Prepis slidu ke komplexnim cislum

[ads2.git] / 7-fft / 7-fft.tex

\def\scharfs{\char"19}
\input lecnotes.tex
\def\imply{\Rightarrow}
\prednaska{9}{Fourierova transformace}{}

Násobení polynomù mù¾e mnohým pøipadat jako pomìrnì (algoritmicky) snadný
problém. Asi ka¾dého hned napadne \uv{hloupý} algoritmus -- vezmeme
koeficienty prvního polynomu a~vynásobíme ka¾dý se v¹emi koeficienty druhého
polynomu a~pøíslu¹nì u~toho seèteme i~exponenty (stejnì jako to dìláme, kdy¾
násobíme polynomy na~papíøe). Pokud stupeò prvního polynomu je $n$ a~druhého
$m$, strávíme tím èas $\Omega(mn)$. Pro $m=n$ je to kvadraticky pomalé.
Na~první pohled se mù¾e zdát, ¾e rychleji to prostì nejde (pøeci musíme
v¾dy vynásobit \uv{ka¾dý s~ka¾dým}). Ve skuteènosti to ale rychleji fungovat
mù¾e, ale k~tomu je potøeba znát trochu tajemný algoritmus FFT neboli {\I Fast
Fourier Transform}.


\ss{Trochu algebry na~zaèátek}
Celé polynomy oznaèujeme velkými písmeny, jednotlivé èleny polynomù pøíslu¹nými
malými písmeny (pø.: polynom $W$ stupnì $d$ má koeficienty $w_{0}, w_{1},
w_{2},\ldots, w_{d}$).

Libovolný polynom $P$ stupnì (nejvý¹e) $d$ lze reprezentovat
jednak jeho koeficienty, tedy èísly $p_{0}, p_{1}, \ldots ,p_{d}$, druhak
i~pomocí hodnot:

\>{\bf Lemma:} Polynom stupnì nejvý¹e $d$ je jednoznaènì urèeò svými
hodnotami v~$d+1$ rùzných bodech.

\>{\it Dùkaz:}
Polynom stupnì $d$ má maximálnì $d$ koøenù (indukcí -- je-li
$k$ koøenem $P$, pak lze $P$ napsat jako $(x-k)Q$ kde $Q$ je polynom stupnì
o~jedna men¹í, pøitom polynom stupnì 1 má jediný koøen); uvá¾íme-li
dva rùzné polynomy $P$ a~$Q$ stupnì $d$ nabývající v~daných bodech stejných
hodnot, tak $P-Q$ je polynom stupnì maximálnì $d$, ka¾dé
z $x_{0}\ldots x_{d}$ je koøenem tohoto polynomu $\imply$ spor, polynom stupnì
$d$ má $d+1$ koøenù $\imply$ $P-Q$ musí být nulový polynom $\imply$ $P=Q$.
\qed
\medskip        

Pov¹imnìme si jedné skuteènosti -- máme-li dva polynomy $A$ a~$B$ stupnì $d$
a~body $x_{0}, \ldots, x_{n}$, dále polynom $C=A \cdot B$ (stupnì $2d$), pak
platí $C(x_{j}) = A(x_{j}) \cdot B(x_{j})$ pro $j = 0,1,2, \ldots, n$. Toto
èiní tento druhý zpùsob reprezentace polynomu velice atraktivním pro násobení
-- máme-li $A$ i $B$ reprezentované hodnotami v $n \geq 2d+1$ bodech, pak
snadno (v $\Theta(n)$) spoèteme takovou reprezentaci $C$.
Problémem je, ¾e typicky máme polynom zadaný koeficienty, a~ne hodnotami
v~bodech. Tím pádem potøebujeme nìjaký hodnì rychlý algoritmus (tj.
rychlej¹í ne¾ kvadratický, jinak bychom si nepomohli oproti hloupému
algoritmu) na~pøevod polynomu z jedné reprezentace do druhé a~zase zpìt.

\s{Idea, jak by mìl algoritmus pracovat:}
\algo
\:Vybereme $n\geq 2d+1$ bodù $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n-1}$.
\:V tìchto bodech vyhodnotíme polynomy $A$ a~$B$.
\:Nyní ji¾ v~lineárním èase získáme hodnoty polynomu $C$ v~tìchto bodech:
        $C(x_i) = A(x_i)\cdot B(x_i)$
\:Pøevedeme hodnoty polynomu $C$ na~jeho koeficienty.
\endalgo

\>Je vidìt, ¾e klíèové jsou kroky 2 a~4.
Celý trik spoèívá v~chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy
vyhodnocovat -- zvolí-li se obecná $x_j$, tak se to rychle neumí, pro speciální
$x_j$ ale uká¾eme, ¾e to rychle jde.

\ss{Vyhodnocení polynomu metodou Rozdìl a~panuj (algoritmus FFT):}
Mìjme polynom $P$ stupnì $\leq d$ a~chtìjme jej vyhodnotit v~$n$ bodech.
Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1},
\ldots , \pm x_{n/2-1} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé
mocniny $x_{j}$ shodují s~druhými mocninami $-x_{j}$.

Polynom $P$ rozlo¾íme na~dvì èásti, první obsahuje èleny se sudými exponenty,
druhá s~lichými:
$$P(x) = (p_{0}x^{0} + p_{2}x^{2} + \ldots + p_{d-2}x^{d-2}) + (p_{1}x^{1} +
        p_{3}x^{3} + \ldots + p_{d-1}x^{d-1})$$
\>se zavedením znaèení:
$$P_s(t) = p_0t^0 + p_{2}t^{1} + \ldots + p_{d - 2}t^{d - 2\over 2}$$
$$P_l(t) = p_1t^0 + p_3t^1 + \ldots + p_{d - 1}t^{d - 2\over 2}$$

\>bude $P(x) = P_s(x^{2}) + xP_l(x^{2})$ a~$P(-x) = P_s(x^{2}) -
xP_l(x^{2})$. Jinak øeèeno, vyhodnocování polynomu $P$ v~$n$ bodech se nám
smrskne na~vyhodnocení $P_s$ a~$P_l$ v~$n/2$ bodech -- oba jsou polynomy
stupnì nejvý¹e $d/2$ a~vyhodnocujeme je v~$x^{2}$ (vyu¾íváme
rovnosti $(x_{i})^{2} = (-x_{i})^{2}$).

\s{Pøíklad:}
$3 + 4x + 6x^{2} + 2x^{3} + x^{4} + 10x^{5} = (3 + 6x^{2} + x^{4}) + x(4 +
2x^{2} + 10x^{4})$.

Teï nám ov¹em vyvstane problém s~oním párováním -- druhá mocnina pøece nemù¾e
být záporná a~tím pádem u¾ v~druhé úrovni rekurze body spárované nebudou.
Z~tohoto dùvodu musíme pou¾ít komplexní èísla -- tam druhé mocniny záporné býti
mohou.

% komplex
\h{Komplexní intermezzo}
\def\i{{\rm i}}
\def\\{\hfil\break}

\s{Základní operace}

\itemize\ibull
\:Definice: ${\bb C} = \{a + b\i \mid a,b \in {\bb R}\}$

\:Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$. \\
Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$.

\:Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$. \\
$\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm
\overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot \overline y$, $x
\cdot \overline x \in {\bb R}$.

\:Absolutní hodnota: $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert
a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$. \\
Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.

\:Dìlení: $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.
\endlist

\s{Gau{\scharfs}ova rovina a goniometrický tvar}

\itemize\ibull
\:Komplexním èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\i \leftrightarrow (a,b)$.

\:$\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.

\:$\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\I komplexní jednotky}). \\
Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[
0,2\pi \right)$.

\:Pro libovolné $x\in{\bb C}$: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) +
\i\sin\varphi(x))$. \\
Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\I argument}
èísla~$x$, nìkdy znaèíme $\mathop{\rm arg} x$.

\:Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.
\endlist

\s{Exponenciální tvar}

\itemize\ibull
\:Eulerova formule: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + \i\sin\varphi$.

\:Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot e^{\i\cdot
\varphi(x)}$.

\:Násobení: $xy = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right) \cdot
        \left(\vert y\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(y)}\right) = \vert x\vert
        \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$. \\
(absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)

\:Umocòování: $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right)^
        \alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot e^{\i \alpha \varphi(x)}$.

\:Odmocòování: $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\cdot
\varphi(x)/n}$. \\
Pozor -- odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$.
\endlist

\s{Odmocniny z~jednièky}

\itemize\ibull
\:Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:
$\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$.
Proto $x^n = e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$.
Platí tedy $\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$.

\:Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$ \\
(pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny).

\:Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\varphi
        (x)/n} \cdot u$, kde $u=\root n\of 1$.

\:Je-li $x$ odmocninou z 1, pak $\overline{x} = x^{-1}$ -- je toti¾ $1 = \vert
x\cdot \overline{x}\vert = x\cdot \overline{x}$.
\endlist

\s{Primitivní odmocniny}

\s{Definice:} $x$ je {\I primitivní} $k$-tá odmocnina z 1 $\equiv x^k=1 \land \forall j: 0<j<k \Rightarrow x^j \neq 1$.

\>Tuto definici splòují napøíklad èísla $\omega = e^{2\pi \i / k}$ a $\overline\omega = e^{-2\pi\i/k}$.
Platí toti¾, ¾e $\omega^j = e^{2\pi\i j/k}$, co¾ je rovno~1 právì tehdy,
je-li $j$ násobkem~$k$ (jednotlivé mocniny èísla~$\omega$ postupnì obíhají
jednotkovou kru¾nici). Analogicky pro~$\overline\omega$.

\>Uka¾me si nìkolik pozorování fungujících pro libovolné èíslo~$\omega$,
které je primitivní $k$-tou odmocninou z~jednièky (nìkdy budeme potøebovat,
aby navíc $k$ bylo sudé):

\itemize\ibull
\:Pro $0\leq j<l<k$ je $\omega^j \neq \omega^l$, nebo» $\omega^l /
\omega^j = \omega^{l-j} \neq 1$, proto¾e $l-j < k$ a $\omega$ je primitivní.
\:$\omega^{k/2} = -1$, proto¾e $(\omega^{k/2})^2 = 1$, a tedy
$\omega^{k/2}$ je druhá odmocnina z~1. Takové odmocniny jsou dvì:
1 a $-1$, ov¹em 1 to být nemù¾e, proto¾e $\omega$ je primitivní.
\:$\omega^j = - \omega^{k/2 + j}$ -- pøímý dùsledek pøedchozího bodu, pro
nás ale velice zajímavý: $\omega^0,\omega^1,\ldots,\omega^{k-1}$ jsou po dvou
spárované.
\:$\omega^2$ je $k/2$-tá primitivní odmocnina z 1 -- dosazením.
\endlist

\h{Konec intermezza}
% end komplex

\bigskip

Vra»me se nyní k algoritmu. Z poslední èásti komplexního intermezza se zdá,
¾e by nemusel být ¹patný nápad zkusit vyhodnocovat polynom v mocninách
$n$-té primitivní odmocniny z~jedné (tedy za $x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}$
z~pùvodního algoritmu zvolíme $\omega^0,\omega^1,\ldots,\omega^{n-1}$).
Aby nám v¹e vycházelo pìknì, zvolíme $n$ jako mocninu dvojky.

\ss{Celý algoritmus bude vypadat takto:}
\>FFT($P$, $ \omega$)

\>{\sl Vstup:} $p_{0}, \ldots , p_{n-1}$, koeficienty polynomu $P$ stupnì
nejvý¹e $n-1$, a~$\omega$,
$n$-tá primitivní odmocina z jedné.

\>{\sl Výstup:} Hodnoty polynomu v~bodech $1, \omega, \omega^{2}, \ldots ,
\omega^{n - 1}$, èili èísla $P(1), P(\omega), P(\omega^{2}),$ $\ldots ,
P(\omega^{n - 1})$.

\algo
\:Pokud $n = 1$, vrátíme $p_{0}$ a~skonèíme.
\:Jinak rozdìlíme $P$ na èleny se sudými a lichými exponenty (jako v pùvodní
my¹lence) a~rekurzivnì zavoláme FFT($P_s$, $\omega^{2}$) a~FFT($P_l$,
$\omega^{2}$) -- $P_l$ i~$P_s$ jsou stupnì max. $n/2-1$, $\omega^2$ je
$n/2$-tá primitivní odmocnina, a mocniny $\omega^2$ jsou stále po dvou
spárované ($n$ je mocnina dvojky, a tedy i $n/2$ je sudé; popø. $n=2$ a je to
zøejmé).
\:Pro $j = 0, \ldots , n/2 - 1$ spoèítáme:

\:\qquad $P(\omega^{j}) = P_s(\omega^{2j}) + \omega^{j}\cdot P_l(\omega^{2j})$.

\:\qquad $P(\omega^{j+n/2})=P_s(\omega^{2j})-\omega^{j}\cdot P_l(\omega^{2j})$.

\endalgo


\s{Èasová slo¾itost:}
\>$T(n)=2T(n/2) + \Theta(n) \Rightarrow$ slo¾itost $\Theta(n \log n)$, jako
MergeSort.


Máme tedy algoritmus, který pøevede koeficienty polynomu na~hodnoty tohoto
polynomu v~rùzných bodech. Potøebujeme ale také algoritmus, který doká¾e
reprezentaci polynomu pomocí hodnot pøevést zpìt na~koeficienty polynomu.
K~tomu nám pomù¾e podívat se na~ná¹ algoritmus trochu obecnìji.


\s{Definice:}
\>{\I Diskrétní Fourierova transformace} $(DFT)$
je zobrazení $f: { {\bb C} ^n} \rightarrow { {\bb C} ^n}$, kde $$y=f(x) \equiv
\forall j \ y_{j} = \sum \limits ^{n-1}_{k=0} x_{k} \cdot \omega ^{jk}$$
(DFT si lze mimo jiné pøedstavit jako funkci vyhodnocující polynom
s~koeficienty $x_k$ v~bodech $\omega^j$). Takovéto zobrazení je lineární
a~tedy popsatelné maticí $\Omega$ s~prvky $\Omega_{jk} = \omega^{jk}$.
Chceme-li umìt pøevádìt z~hodnot polynomu na koeficienty, zajímá nás inverze
této matice.


\ss{Jak najít inverzní matici?}
Znaème $\overline{\Omega}$ matici, její¾ prvky
jsou komplexnì sdru¾ené odpovídajícím prvkùm $\Omega$, a vyu¾ijme následující
lemma:

\ss{Lemma:}$\quad \Omega\cdot \overline{\Omega} = n\cdot E$.

\proof $$ (\Omega\cdot \overline{\Omega})_{jk} = \sum_{l=0}^{n-1} \omega^{jl}
\cdot \overline{\omega^{lk}} = \sum \omega^{jl} \cdot \overline{\omega}^{lk} =
\sum \omega^{jl} \cdot \omega^{-lk} = \sum \omega^{l(j-k)}\hbox{.}$$
\itemize\ibull
\:Pokud $j=k$, pak $ \sum \limits ^{n-1}_{l=0} (\omega ^{0}) ^{l} = n$.

\:Pokud $j\neq k$, pou¾ijeme vzoreèek pro souèet geometrické øady
s kvocientem $\omega ^{(j-k) }$ a~dostaneme ${{\omega^{(j-k)n} -1} \over
{\omega^{(j-k)} -1}} ={1-1 \over \neq 0} = 0$ (
$\omega^{j-k} - 1$ je jistì $\neq 0$, nebo» $\omega$ je $n$-tá primitivní
odmoncina a $j-k<n$).
\endlist
\qed


\>Na¹li jsme inverzi:
$\Omega({1 \over n} \overline{\Omega}) = {1 \over n}\Omega \cdot
\overline{\Omega} = E$, \quad $\Omega^{-1}_{jk} = {1 \over n}\overline{\omega^
{jk}} = {1 \over n}\omega^{-jk} = {1 \over n} {(\omega^{-1})}^{jk}$, \quad
(pøipomínáme, $\omega^{-1}$ je $\overline{\omega}$).

Vyhodnocení polynomu lze provést vynásobením $\Omega$, pøevod do pùvodní
reprezentace vynásobením $\Omega^{-1}$. My jsme si ale v¹imli chytrého
spárování, a vyhodnocujeme polynom rychleji ne¾ kvadraticky (proto FFT,
jako¾e {\it fast}, ne jako {\it fuj}). Uvìdomíme-li si, ¾e $\overline \omega =
\omega^{-1}$ je také $n$-tá primitivní odmocnina z 1 (má akorát
úhel s opaèným znaménkem), tak mù¾eme stejným trikem vyhodnotit i~zpìtný
pøevod -- nejprve vyhodnotíme $A$ a $B$ v $\omega^j$, poté pronásobíme
hodnoty a~dostaneme tak hodnoty polynomu $C=A\cdot B$, a pustíme na nì
stejný algoritmus s~$\omega^{-1}$ (hodnoty $C$
vlastnì budou v~algoritmu \uv{koeficienty polynomu}). Nakonec jen získané
hodnoty vydìlíme $n$ a~máme chtìné koeficienty.

\s{Výsledek:} Pro $n= 2^k$ lze DFT na~${\bb C}^n$ spoèítat v~èase $\Theta(n
\log n)$ a~DFT$^{-1}$ takté¾.

\s{Dùsledek:}
Polynomy stupnì $n$ lze násobit v~èase $\Theta(n \log n)$:
$\Theta(n \log n)$ pro vyhodnocení, $\Theta(n)$ pro vynásobení a~$\Theta(n
\log n)$ pro pøevedení zpìt.

\s{Pou¾ití FFT:}

\itemize\ibull

\:Zpracování signálu -- rozklad na~siny a~cosiny o~rùzných frekvencích
$\Rightarrow$ spektrální rozklad.
\:Komprese dat -- napøíklad formát JPEG.
\:Násobení dlouhých èísel v~èase $\Theta(n \log n)$.
\endlist

\s{Paralelní implementace FFT}

\figure{img.eps}{Pøíklad prùbìhu algoritmu na~vstupu velikosti 8}{3in}

Zkusme si prùbìh algoritmu FFT znázornit graficky (podobnì, jako jsme kreslili
hradlové sítì). Na~levé stranì obrázku se nachází vstupní vektor $x_0,\ldots,x_{n-1}$
(v~nìjakém poøadí), na~pravé stranì pak výstupní vektor $y_0,\ldots,y_{n-1}$.
Sledujme chod algoritmu pozpátku: Výstup spoèítáme z~výsledkù \uv{polovièních}
transformací vektorù $x_0,x_2,\ldots,x_{n-2}$ a $x_1,x_3,\ldots,x_{n-1}$.
Èerné krou¾ky pøitom odpovídají výpoètu lineární kombinace $a+\omega^kb$,
kde $a,b$ jsou vstupy krou¾ku a $k$~nìjaké pøirozené èíslo závislé na poloze
krou¾ku. Ka¾dá z~polovièních transformací se poèítá analogicky z~výsledkù
transformace velikosti $n/4$ atd. Celkovì výpoèet probíhá v~$\log_2 n$ vrstvách
po~$\Theta(n)$ operacích.

Jeliko¾ operace na~ka¾dé vrstvì probíhají na sobì nezávisle, mù¾eme je poèítat
paralelnì. Ná¹ diagram tedy popisuje hradlovou sí» pro paralelní výpoèet FFT
v~èase $\Theta(\log n\cdot T)$ a prostoru $\O(n\cdot S)$, kde $T$ a~$S$ znaèí
èasovou a prostorovou slo¾itost výpoètu lineární kombinace dvou komplexních èísel.

\s{Cvièení:} Doka¾te, ¾e permutace vektoru $x_0,\ldots,x_{n-1}$ odpovídá bitovému
zrcadlení, tedy ¾e na pozici~$b$ shora se vyskytuje prvek $x_d$, kde~$d$ je
èíslo~$b$ zapsané ve~dvojkové soustavì pozpátku.

\s{Nerekurzivní FFT}

Obvod z~pøedchozího obrázku také mù¾eme vyhodnocovat po~hladinách zleva doprava,
èím¾ získáme elegantní nerekurzivní algoritmus pro výpoèet FFT v~èase $\Theta(n\log n)$
a prostoru $\Theta(n)$:

\algo
\algin $x_0,\ldots,x_{n-1}$
\:Pro $j=0,\ldots,n-1$ polo¾íme $y_k\= x_{r(k)}$, kde $r$ je funkce bitového zrcadlení.
\:Pøedpoèítáme tabulku $\omega^0,\omega^1,\ldots,\omega^{n-1}$.
\:$b\= 1$ \cmt{velikost bloku}
\:Dokud $b<n$, opakujeme:
\::Pro $j=0,\ldots,n-1$ s~krokem~$2b$ opakujeme: \cmt{zaèátek bloku}
\:::Pro $k=0,\ldots,b-1$ opakujeme: \cmt{pozice v~bloku}
\::::$\alpha\=\omega^{nk/2b}$
\::::$(y_{j+k},y_{j+k+b}) \= (y_{j+k}+\alpha\cdot y_{j+k+b}, y_{j+k}-\alpha\cdot y_{j+k+b})$.
\::$b\= 2b$
\algout $y_0,\ldots,y_{n-1}$
\endalgo

\s{FFT v~koneèných tìlesech}

Nakonec dodejme, ¾e Fourierovu transformaci lze zavést nejen nad tìlesem
komplexních èísel, ale i v~nìkterých koneèných tìlesech, pokud zaruèíme
existenci primitivní $n$-té odmocniny z~jednièky. Napøíklad v~tìlese ${\bb
Z}_p$ pro prvoèíslo $p=2^k+1$ platí $2^k=-1$, tak¾e $2^{2k}=1$
a $2^0,2^1,\ldots,2^{2k-1}$ jsou navzájem rùzná, tak¾e èíslo~2 je~primitivní
$2k$-tá odmocnina z~jedné. To se nám ov¹em nehodí pro algoritmus FFT, jeliko¾
$2k$ bude málokdy mocnina dvojky.

Zachrání nás ov¹em algebraická vìta, která øíká, ¾e multiplikativní grupa\foot{To je
mno¾ina v¹ech nenulových prvkù tìlesa s~operací násobení.}
libovolného koneèného tìlesa je cyklická, tedy ¾e v¹echny nenulové prvky tìlesa lze
zapsat jako mocniny nìjakého èísla~$g$ (generátoru). Napøíklad pro $p=2^{16}+1=65\,537$
je jedním takovým generátorem èíslo~$3$. Jeliko¾ mezi èísly $g^1,g^2,\ldots,g^{p-1}$
se musí ka¾dý nenulový prvek tìlesa vyskytnout právì jednou, je~$g$ primitivní
$2^k$-tou odmocninou z~jednièky, tak¾e mù¾eme poèítat FFT pro libovolný vektor,
jeho¾ velikost je mocnina dvojky men¹í nebo rovná $2^k$.\foot{Bli¾¹í prùzkum
na¹ich úvah o~FFT dokonce odhalí, ¾e není ani potøeba tìleso. Postaèí libovolný
komutativní okruh, ve~kterém existuje pøíslu¹ná primitivní odmocnina
z~jednièky, její multiplikativní inverze (ta ov¹em existuje v¾dy, proto¾e
$\omega^{-1} = \omega^{n-1}$) a multiplikativní inverze èísla~$n$. To nám
poskytuje je¹tì daleko více volnosti ne¾ tìlesa, ale není snadné takové okruhy
hledat.}

\bye