7-ac/7-ac.tex

   1 \input ../lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{7}{Vyhledávání v textu}{(zapsali J. Kunèar, M. Demin a J. Chludil)}
   4
   5 Na minulých predná¹kách jsme si ukázali, jak se v textu vyhledává slovo. Teï si ov¹em úlohu zobecníme a uká¾eme si, jak v kupce sena vyhledat více ne¾ jednu jehlu.
   6
   7 \h{Zopakujeme si základní znaèení}
   8 \itemize\ibull
   9 \:$\iota_1, \ldots, \iota_k$ -- jehly
  10 \:$\sigma$ -- text (seno)
  11 \endlist
  12
  13 \h{Hledání výskytu v¹ech slov}
  14 Nejprve si øeknìme, jak chceme aby vypadal výstup a poté jak ho dosáhnout. Výstupem pro nás budou v¹echny uspoøádané dvojice $(i,j)$ takové, ¾e $$\iota_i=\sigma[j:j+\vert\iota_i\vert]$$ Postavme si proto vyhledávací automat, který najde v¹echny takové uspoøádané dvojice.
  15
  16 \h{Vyhledávací automat}
  17 Vyhledávací automat je vlastnì strom\foot{http://en.wikipedia.org/wiki/Trie}, kde ka¾dý vrchol mù¾e mít stupeò a¾ do velikosti abecedy a kde jednotlivé hrany odpovídají písmenùm této abecedy. Vrcholy, ve kterých konèí slovo, jsou oznaèené (na obrazcích èernì). Dále si èasem do tohto vyhledávacího stromu pøidáme zpìtné hrany a "zkratky".
  18
  19 \s{Stav} je pozice ve stromì, která odpovídá nejdel¹ímu prefixu vyhovující jehly v senì (platí rovnì¾ stejný \s{invariant} z pøedchozí pøedná¹ky).\par
  20 \s{Zpìtná hrana} $z$($\alpha$) := nejdel¹í vlastní suffix\foot{definováno na 6. pøedná¹ce} slova $\alpha$, který je stavem.\par
  21
  22 \figure{vyhl_automat_dopr.eps}{Vyhledávací automat}{1in}
  23
  24 \h{Výstup z automatu}
  25 Pøi vypisování výsledkù mu¾eme narazit na urèité problémy, které jsou dobøe vidìt na následujícím obrázku. První problém urèitì nastane, proto¾e v automatu není pøesnì øeèeno, které slovo konèí v jakém vrcholu.
  26 Napøíklad ve stavu, kde konèí slovo BARBARA, konèí také slovo ARA, ale o tom nevíme.
  27 Druhý problém nastává, kdy¾ v automatu není zaznaèen konec slova. Pøíkladem je seno BARAB (jednoduché k nahlédnutí viz. obrázek).
  28 Teï nám nezbývá nic jiného, ne¾ najít øe¹ení tìchto záludných problémù. Øe¹e¹í se nám naskýtá hned nìkolik:
  29 \itemize\ibull
  30 \:Projdeme v¹echy zpìtné hrany a vypí¹eme slova, jen¾ v daných stavech konèí. Toto øe¹ení funguje, ale je pomalé, proto¾e procházíme v¹echny zpìtné hrany.
  31 \:Pøedpoèítání mno¾in. Najdeme mno¾inu slov tak, aby celková velikost slov byla vìt¹í ne¾ lineární. Funkèní, ale konstrukce je pomalá.
  32 \:\s{\<slovo>($s$)} = index slova $\iota$, které konèí ve stavu $s$, nebo $\emptyset$ \par
  33 \s{\<out>($s$)} = nejbli¾¹í vrchol, do kterého se lze z $s$ dostat po zpìtných hranách a \<slovo(v)> $\ne 0$ (konèí tam slovo)
  34 \figure{Graphic2.eps}{Vyhledávací automat -- se zpìtnými hranami}{1.3in}
  35 \endlist
  36
  37 \>Jako vhodné øe¹ení tohoto problému se naskýtá poslední bod. Podle nìho vytvoøíme algoritmus na vyhledávání "jehel v senì".
  38 \algo
  39 \:$s \leftarrow$ \<koøen> ($s$ je aktuální stav vyhledávacího automatu).
  40 \:Procházíme v¹echny písmena $c$ v senì $\sigma$:
  41 \::$s \leftarrow krok(s,c)$.
  42 \::Je-li \<slovo(s)> $\ne 0 \Rightarrow$ \<vypi¹(slovo(s))>.
  43 \::$v \leftarrow out(s)$.
  44 \::Dokud $v \ne 0 $:
  45 \:::Vypi¹ \<slovo(v)>.
  46 \:::$v \leftarrow$ \<out(v)>.
  47 \endalgo
  48
  49 \s{\<krok(s,c)>}:= jeden \<krok> ve vyhledávacím automatu
  50 \algo
  51 \:Dokud $\not\exists f(s,c) \wedge s \ne$ koøen: $s \leftarrow$ \<z(s)>.
  52 \:Pokud $\exists f(s,c)$: $s \leftarrow$ \<f(s,c)>.
  53 \:Vrátíme $s$.
  54 \endalgo
  55
  56 \h{Reprezentace v pamìti}
  57 První mo¾nost jak reprezentovat vyhledávací automat je pole se seznamem synù. Je to jednoduchá varianta, ale má nevýhodu pro velké abecedy, proto¾e procházení seznamu synù mù¾e trvat neúmìrnì dlouho. Proto se nabízí druhá mo¾nost a to hashovací tabulka \<(stav,znak)> $\rightarrow$ \<f(stav,znak)>, kde se "ztratí" pou¾ívání hashovací funkce.
  58
  59 \h{Slo¾itost}
  60 \itemize\ibull
  61 \:kroky 2.--5. mají èasovou slo¾itost $O(\vert \sigma \vert)$, kterou jednodu¹e doká¾eme pomocí potenciálu -- poèet krokù nahoru $ \leq $ poèet krokù dolù je maximálnì $\vert \sigma \vert$, kde  $\vert \sigma \vert$ je délka sena
  62 \:kroky 6.--8. mají èasovou slo¾itost $O$(\<poèet výskytù>), proto¾e rychleji opravdu nejdou v¹echny výskyty vypsat
  63 \endlist
  64
  65 \s{Konstrukce automatu} (Aho, Corasicková)
  66 \algo
  67 \:Postavíme strom dopøedných hran, $r \leftarrow$ koøen stromu.
  68 \:Spoèteme \<slovo>($\ast$).
  69 \:Spoèteme $z(\ast)$: $z(\beta)=\alpha(\beta[1:])$.
  70 \itemize\ibull
  71 \:$z(\beta) = \alpha(\beta[1:])$ - v¹echny zpìtné hrany vedou do vy¹¹ích hladin
  72 \:\<z(v) = krok(z(u),c)>
  73 \endlist
  74 \figure{Graphic100.eps}{\<z(v) = krok(z(u),c)>}{0.7in}
  75 \:$z(r) \leftarrow 0$, do fronty $Q$ pøiøadíme v¹echny syny $r$, pro v¹echny $v$ prvky $Q: z(v) \leftarrow r$
  76 \:Dokud fronta $Q$ není prázdná:
  77 \::$u\leftarrow$ vyber z $Q$.
  78 \::Pro syny $v$ vrcholu $u$:
  79 \:::$R \leftarrow$ \<krok>($z(u)$, znak na hranì \<uv>).
  80 \:::$z(v)\leftarrow R$.
  81
  82 \figure{Graphic101.eps}{}{0.7in}
  83 \:::Je-li $slovo(R) \not= 0 \Rightarrow out(v) \leftarrow R$, jinak $out(v) = out(R)$.
  84 \figure{Graphic102.eps}{}{0.7in}
  85 \endalgo
  86 \figure{vyhl_automat_full.eps}{Vyhledávací automat -- kompletní}{1in}
  87
  88 \s{Vìta:}
  89 Algoritmus A-C najde v¹echny výskyty slov $\iota_1, \ldots, \iota_k$ ve slove $\sigma$ v èase $$O(\Sigma_i \vert \iota_i \vert + \vert \sigma \vert + \<poèet výskytù>)$$
  90
  91 \h{Polynomy a násobení}
  92 Mìjme dva polynomy definované jako
  93 $$P(x) = \sum_{j=0}^{n-1} p_j x^j, Q(x) = \sum_{j=0}^{n-1} q_j x^j$$
  94 Násobení dvou polynomù $R=P*Q$ je ekvivalentní s operací $R = \sum_{j,k} p_j q_k x^{j+k}$. Pøièem¾ na vypoèítání èlenu $r_l = \sum_{j=0}^l p_j q_{l-j}$ pou¾ijeme $\Theta(n)$ operací, teda na spoèítaní celého polynomu $R$ potøebujeme $\Theta(n^2)$ operací.\par
  95
  96 Podíváme se na jinou mo¾nost, jak tento problém øe¹it. Poslou¾í nám k tomu následující vìta o jednoznaènosti existence polynomu nejvý¹e $k$-tého stupnì, pokud známe hodnoty v alespoò $k$ bodech.
  97
  98 \s{Vìta:} Jsou-li $x_0, \ldots, x_k \in \bb{R} $ navzájem ruzná a $y_0, \ldots, y_k \in \bb{R}$, pak $\exists !$ polynom P stupnì $\leq k : \forall j: P(x_j) = y_j$
  99
 100 \figure{polynom.eps}{Polynom}{2in}
 101
 102 \s{Plán:}
 103 Nech» $k=2n-1$, zvolíme $x_0, \ldots, x_k$  libolné, ale rùzná a spoèteme $P(x_0), \ldots, P(x_k)$ a $P(y_0), \ldots, P(y_k)$.
 104 Poté $\forall j: y_j=P(x_j)Q(x_j)$
 105 musíme najít polynom $R$ stupnì $\leq k: \forall j: R(x_j)=y_j$
 106
 107 \s{Vyhodnocování polynomù} (metodou Rozdìl a panuj)\par
 108 \>BÚNO $n=2^m$\par
 109 \>Uvá¾me polynom:
 110 $$P(x_j) = p_0 x^0 + p_1 x^1 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1}$$
 111 Tento polynom si mu¾eme rozdelit, na 2 èasti. V levé budeme mít èleny s exponentem sudým a v pravé budou èleny s lichými koeficienty.
 112 $$P(x_j) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + (p_1 x^1 + p_3 x^3 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1})$$
 113 Z pravé strany mù¾eme vytknout $x$ a dostaneme:
 114 $$P(x_j) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + x(p_1 + p_3 x^2 + \ldots + p_{n-1} x^{n-2})$$
 115 $$ \vdots $$
 116 $$P(x) = L(x^2) + xN(x^2)$$
 117 $$P(-x) = L(x^2) + xN(x^2)$$
 118 Kde $L(x)$ a $N(x)$ jsou polynomy stupnì $n/2$. Umonìním $x^2$ se nám poru¹í párování $x$ a $-x$, proto musíme poèítat v $\bb{C}$.
 119 Musíme si ale uvìdomit, ¾e tyto vztahy platí pouze, kdy¾ existuje pár $-x$ a $x$ v tìlese, nad kterým poèítáme. V tomto pøípade jsme z polynomu s $n$ koeficienty v $n$ bodech dostali $2$ polynomy s $n/2$ koeficienty v $n/2$ bodech. Z èeho¾ vyplývá èasová slo¾itost definována vztahem:
 120 $$T(n) = 2T(n/2) + O(n)$$
 121 Co¾ mù¾eme vyøeøit s pou¾itím Master Theoremu z ADS 1 a dostáváme
 122 $$T(n) = O(n \log n)$$
 123
 124 \bye
 125
 126