6-kostry/6-kostry.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{6}{Problém minimální kostry}{}
   4
   5 \s{Zadání úlohy:} Pro neorientovaný graf $G$ s~ohodnocením hran {\I váhami} $w: E(G) \rightarrow \bb R$,
   6 chceme najít kostru $T$ s minimálním ohodnocením $w(T)=\sum_{e\in E(T)} w(e)$.
   7
   8 \s{Navíc pøedpokládáme:} (bez újmy na~obecnosti)
   9 \itemize\ibull
  10 \:Graf $G$ je souvislý (jinak ho nejprve rozlo¾íme na komponenty).
  11 \:$\forall e,f \in E(G$) : $e\neq f \Rightarrow w(e)\neq w(f)$.
  12 \endlist
  13
  14 Nyní si uká¾eme tøi algoritmy pro hledání minimální kostry, konkrétnì se jedná
  15 o~Jarníkùv, Borùvkùv a Kruskalùv algoritmus.
  16
  17 \h{Jarníkùv algoritmus}
  18
  19 \s{Algoritmus:}
  20
  21 \algo
  22 \algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
  23 \:Zvolíme libovolný vrchol $v_0\in V(G)$.
  24 \:$T\leftarrow(\left\{v_0\right\},\emptyset)$ (zatím jednovrcholový strom)
  25 \:Dokud $\vert V(T) \vert \neq n$:
  26 \::Vybereme hranu $uv\in E(G) : u\in V(T), v\notin V(T)$ tak, aby $w(uv)$ byla minimálni.
  27 \::$T\leftarrow T+uv$.
  28 \algout Minimální kostra~$T$.
  29 \endalgo
  30
  31 \s{Vìta:} Jarníkùv algoritmus se zastaví po maximálnì $n$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.
  32
  33 \proof
  34 Pøi ka¾dé iteraci algoritmus pøidá jeden vrchol do~$T$, a~proto se po~maximálnì $n$ iteracích zastaví.
  35 Vydaný graf je strom, proto¾e se stále pøidává list k ji¾ existujícímu stromu, a~jeliko¾ má $n$~vrcholù,
  36 je to kostra. Zbývá nám u¾ jen dokázat, ¾e nalezená kostra je minimální. K~tomu pomu¾e následující lemma:
  37
  38 {\narrower
  39
  40 \s{Definice:} {\I Øez} v~grafu $G=(V,E)$ je mno¾ina hran $F\subseteq E$ taková, ¾e $\exists  U\subset V$ :
  41 $F=\left\{uv\in E:u\in U, v\notin U \right\}$.
  42
  43 \s{Lemma (øezové):} Pokud $G$ je graf, $w$ jeho prosté ohodnocení, $F$ je øez v
  44 grafu $G$ a $f$ je nejlehèí hrana v øezu $F$, pak pro ka¾dou minimální kostru
  45 $T$ grafu $G$ je $f\in E(T)$.
  46
  47 \proof
  48 Buï $T$ kostra a $f=uv\notin E(T)$. Pak existuje cesta $P\subseteq T$ spojující $u$ a $v$.
  49 Cesta musí øez alespoò jednou pøekroèit. Proto existuje $e\in P \cap F$ a navíc víme, ¾e $w(e) > w(f)$. Uva¾me $T'=T-e+f$.
  50 Tento graf je rovnì¾ kostra grafu $G$, proto¾e odebraním hrany $e$ se graf rozpadne na dvì komponenty a pøidáním
  51 hrany $f$ se tyto komponenty opìt spojí. Navíc $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$.
  52 \qed
  53
  54 }
  55
  56 \>V~dùkazu korektnosti Jarníkova algoritmu toto lemma vyu¾ijeme tak, ¾e si v¹imneme, ¾e hrany mezi
  57 vrcholy stromu~$T$ a zbytkem grafu tvoøí øez a algoritmus nejlehèí hranu tohoto øezu pøidá
  58 do~$T$. Podle lemmatu tedy v¹echny hrany~$T$ musí být souèástí ka¾dé minimální kostry a jeliko¾~$T$ je strom,
  59 musí být minimální kostrou.
  60
  61 \qed
  62
  63
  64 \s{Dùsledky:} Graf $G$ s prostým ohodnocením má pravì jednu minimální kostru. Minimální kostra je
  65 jednoznaènì urèená lineárním uspoøádáním hran.
  66
  67 \s{Implementace:}
  68 \itemize\ibull
  69 \:Pøímoèará: pamatujeme si, které vrcholy a hrany jsou v kostøe $T$ a které ne. Èasová slo¾itost je $\O(nm)$.
  70 \:Chytøej¹í: Pro $v\notin V(T)$ si pamatujeme $D(v)=\min\left\{w(uv):u\in T\right\}$. Pøi ka¾dém
  71 prùchodu hlavním cyklem pak procházíme v¹echna~$D(v)$ (to v¾dy trvá $\O(n)$) a pøi pøidání vrcholu do~$T$ kontrolujeme
  72 okolní~$D(w)$ pro $vw\in E$ a pøípadnì je sni¾ujeme (za~ka¾dou hranu~$\O(1)$). Èasovou slo¾itost tím celkovì
  73 zlep¹íme na~$\O(n^2+m)=\O(n^2)$.
  74 \:Také se dá pou¾ít halda pro uchovávání hran nebo hodnot~$D(v)$.
  75 \endlist
  76
  77 \h{Borùvkùv algoritmus}
  78
  79 \s{Algoritmus:}
  80
  81 \algo
  82 \algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
  83 \:$F\leftarrow(V(G),\emptyset)$
  84 \:Dokud $F$ má alespoò dvì komponenty:
  85 \::Pro ka¾dou komponentu $T_i$ grafu $F$ vybereme nejlehèí incidentní hranu $t_i$.
  86 \::V¹echny hrany $t_i$ pøidáme do $F$.
  87 \algout Minimální kostra~$F$.
  88 \endalgo
  89
  90 \s{Vìta:} Borùvkùv algoritmus se zastaví po $\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.
  91
  92 \proof
  93 V¹imnìme si nejprve, ¾e po~$k$ iteracích mají v¹echny komponenty grafu~$F$ minimálnì $2^k$ vrcholù
  94 (indukcí -- na~poèátku jsou v¹echny komponenty jednovrcholové, v~ka¾dé dal¹í
  95 iteraci se komponenty sluèují do~vìt¹ích,
  96 ka¾dá s~alespoò jednou sousední, tak¾e se velikosti komponent minimálnì zdvojnásobí).
  97 Proto nejpozdìji po~$\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích u¾~velikost komponenty dosáhne poètu v¹ech vrcholù a algoritmus
  98 se zastaví.
  99
 100 Hrany mezi ka¾dou komponentou a~zbytkem grafu tvoøí øez, tak¾e podle øezového
 101 lemmatu v¹echny hrany pøidané do~$F$ musí být souèástí (jednoznaènì
 102 urèené) minimální kostry. Graf $F\subseteq G$ je tedy v¾dy les a a¾ se
 103 algoritmus zastaví, bude roven minimální kostøe.
 104 \qed
 105
 106 \s{Implementace:}
 107 \itemize\ibull
 108 \:Inicializace pøímoèará.
 109 \:Pomocí DFS rozlo¾íme les na komponenty. Pro ka¾dý vrchol si pamatujeme èíslo komponenty.
 110 \:Pro ka¾dou hranu zjistíme, do které komponenty patøí, a pro ka¾dou komponentu
 111 si uchováme nejlehèí hranu.
 112 \endlist
 113
 114 \>Takto doká¾eme ka¾dou iteraci provést v~èase $\O(m)$ a celý algoritmus dobìhne v~$\O(m\log n)$.
 115
 116 \h{Kruskalùv neboli hladový algoritmus}
 117
 118 \s{Algoritmus:}
 119
 120 \algo
 121 \algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
 122 \:Setøídíme v¹echny hrany z $E(G)$ tak, aby: $w(e_1)<...<w(e_m)$.
 123 \:$F\leftarrow (V(G),\emptyset)$.
 124 \:Pro $i=1$ do $m$:
 125 \::Pokud $F+e_i$ je acyklický, provedeme $F\leftarrow F+e_i$.
 126 \algout Minimální kostra~$F$.
 127 \endalgo
 128
 129 \s{Vìta:} Kruskalùv algoritmus se zastaví po~$m$ iteracích a vydá minimální kostru.
 130
 131 \proof
 132 Ka¾dá iterace algoritmu zpracovává jednu hranu, tak¾e iterací je~$m$. Indukcí doká¾eme,
 133 ¾e~$F$ je v¾dy podgrafem minimální kostry: prázdné poèáteèní~$F$ je podgrafem èehokoliv,
 134 ka¾dá hrana, kterou pak pøidáme, je minimální v~øezu oddìlujícím nìjakou
 135 komponentu~$F$ od~zbytku grafu (ostatní hrany tohoto øezu je¹tì nebyly
 136 zpracovány, a~tudí¾ jsou tì¾¹í). Naopak ¾ádná hrana, kterou jsme se rozhodli
 137 do~$F$ nepøidat, nemù¾e být souèástí minimální kostry, jeliko¾ s~hranami,
 138 o~kterých ji¾ víme, ¾e v~minimální kostøe le¾í, tvoøí kru¾nici. \qed
 139
 140 % Toto jsme na pøedná¹ce dìlali sporem a mì se to líbí více, ale oba dùkazy
 141 % urèitì fungují.
 142
 143 \s{Implementace:}
 144 \itemize\ibull
 145 \:Setøídìní v èase $\O(m\log m)=\O(m\log n)$.
 146 \:Pak potøebujeme udr¾ovat komponenty souvislosti grafu~$F$, abychom umìli rychle
 147   urèit, jestli právì zpracovávaná hrana vytvoøí kru¾nici. Potøebujeme tedy strukturu
 148   pro udr¾ování komponent souvislosti, které se $m$-krát zeptáme, zda dva vrcholy
 149   le¾í v~té¾e komponentì (tomu budeme øíkat operace \<Find>), a~$(n-1)$-krát spojíme
 150   dvì komponenty do jedné (\<Union>).
 151 \endlist
 152
 153 \>Kruskalùv algoritmus tedy pobì¾í v~èase $\O(m\log n + mT_f + nT_u)$, kde~$T_u$ je
 154 èas na~provedení jedné operace \<Union> a $T_f$ na~operaci \<Find>.
 155
 156 \s{Jednoduchá struktura pro komponenty:}
 157 Budeme si pamatovat v~poli èísla komponent, ve~kterých le¾í jednotlivé
 158 vrcholy. \<Find> zvládneme v~èase $\O(1)$, ale \<Union> bude stát $\O(n)$. Celý
 159 algoritmus pak pobì¾í v~èase $\O(m\log n+ m + n^2) = \O(m\log n+n^2)$.
 160
 161 \s{Chytøej¹í struktura:} Ka¾dou komponentou si ulo¾íme jako strom orientovaný smìrem ke koøeni
 162 -- ka¾dý vrchol si pamatuje svého otce, navíc ka¾dý koøen si pamatuje velikost
 163 komponenty.
 164 %Hloubku podstromu? Zaøazujeme mìlèí pod hlub¹í, ne nutnì men¹í pod vìt¹í.
 165 %Myslím, ¾e s hloubkami to funguje lépe, ovìøit.
 166 Operace \<Find> vystoupá z~obou vrcholù ke~koøeni a koøeny porovná. \<Union>
 167 rovnì¾ najde koøeny a pøipojí koøen men¹í komponenty pod koøen té vìt¹í. Obojí
 168 zvládneme v~èase lineárním v~hloubce stromu a jak si uká¾eme, tato hloubka je
 169 v¾dy nejvý¹e logaritmická, a proto celý Kruskalùv algoritmus pobì¾í v~èase
 170 $\O(m\log n + m\log n + n\log n) = \O(m\log n)$.\foot{%
 171 Drobnou úpravou bychom mohli dosáhnout daleko efektivnìj¹í struktury, ale tu
 172 bychom neupotøebili,
 173 jeliko¾ by nás stejnì brzdilo tøídìní, a analýza slo¾itosti by byla \dots\ inu, slo¾itìj¹í.}
 174
 175 % V originále je jen "strom hloubky..." a to pøece pro obecný (napø.
 176 % zdegenerovaný) strom neplatí.
 177
 178 % Mimochodem, zde se u¾ mluví o spojování podle hloubky, tak¾e to nahoøe je asi
 179 % vá¾nì chyba
 180 \s{Lemma:} \<Union-Find> strom hloubky $h$ má alespoò $2^h$ prvkù.
 181
 182 \proof
 183 Indukcí: Pokud \<Union> spojí strom s~hloubkou $h$ s jiným s~hloubkou men¹í ne¾ $h$, pak hloubka výsledného
 184 stromu zùstává~$h$. Pokud spojuje dva stromy stejné hloubky~$h$, pak má výsledný strom hloubku $h+1$.
 185 Z~indukèního pøedpokladu víme, ¾e strom hloubky $h$ má minimálnì $2^h$ vrcholù,
 186 a~tedy výsledný strom hloubky $h+1$ má alespoò $2^{h+1}$ vrcholù. \qed
 187
 188 % Union-find je jsme mìli na pøedná¹ce detailnìji rozebraný (i s pseudokódem),
 189 % není to nutnost, ale mù¾u ho klidnì rozepsat trochu výøeènìji, aby mìl ètenáø
 190 % vìt¹í jistotu. Zále¾í na tobì.
 191
 192 \bye