrany a ponechá èíslo~$k$.
326 \figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran}{2in}
328 \prob{3,3-SAT -- splnitelnost s~malým poètem výskytù}
330 Ne¾ se pustíme do~dal¹ího kombinatorického problému, pøedvedeme je¹tì jednu
331 speciální variantu SATu, se kterou se nám bude pracovat pøíjemnìji.
333 Ji¾ jsme ukázali, ¾e SAT zùstane stejnì tì¾ký, omezíme-li se na formule
334 s~klauzulemi délky nejvý¹e~3. Teï budeme navíc po¾adovat, aby se ka¾dá promìnná
335 vyskytovala v~maximálnì tøech literálech. Tomuto problému se øíká 3,3-SAT.
337 \s{Pøevod 3-SATu na 3,3-SAT:}
338 Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v~$k > 3$ literálech, nahradíme její výskyty novými promìnnými $x_1, \ldots , x_k$
339 a pøidáme klauzule, které zabezpeèí, ¾e tyto promìnné budou v¾dy ohodnoceny stejnì:
341 (x_1 \Rightarrow x_2),
342 (x_2 \Rightarrow x_3),
343 (x_3 \Rightarrow x_4),
345 (x_{k-1} \Rightarrow x_k),
346 (x_k \Rightarrow x_1).
350 Mù¾eme dokonce zaøídit, aby se ka¾dý literál vyskytoval nejvý¹e dvakrát
351 (tedy ¾e ka¾dá promìnná se vyskytuje alespoò jednou pozitivnì a alespoò jednou negativnì).
352 Pokud by se nìjaká promìnná objevila ve~tøech stejných literálech, mù¾eme na~ni
353 také pou¾ít ná¹ trik a nahradit ji tøemi promìnnými. V~nových klauzulích se pak bude
354 vyskytovat jak pozitivnì, tak negativnì (opìt pøipomínáme, ¾e $a\Rightarrow b$
355 je jen zkratka za $\lnot a\lor b$).
359 \inp Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a
360 mno¾ina~$T$ kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou),
361 tedy $T \subseteq K\times H\times Z$.
363 \outp Perfektní podmno¾ina trojic -- tj. taková podmno¾ina trojic, v~ní¾ se ka¾dý
364 prvek mno¾in $K$, $H$ a~$Z$ vyskytuje právì jednou.
366 \figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D-párování}{3in}
368 \s{Pøevod 3,3-SATu na 3D-párování:}
369 Kdy¾ chceme ukázat, ¾e na
370 nìco se dá pøevést SAT, potøebujeme obvykle dvì vìci:
371 konstrukci, která bude simulovat promìnné, tedy nìco, co nabývá dvou stavù
372 \<true>/\<false>; a nìco, co bude reprezentovat klauzule a umí zaøídit, aby
373 ka¾dá klauzule byla splnìna alespoò jednou promìnnou.
375 Uva¾ujme takovouto konfiguraci:
379 4 zvíøátka, 2 kluci, 2 dívky a 4 trojice, které oznaèíme $A, B, C, D$. Je¹tì
380 pøedpokládáme, ¾e zvíøátka se mohou úèastnit nìjakých jiných trojic, ale tito
381 ètyøi lidé se vyskytují pouze v~tìchto ètyøech trojicích a~nikde jinde.
382 V¹imneme si, ¾e existují právì dvì mo¾nosti, jak tento obrázek spárovat.
383 Abychom spárovali kluka $k_1$, tak si musíme vybrat $A$ nebo $B$. Kdy¾ si
384 vybereme $A$, $k_1$ i $d_2$ u¾ jsou spárovaní tak¾e si nesmíme vybrat $B$ ani
385 $D$. Pak jediná mo¾nost, jak spárovat $d_1$ a~$k_2$ je $C$. Jedna mo¾nost je
386 tedy vybrat si $A$ a $C$ a jeliko¾ je obrázek symetrický, tak kdy¾ vybereme
387 místo $A$ trojici $B$, dostaneme $B$ a~$D$. V¾dy si tedy vybereme dvì protìj¹í
390 Tyto konfigurace budeme pou¾ívat k~reprezentaci promìnných. Pro ka¾dou
391 promìnnou si nakreslíme takový obrázek a~to, ¾e $A$ bude spárované s~$C$, bude
392 odpovídat tomu, ¾e $x=1$, a~spárování $B$ a~$D$ bude odpovídat $x=0$. Pokud
393 jsme pou¾ili $A$ a~$C$, zvíøata se sudými èísly, tj. $z_2$ a~$z_4$, horní
394 a~dolní, jsou nespárovaná a~pokud jsme pou¾ili $B$ a~$D$, zvíøátka $z_1$
395 a~$z_3$ zùstala nespárovaná. Pøes tato nespárovaná zvíøátka mù¾eme pøedávat
396 informaci, jestli promìnná $x$ má hodnotu \<true> nebo \<false> do dal¹ích
399 Zbývá vymyslet, jak reprezentovat klauzule. Klauzule jsou trojice popø. dvojice
400 literálù, napø. $\kappa = (x \lor y \lor \lnot r)$, kde potøebujeme zajistit,
401 aby $x$ bylo nastavené na $1$ nebo $y$ bylo nastavené na~$1$ nebo $r$ na $0$.
403 \fig{klauzule.eps}{4cm}
405 Pro takovouto klauzuli si poøídíme dvojici kluk-dívka, kteøí budou figurovat
406 ve tøech trojicích se tøemi rùznými zvíøátky, co¾ mají být volná zvíøátka
407 z~obrázkù pro pøíslu¹né promìnné (podle toho, má-li se promìnná vyskytnout
408 s negací nebo ne). A~zaøídíme to tak, aby ka¾dé zvíøátko bylo
409 pou¾ité maximálnì v~jedné takové trojici, co¾ jde proto, ¾e ka¾dý literál se
410 vyskytuje maximálnì dvakrát a~pro ka¾dý literál máme dvì volná zvíøátka,
411 z~èeho¾ plyne, ¾e zvíøátek je dost pro v¹echny klauzule. Pro dvojice se postupuje
414 Je¹tì nám ale urèitì zbude $2p-k$ zvíøátek, kde $p$ je poèet promìnných, $k$
415 poèet klauzulí -- ka¾dá promìnná vyrobí 4 zvíøátka, klauzule zba¹tí jedno
416 a samotné ohodnocení 2 zvíøátka -- tak pøidáme je¹tì $2p-k$ párù
417 kluk-dìvèe, kteøí milují
418 v¹echna zvíøátka, a~ti vytvoøí zbývající trojice.
420 Pokud formule byla splnitelná, pak ze splòujícího ohodnocení mù¾eme vyrobit
421 párování s~na¹í konstrukcí. Obrázek pro ka¾dou promìnnou spárujeme podle
422 ohodnocení, tj. promìnná je $0$ nebo $1$ a~pro ka¾dou klauzuli si vybereme
423 nìkterou z~promìnných, kterými je ta klauzule splnìna. Funguje to ale
424 i~opaènì: Kdy¾ nám nìkdo dá párovaní v~na¹í konstrukci, pak z nìho doká¾eme
425 vyrobit splòující ohodnocení dané formule. Podíváme se, v~jakém stavu je
426 promìnná, a~to je v¹echno. Z~toho, ¾e jsou správnì spárované klauzule, u¾
427 okam¾itì víme, ¾e jsou v¹echny splnìné.
429 Zbývá ovìøit, ¾e na¹e redukce funguje v~polynomiálním èase. Pro ka¾dou klauzuli
430 spotøebujeme konstantnì mnoho èasu, $2p-k$ je také polynomiálnì mnoho a~kdy¾ v¹e
431 seèteme, máme polynomiální èas vzhledem k~velikosti vstupní formule. Tím je
434 \figure{prevody.eps}{Pøevody mezi problémy}{3in}
436 \h{NP-úplné problémy}
438 Dosud jsme zkoumali problémy, které se nás ptaly na to, jestli nìco existuje.
439 Napøíklad jsme dostali formuli a problém splnitelnosti se nás ptal, zda
440 existuje ohodnocení promìnných takové, ¾e formule platí. Nebo v~pøípadì
441 nezávislých mno¾in jsme dostali graf a èíslo $k$ a ptali jsme se, jestli
442 v~grafu existuje nezávislá mno¾ina, která obsahuje alespoò~$k$ vrcholù.
443 Tyto otázky mìly spoleèné to, ¾e kdy¾ nám nìkdo napovìdìl nìjaký objekt, umìli
444 jsme efektivnì øíci, zda je to ten, který hledáme. Napøíklad pokud dostaneme
445 ohodnocení promìnných logické formule, staèí jen dosadit a spoèítat, kde
446 formule dá \<true> nebo \<false>. Zjistit, ¾e nìjaký objekt je ten, který
447 hledáme, umíme efektivnì. Tì¾ké na tom je takový objekt najít. Co¾ vede
448 k~definici obecných vyhledávacích problémù, kterým se øíká tøída problémù NP.
449 Nadefinujeme si ji poøádnì, ale nejdøíve zaèneme tro¹ièku jednodu¹¹í tøídou.
451 \s{Definice:} P je {\I tøída rozhodovacích problémù}, které jsou øe¹itelné
452 v~polynomiálním èase. Jinak øeèeno, problém
453 $L \in {\rm P} \Leftrightarrow \exists $ polynom $f$ a~$\exists$ algoritmus~$A$
454 takový, ¾e $\forall x: L(x)=A(x)$ a $A(x)$ dobìhne v~èase $\O(f(x))$.
456 Tøída P tedy odpovídá tomu, o èem jsme se shodli, ¾e umíme efektivnì øe¹it.
457 Nadefinujme nyní tøídu NP:
459 \s{Definice:} NP je {\I tøída rozhodovacích problémù} takových, ¾e $L \in {\rm NP}$ právì tehdy, kdy¾ $\exists $ problém
460 $K\in{\rm P}$ a $\exists$ polynom $g$ takový, ¾e pro
461 $\forall x$ platí $L(x)=1 \Leftrightarrow \exists $ nápovìda $ y: \vert y \vert \leq g(\vert x \vert)$ a souèasnì $K(x,y)=1$.
463 \s{Pozorování:} Splnitelnost logických formulí je v~NP. Staèí si toti¾ nechat napovìdìt, jak
464 ohodnotit jednotlivé promìnné a pak ovìøit, jestli je formule splnìna. Nápovìda je polynomiálnì
465 velká (dokonce lineárnì), splnìní zkontrolujeme také v~lineárním èase. Odpovíme tedy ano právì
466 tehdy, existuje-li nápovìda, která nás pøesvìdèí, èili pokud je formule splnitelná.
468 \s{Pozorování:} Tøída P le¾í uvnitø NP.
469 V~podstatì øíkáme, ¾e kdy¾ máme problém, který umíme øe¹it v~polynomiálním èase
470 bez nápovìdy, tak to zvládneme v~polynomiálním èase i s~nápovìdou.
472 Problémy z minulé pøedná¹ky jsou v¹echny v NP (napø. pro nezávislou
473 mno¾inu je onou nápovìdou pøímo mno¾ina vrcholù deklarující nezávislost),
474 o jejich pøíslu¹nosti do P ale nevíme nic.
475 Brzy uká¾eme, ¾e to jsou v jistém smyslu nejtì¾¹í problémy v~NP.
478 \s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I tì¾ký} právì tehdy, kdy¾ je na~nìj pøevoditelný
479 ka¾dý problém z~NP (viz definici pøevodù z minulé pøedná¹ky).
481 Rozmyslete si, ¾e pokud umíme øe¹it nìjaký NP-tì¾ký problém v~polynomiálním èase,
482 pak umíme vyøe¹it v~polynomiálním èase v¹e v~NP, a tedy ${\rm P}={\rm NP}$.
484 My se budeme zabývat problémy, které jsou NP-tì¾ké a samotné jsou v~NP. Takovým problémùm se øíká NP-úplné.
486 \s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I úplný} právì tehdy, kdy¾ $L$ je NP-tì¾ký a $L \in {\rm NP}$.
488 NP-úplné problémy jsou tedy ve~své podstatì nejtì¾¹í problémy, které le¾í v~NP.
489 Kdybychom umìli vyøe¹it nìjaký NP-úplný problém v~polynomiálním èase, pak
490 v¹echno v~NP je øe¹itelné v~polynomiálním èase. Bohu¾el to, jestli nìjaký
491 NP-úplný problém lze øe¹it v~polynomiálním èase, se neví. Otázka, jestli
492 ${\rm P}={\rm NP}$, je asi nejznámìj¹í otevøený problém v~celé teoretické
495 Kde ale nìjaký NP-úplný problém vzít? K~tomu se nám bude velice hodit následující vìta:
497 \s{Vìta (Cookova):} SAT je NP-úplný.
499 \>Dùkaz je znaènì technický, pøibli¾nì ho naznaèíme pozdìji. Pøímým dùsledkem
500 Cookovy vìty je, ¾e cokoli v~NP je pøevoditelné na SAT.
501 K dokazování NP-úplnosti dal¹ích problémù pou¾ijeme následující vìtièku:
503 \s{Vìtièka:} Pokud problém $L$ je NP-úplný a $L$ se dá pøevést na nìjaký problém $M\in{\rm NP}$, pak $M$ je také NP-úplný.
506 Tuto vìtièku staèí dokázat pro NP-tì¾kost, NP-úplnost plyne okam¾itì z~toho, ¾e
507 problémy jsou NP-tì¾ké a le¾í v~NP (podle pøedpokladu).
509 Víme, ¾e $L$ se dá pøevést na~$M$ nìjakou funkcí~$f$. Jeliko¾ $L$ je NP-úplný,
510 pak pro ka¾dý problém $Q\in{\rm NP}$ existuje nìjaká funkce~$g$, která pøevede
511 $Q$ na~$L$. Staèí tedy slo¾it funkci~$f$ s~funkcí~$g$, èím¾ získáme funkci pracující
512 opìt v~polynomiálním èase, která pøevede~$Q$ na~$M$. Ka¾dý problém z~NP se tedy
513 dá pøevést na problém~$M$.
516 \s{Dùsledek:} Cokoliv, na co jsme umìli pøevést SAT, je také NP-úplné.
517 Napøíklad nezávislá mno¾ina, rùzné varianty SATu, klika v~grafu~\dots
519 Jak taková tøída NP vypadá? Pøedstavme si v¹echny problémy tøídy NP, jakoby seøazené
520 shora dolu podle obtí¾nosti problémù (tedy navzdor gravitaci), kde porovnání dvou
521 problémù urèuje pøevoditelnost (viz obrázek).
523 \figure{p-np.eps}{Struktura tøídy NP}{2.5cm}
525 Obecnì mohou nastat dvì situace, proto¾e nevíme, jestli ${\rm P}={\rm NP}$.
526 Jestli ano, pak v¹echno je jedna a ta samá tøída. To by bylo v nìkterých
527 pøípadech nepraktické, napø. ka¾dá ¹ifra by byla jednodu¹e rozlu¹titelná.
528 \foot{Poznámka o ¹ifrách -- libovolnou funkci vyèíslitelnou v polynomiálním
529 èase bychom umìli v polynomiálním èase také invertovat.}
530 Jestli ne, NP-úplné problémy urèitì nele¾í v P, tak¾e P a NP-úplné problémy
531 jsou dvì disjunktní èásti NP. Také se dá dokázat (to dìlat nebudeme, ale je
532 dobré to vìdìt), ¾e je¹tì nìco le¾í mezi nimi, tedy ¾e existuje problém, který
533 je v~NP, není v~P a není NP-úplný (dokonce je takových problémù nekoneènì mnoho,
534 v nekoneènì tøídách).
536 \s{Katalog NP-úplných problémù}
538 Uká¾eme si nìkolik základních NP-úplných problémù. O~nìkterých jsme to dokázali
539 na~minulé pøedná¹ce, o~dal¹ích si to doká¾eme nyní, zbylým se na~zoubek podíváme
545 \:SAT (splnitelnost logických formulí v~CNF)
546 \:3-SAT (ka¾dá klauzule obsahuje max.~3 literály)
547 \:3,3-SAT (a navíc ka¾dá promìnná se vyskytuje nejvý¹e tøikrát)
548 \:SAT pro obecné formule (nejen CNF)
549 \:Obvodový SAT (není to formule, ale obvod)
553 \:Nezávislá mno¾ina (existuje mno¾ina alespoò~$k$ vrcholù taková, ¾e ¾ádné dva nejsou propojeny hranou?)
554 \:Klika (existuje úplný podgraf na~$k$ vrcholech?)
555 \:3D párování (tøi mno¾iny se zadanými trojicemi, existuje taková mno¾ina disjunktních trojic, ve~které jsou v¹echny prvky?)
556 \:Barvení grafu (lze obarvit vrcholy $k$~barvami tak, aby vrcholy stejné barvy nebyly nikdy spojeny hranou? NP-úplné u¾ pro~$k=3$)
557 \:Hamiltonovská cesta (cesta obsahující v¹echny vrcholy [právì jednou])
558 \:Hamiltonovská kru¾nice (kru¾nice, která nav¹tíví v¹echny vrcholy [právì jednou])
562 \:Batoh (nejjednodu¹¹í verze: dána mno¾ina èísel, zjistit, zda existuje podmno¾ina se zadaným souètem)
563 \:Batoh -- optimalizace (podobnì jako u pøedchozího problému, ale místo mno¾iny èísel máme mno¾inu
564 pøedmìtù s vahami a cenami, chceme co nejdra¾¹í podmno¾inu její¾ váha nepøesáhne zadanou kapacitu
566 \:Loupe¾níci (lze rozdìlit danou mno¾inu èísel na~dvì podmno¾iny se stejným souètem)
567 \:$Ax=b$ (soustava celoèíslených lineárních rovnic; $x_i$ mohou být pouze 0 nebo 1; NP-úplné i pokud $A_{ij}\in\{0,1\}$ a $b_i\in\{0,1\}$)
568 \:Celoèíselné lineární programování (existuje vektor nezáporných celoèísených $x$ takový, ¾e $Ax \leq b$ ?)
572 \h{Náznak dùkazu Cookovy vìty}
574 Abychom mohli budovat teorii NP-úplnosti, potøebujeme alespoò jeden problém,
575 o kterém doká¾eme, ¾e je NP-úplný, z definice. Cookova vìta øíká o NP-úplnosti
576 SAT-u, ale nám se to hodí dokázat o tro¹ku jiném problému -- {\I obvodovém SAT-u}.
578 \>{\I Obvodový SAT} je splnitelnost, která nepracuje s~formulemi, ale s~booleovskými
579 obvody (hradlovými sítìmi). Ka¾dá formule se dá pøepsat do booleovského obvodu,
580 který ji poèítá, tak¾e dává smysl zavést splnitelnost i pro obvody. Na¹e obvody
581 budou mít nìjaké vstupy a~jenom jeden výstup. Budeme se ptát, jestli se vstupy
582 tohoto obvodu dají nastavit tak, abychom na výstupu dostali \<true>.
584 \>Nejprve doká¾eme NP-úplnost {\I obvodového SAT-u} a~pak uká¾eme, ¾e se dá
585 pøevést na obyèejný SAT v~CNF. Tím bude dùkaz Cookovy vìty hotový. Zaènìme
588 \s{Lemma:} Nech» $L$ je problém v P. Potom existuje polynom $p$ a algoritmus,
589 který pro $\forall n \ge 0$ spoète v èase $p(n)$ hradlovou sí» $Bn$ s $n$ vstupy
590 a 1 výstupem takovou, ¾e $\forall x \in \{ 0, 1 \}^n : Bn(x) = L(x)$.
593 Náznakem. Na základì zku¹eností z Principù poèítaèù intuitivnì chápeme poèítaèe
594 jako nìjaké slo¾ité booleovské obvody, jejich¾ stav se mìní v~èase. Uva¾me tedy
595 nìjaký problém $L \in {\rm P}$ a polynomiální algoritmus, který ho øe¹í. Pro vstup
596 velikosti~$n$ dobìhne v~èase~$T$ polynomiálním v~$n$ a spotøebuje $\O(T)$ bunìk pamìti.
597 Staèí nám tedy \uv{poèítaè s~pamìtí velkou $\O(T)$}, co¾ je nìjaký booleovský obvod
598 velikosti polynomiální v~$T$, a~tedy i v~$n$. Vývoj v~èase o¹etøíme tak, ¾e sestrojíme~$T$
599 kopií tohoto obvodu, ka¾dá z~nich bude odpovídat jednomu kroku výpoètu a bude
600 propojena s~\uv{minulou} a \uv{budoucí} kopií. Tím sestrojíme booleovský obvod,
601 který bude øe¹it problém~$L$ pro vstupy velikosti~$n$ a bude polynomiálnì velký
605 Pro dùkaz následující vìty si dovolíme drobnou úpravu v~definici tøídy NP.
606 Budeme chtít, aby nápovìda
607 mìla pevnou velikost, závislou pouze na~velikosti vstupu (tedy: $\vert y \vert
608 = g(\vert x \vert)$ namísto $\vert y \vert \le g(\vert x \vert)$). Proè je taková
609 úprava BÚNO? Jistì si dovedete pøedstavit,
610 ¾e pùvodní nápovìdu doplníme na po¾adovanou délku nìjakými \uv{mezerami}, které
611 program ignoruje. (Tedy upravíme program tak, aby mu nevadilo, ¾e dostane na
612 konci nápovìdy nìjak kódované mezery.)
614 \s{Vìta:} Obvodový SAT je NP-úplný.
617 Máme tedy nìjaký problém $L$ z~NP a~chceme dokázat, ¾e $L$ se dá pøevést
618 na~obvodový SAT (tj. NP-tì¾kost). Kdy¾ nám nìkdo pøedlo¾í nìjaký vstup $x$
619 (chápeme jako posloupnost $x_1, x_2, \ldots, x_n$),
620 spoèítáme velikost nápovìdy $g(n)$. Víme, ¾e kontrolní
621 algoritmus~$K$ (který kontroluje, zda nápovìda je správnì) je v~P. Vyu¾ijeme
622 pøedchozí lemma, abychom získali obvod, který pro konkrétní velikost vstupu
623 $x$ poèítá to, co kontrolní algoritmus $K$. Na vstupu tohoto obvodu bude $x$
624 (vstup problému $L$) a~nápovìda~$y$. Na výstupu nám øekne, jestli je nápovìda
625 správná. Velikost vstupu tohoto obvodu bude tedy $p(g(n))$, co¾ je také polynom.
627 \fig{kobvod.eps}{2.3cm}
629 \>V tomto obvodu zafixujeme vstup $x$ (na místa vstupu dosadíme konkrétní hodnoty z $x$). Tím získáme obvod, jeho¾ vstup je jen $y$ a~ptáme se, zda za $y$ mù¾eme dosadit nìjaké hodnoty tak, aby na výstupu bylo \<true>. Jinými slovy, ptáme se, zda je tento obvod splnitelný.
631 \>Pro libovolný problém z~NP tak doká¾eme sestrojit funkci, která pro ka¾dý vstup~$x$ v~polynomiálním èase vytvoøí obvod, který je splnitelný pravì tehdy, kdy¾ odpovìï tohoto problému na vstup $x$ má být \<true>. Tedy libovolný problém z~NP se dá
632 v~polynomiálním èase pøevést na obvodový SAT.
634 \>Obvodový SAT je v NP triviálnì -- staèí si nechat poradit vstup, sí»
635 topologicky setøídit a v~tomto poøadí poèítat hodnoty hradel.
638 \s{Lemma:} Obvodový SAT se dá pøevést na 3-SAT.
641 Budeme postupnì budovat formuli v~konjunktivní normální formì. Ka¾dý booleovský obvod se dá pøevést v~polynomiálním èase na~ekvivalentní obvod, ve~kterém se vyskytují jen hradla {\csc and} a {\csc not}, tak¾e staèí najít klauzule odpovídající tìmto hradlùm. Pro ka¾dé hradlo v~obvodu zavedeme novou promìnnou popisující jeho výstup. Pøidáme klauzule, které nám kontrolují, ¾e toto hradlo máme ohodnocené konzistentnì.
643 \>{\I Pøevod hradla \csc not}: na vstupu hradla budeme mít nìjakou promìnnou $x$ (která pøi¹la buïto pøímo ze~vstupu toho celého obvodu nebo je to promìnná, která vznikla na výstupu nìjakého hradla) a na výstupu promìnnou $y$. Pøidáme klauzule, které nám zaruèí, ¾e jedna promìnná bude negací té druhé:
644 $$\matrix{ (x \lor y), \cr
645 (\neg{x} \lor \neg{y}). \cr }
647 \vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{not.eps}}}
650 \>{\I Pøevod hradla \csc and}: Hradlo má vstupy $x, y$ a~výstup $z$. Potøebujeme pøidat klauzule, které nám popisují, jak se má hradlo {\csc and} chovat. Tyto vztahy pøepí¹eme do~konjunktivní normální formy:
653 x\ \&\ y \Rightarrow z \cr
654 \neg{x} \Rightarrow \neg{z} \cr
655 \neg{y} \Rightarrow \neg{z} \cr
661 (z \lor \neg{x} \lor \neg{y}) \cr
666 \vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{and.eps}}}
669 \>Kdy¾ chceme pøevádìt obvodový SAT na 3-SAT, obvod nejdøíve pøelo¾íme na takový, ve~kterém jsou jen hradla {\csc and} a~{\csc not}, a~pak hradla tohoto obvodu pøelo¾íme na klauzule. Formule vzniklá z~takovýchto klauzulí je splnitelná pravì tehdy, kdy¾ je splnitelný daný obvod. Pøevod pracuje v polynomiálním èase.
673 Kdy¾ jsme zavádìli SAT, omezili jsme se jen na formule, které jsou
674 v~konjunktivní normální formì (CNF). Teï u¾ víme, ¾e splnitelnost obecné
675 booleovské formule doká¾eme pøevést na obvodovou splnitelnost a tu pak
676 pøevést na 3-SAT. Opaèný pøevod je samozøejmì triviální, tak¾e obecný SAT
677 je ve~skuteènosti ekvivalentní s~na¹ím \uv{standardním} SATem pro CNF.
projects / ads2.git / blob