7-geom/7-geom.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{7}{Geometrické algoritmy}{(P. Klavík)}
   4
   5 \>Uká¾eme si nìkolik základních algoritmù na øe¹ení geometrický problémù v~rovinì. Proè zrovna v~rovinì? Inu, jednorozmìrné problémy bývají triviální
   6 a naopak pro vy¹¹í dimenze jsou velice komplikované. Rovina je proto rozumným kompromisem mezi obtí¾ností a zajímavostí.
   7
   8 Celou kapitolou nás bude provázet pohádka ze ¾ivota letních medvìdù. Pokusíme se vyøe¹it jejich \uv{ka¾dodenní} problémy~\dots
   9
  10 \h{Hledání konvexního obalu}
  11
  12 {\I Daleko na severu ¾ili lední medvìdi. Ve vodách tamního moøe byla hojnost ryb a jak je známo, ryby jsou oblíbenou pochoutkou ledních medvìdù.
  13 Proto¾e medvìdi z~na¹í pohádky rozhodnì nejsou ledajací a ani chytrost jim neschází, rozhodli se v¹echny ryby pochytat. Znají pøesná místa výskytu
  14 ryb a rádi by vyrobili obrovskou sí», do které by je v¹echny chytili. Pomozte medvìdùm zjistit, jaký nejmen¹í obvod taková sí» mù¾e mít.}
  15
  16 \figure{7-geom5_rybi_motivace.eps}{Problém ledních mìdvìdù: Jaký je nejmen¹í obvod sítì?}{2.5in}
  17
  18 Neboli v~øeèi matematické, chceme pro zadanou mno¾inu bodù v~rovinì nalézt její konvexní obal. Co je to konvexní obal? Mno¾ina bodù je {\I konvexní},
  19 pokud pro ka¾dé dva body obsahuje i celou úseèku mezi nimi. {\I Konvexní obal} je nejmen¹í konvexní podmno¾ina roviny, která obsahuje v¹echny zadané
  20 body.\foot{Pamatujete si na lineární obaly ve vektorových prostorech? Lineární obal mno¾iny vektorù je nejmen¹í vektorový podprostor, který tyto
  21 vektory obsahuje. Není náhoda, ¾e tato definice pøipomíná definici konvexního obalu. Na druhou stranu ka¾dý vektor z~lineárního obalu lze vyjádøit
  22 jako lineární kombinaci daných vektorù. Podobnì platí i pro konvexní obaly, ¾e ka¾dý bod z~obalu je konvexní kombinací daných bodù. Ta se li¹í od
  23 lineární v~tom, ¾e v¹echny koeficienty jsou v~intervalu $[0,1]$ a navíc souèet v¹ech koeficientù je $1$. Tento algebraický pohled mù¾e mnohé vìci
  24 zjednodu¹it. Zkuste si dokázat, ¾e obì definice konvexního obalu jsou ekvivalentní.} Z~algoritmického hlediska nás v¹ak bude zajímat jenom jeho
  25 hranice, kterou budeme dále oznaèovat jako konvexní obal.
  26
  27 Na¹ím úkolem je nalézt konvexní obal koneèné mno¾iny bodù. To je v¾dy konvexní mnohoúhelník, navíc s~vrcholy v~zadaných bodech. Øe¹ením problému tedy
  28 bude posloupnost bodù, které tvoøí konvexní obal. Pro malé mno¾iny je konvexní obal nakreslen na obrázku, pro více bodù je v¹ak situace mnohem
  29 slo¾itìj¹í.
  30
  31 \figure{7-geom1_male_obaly.eps}{Konvexní obaly malých mno¾in.}{3in}
  32
  33 Pro jednoduchost budeme pøedpokládat, ¾e v¹echny body mají rùzné $x$-ové souøadnice. Tedy utøídìní bodù zleva doprava je urèené jednoznaènì.\foot{To si
  34 mù¾eme dovolit pøedpokládat, nebo» se v¹emi body staèí nepatrnì pootoèit. Tím konvexní obal urèitì nezmìníme. Av¹ak jednodu¹¹í øe¹ení je naprogramovat
  35 tøídìní lexikograficky (druhotnì podle souøadnice $y$) a vyøadit identické body.} Tím máme zaji¹tìné, ¾e existují dva body, nejlevìj¹í a
  36 nejpravìj¹í, pro které platí následující invariant:
  37
  38 \s{Invariant:} Nejlevìj¹í a nejpravìj¹í body jsou v¾dy v~konvexním obalu.
  39
  40 Algoritmus na nalezení konvexního obalu funguje na následujícím jednoduchém principu, kterému se nìkdy øíká {\I zametání roviny}. Procházíme body
  41 zleva doprava a postupnì roz¹iøujeme doposud nalezený konvexní obal o~dal¹í body. Na zaèátku bude konvexní obal jediného bodu samotný bod. Na konci
  42 $k$-tého kroku algoritmu známe konvexní obal prvních $k$ bodù. Kdy¾ algoritmus skonèí, známe hledaný konvexní obal. Podle invariantu musíme v~$k$-tém
  43 kroku pøidat do obalu $k$-tý nejlevìj¹í bod. Zbývá si jen rozmyslet, jak pøesnì tento bod pøidat.
  44
  45 Poslední bod napojíme na nejbli¾¹í bod konvexního obalu, který je nad ním a pod ním. Èasto se v¹ak stane, ¾e obal pøestane být konvexní. To se dá v¹ak
  46 snadno napravit, staèí odebírat pøedcházející body tak dlouho, dokud nezískáme konvexní obal. Pøíklad pøidání bodu je na obrázku ní¾e. Mnohdy je
  47 potøeba odebrat i více ne¾ jeden bod.
  48
  49 \figure{7-geom2_pridani_bodu.eps}{Pøidání bodu do konvexního obalu.}{4.5in}
  50
  51 Pro pøípadnou implementaci a rozbor slo¾itosti si nyní popí¹eme algoritmus detailnìji. Aby se lépe popisoval, rozdìlíme si konvexní obal na dvì èásti
  52 spojující nejlevìj¹í a nejpravìj¹í bod obalu. Budeme jim øíkat {\I horní obálka} a {\I dolní obálka}.
  53
  54 \figure{7-geom3_obalky.eps}{Horní a dolní obálka konvexního obalu.}{3.4in}
  55
  56 Obì obálky jsou lomené èáry, navíc horní obálka poøád zatáèí doprava a dolní naopak doleva. Pro udr¾ování bodù v~obálkách staèí dva zásobníky.
  57 V~$k$-tém kroku algoritmu pøidáme zvlá¹» $k$-tý bod do horní i dolní obálky. Pøidáním $k$-tého bodu se v¹ak mù¾e poru¹it smìr, ve kterém obálka
  58 zatáèí. Proto budeme nejprve body z~obálky odebírat a $k$-tý bod pøidáme a¾ ve chvíli, kdy jeho pøidání smìr zatáèení neporu¹í.
  59
  60 \s{Algoritmus:}
  61
  62 \algo
  63
  64 \:Setøídíme body podle $x$-ové souøadnice, oznaème body $b_1, \ldots, b_n$.
  65 \:Vlo¾íme do horní a dolní obálky bod $b_1$: $H = D = (b_1)$.
  66 \:Pro ka¾dý dal¹í bod $b = b_2,\ldots,b_n$:
  67 \::Pøepoèítáme horní obálku:
  68 \:::Dokud $\vert H\vert \ge 2$, $H = (\ldots, h_{k-1}, h_k)$ a úhel $h_{k-1} h_k b$ je orientovaný doleva:
  69 \::::Odebereme poslední bod $h_k$ z~obálky $H$.
  70 \:::Pøidáme bod $b$ do obálky $H$.
  71 \::Symetricky pøepoèteme dolní obálku (s orientací doprava).
  72 \: Výsledný obal je tvoøen body v~obálkách $H$ a $D$.
  73
  74 \endalgo
  75
  76 Rozebereme si èasovou slo¾itost algoritmu. Setøídit body podle $x$-ové souøadnice doká¾eme v~èase $\O(n \log n)$. Pøidání dal¹ího bodu do obálek
  77 trvá lineárnì vzhledem k~poètu odebraných bodù. Zde vyu¾ijeme obvyklý postup: Ka¾dý bod je odebrán nejvý¹e jednou, a tedy v¹echna odebrání trvají
  78 dohromady $\O(n)$. Konvexní obal doká¾eme sestrojit v~èase $\O(n \log n)$, a pokud bychom mìli seznam bodù ji¾ utøídený, doká¾eme to dokonce $\O(n)$.
  79
  80 \s{Algebraický dodatek:} Existuje jednoduchý postup, jak zjistit orientaci úhlu? Uká¾eme si jeden zalo¾ený na lineární algebøe. Budou se hodit
  81 vlastnosti determinantu. Absolutní hodnota determinantu je objem pøíslu¹ného rovnobì¾nostìnu tvoøeného øádkovými vektory matice. Dùle¾itìj¹í v¹ak je,
  82 ¾e znaménko determinantu urèuje \uv{orientaci} vektorù, zda je levotoèivá èi pravotoèivá. Proto¾e ná¹ problém je rovinný, budeme uva¾ovat determinanty
  83 matic $2 \times 2$.
  84
  85 Uva¾me souøadnicový systém v~rovinì, kde $x$-ová souøadnice roste smìrem doprava a~$y$-ová smìrem nahoru. Chceme zjistit orientaci úhlu $h_{k-1} h_k
  86 b$. Polo¾me $\vec u = (x_1, y_1)$ jako rozdíl souøadnic $h_k$ a~$h_{k-1}$ a podobnì $\vec v = (x_2, y_2)$ je rozdíl souøadnic $b$ a~$h_k$. Matice $M$
  87 je definována následovnì:
  88 $$M = \pmatrix{\vec u \cr \vec v} = \pmatrix {x_1&y_1\cr x_2&y_2}.$$
  89 Úhel $h_{k-1} h_k b$ je orientován doleva, právì kdy¾ $\det M = x_1y_2 - x_2y_1$ je nezáporný,\foot{Neboli vektory $\vec u$ a $\vec v$ odpovídají
  90 rozta¾ení a zkosení vektorù báze $\vec x = (1,0)$ a $\vec y = (0,1)$, pro nì¾ je determinant nezáporný.} a spoèítat hodnotu determinantu je jednoduché.
  91 Mo¾né situace jsou nakresleny na obrázku. Poznamenejme, ¾e k~podobnému vzorci se lze také dostat pøes vektorový souèin vektorù $\vec u$ a $\vec v$.
  92
  93 \figure{7-geom4_determinant.eps}{Jak vypadají determinanty rùzných znamének v~rovinì.}{4.6in}
  94
  95 \s{©lo by to vyøe¹it rychleji?} Také vám vrtá hlavou, zda existují rychlej¹í algoritmy? Nejrychlej¹í známý algoritmus, jeho¾ autorem je T.~Chan,
  96 funguje v~èase $\O(n \log h)$, kde $h$ je poèet bodù le¾ících v~konvexním obalu, a pøitom je pøekvapivì jednoduchý. Zde si naznaèíme, jak tento
  97 algoritmus funguje.
  98
  99 Algoritmus pøichází s~následující my¹lenkou. Pøedpokládejme, ¾e bychom znali velikost konvexního obalu $h$. Rozdìlíme body libovolnì do $\lceil {n
 100 \over h} \rceil$ mno¾in $Q_1, \ldots, Q_k$ tak, ¾e $\vert Q_i \vert \le h$. Pro ka¾dou z~tìchto mno¾in nalezneme konvexní obal pomocí vý¹e popsaného
 101 algoritmu. To doká¾eme pro jednu v~èase $\O(h \log h)$ a pro v¹echny v~èase $\O(n \log h)$. Nakonec vezmeme tyto konvexní obaly a pomocí jiného
 102 algoritmu je v~èase $\O(n \log h)$ spojíme do konvexního obalu celé mno¾iny.
 103
 104 Popsanému algoritmu schází jedna dùle¾itá vìc: Ve skuteènosti vìt¹inou neznáme velikost $h$. Budeme proto algoritmus iterovat s~rostoucí hodnotou $h$,
 105 dokud konvexní obal nesestrojíme. Pokud pøi slepování konvexních obalù zjistíme, ¾e konvexní obal je vìt¹í ne¾ $h$, výpoèet ukonèíme. Zbývá je¹tì
 106 zvolit, jak rychle má $h$ rùst. Pokud by rostlo moc pomalu, budeme poèítat zbyteènì mnoho fází, naopak pøi rychlém rùstu by nás poslední fáze mohla
 107 stát pøíli¹ mnoho.
 108
 109 V~$k$-té iteraci polo¾íme $h = 2^{2^k}$. Dostáváme celkovou slo¾itost algoritmu:
 110 $$\sum_{m=0}^{\O(\log \log h)} \O(n \log 2^{2^m}) = \sum_{m=0}^{\O(\log \log h)} \O(n \cdot 2^m) = \O(n \log h),$$
 111 kde poslední rovnost dostaneme jako souèet prvních $\O(\log \log h)$ èlenù geometrické øady $\sum 2^m$.
 112
 113 \bye