6-borjar/6-borjar.tex

   1 \input ../sgr.tex
   2
   3 \prednaska{6}{Rychlej¹í algoritmy na minimální kostry}{}
   4
   5 V~této kapitole popí¹eme nìkolik pokroèilej¹ích algoritmù pro problém minimální
   6 kostry. Vesmìs to budou rùzná vylep¹ení klasických algoritmù z~minulé kapitoly.
   7
   8 \h{Upravená verze Borùvkova algoritmu pro rovinné grafy}
   9
  10 Vyjdeme z my¹lenky, ¾e mù¾eme po ka¾dém kroku pùvodního Borùvkova algoritmu vzniklé komponenty
  11 souvislosti grafu kontrahovat do jednoho vrcholu a tím získat men¹í graf, který mù¾eme
  12 znovu rekurzivnì zmen¹ovat. To funguje obecnì, ale uká¾eme, ¾e pro rovinné grafy tak dosáhneme
  13 lineární èasové slo¾itosti.
  14
  15 \s{Pozorování:}
  16 Pokud $F \subseteq {\rm MST}(G)$ (kde ${\rm MST}(G)$ je minimální kostra grafu~$G$), $G'$~je graf vzniklý
  17 z~$G$ kontrakcí podél hran z~$F$, pak kostra grafu~$G$, která vznikne z~${\rm MST}(G')$ zpìtným
  18 expandováním kontrahovaných vrcholù, je ${\rm MST}(G)$. Pokud kontrakcí vzniknou
  19 smyèky, mù¾eme je ihned odstraòovat; pokud paralelní hrany, ponecháme z~nich v¾dy tu nejlehèí.
  20 To nás vede k následujícímu algoritmu:
  21
  22 \s{Algoritmus: MST v rovinných grafech} \cite{mm:mst}
  23 \algo
  24 \:Ke ka¾dému vrcholu najdeme nejlevnìj¹í incidentní hranu -- dostaneme mno¾inu hran $F \subseteq E$.
  25 \:Graf kontrahujeme podle $F$ následovnì:
  26 \::Prohledáme do ¹íøky graf $(V, F)$ a pøiøadíme ka¾dému vrcholu èíslo komponenty, v~ní¾ se nachází.
  27 \::Pøeèíslujeme hrany v~$G$ podle èísel komponent.
  28 \:Odstraníme násobné hrany:
  29 \::Setøídíme hrany lexikograficky pøihrádkovým tøídìním (násobné hrany jsou nyní pospolu).
  30 \::Projdeme posloupnost hran a z~ka¾dého úseku multihran odstraníme v¹echny a¾ na nejlevnìj¹í hranu.
  31 Také odstraníme smyèky.
  32 \:Pokud stále máme netriviální graf, opakujeme pøedchozí kroky.
  33 \:Vrátíme jako MST v¹echny hrany, které se v~prùbìhu algoritmu dostaly do~$F$.
  34 \endalgo
  35
  36 \s{Èasová slo¾itost:}
  37 Oznaème si $n_i$ a $m_i$ poèet vrcholù a hran na~poèátku $i$-té iterace.
  38 Ka¾dý z~krokù 1--7 trvá $\O(m_i)$, proto i celý cyklus algoritmu trvá $\O(m_i)$.
  39 Poèet vrcholù grafu klesá s~ka¾dým cyklem exponenciálnì: $n_i \leq n / 2^i$.
  40 Na~zaèátku ka¾dého cyklu je graf rovinný (kontrakcí hrany v~rovinném grafu se rovinnost
  41 zachovává) a není to multigraf, tak¾e poèet jeho hran je lineární v poètu vrcholù:
  42 $m_i < 3n_i$. Celkovou èasovou slo¾itost dostaneme jako souèet dob trvání
  43 v¹ech cyklù: $\O(\sum_i m_i) = \O(\sum_i n_i) = \O(n)$.
  44
  45 \h{Minorovì uzavøené tøídy}
  46
  47 Pøedchozí algoritmus ve~skuteènosti funguje v~lineárním èase i pro obecnìj¹í tøídy grafù,
  48 ne¾ jsou grafy rovinné. Tím správným universem jsou minorovì uzavøené tøídy:
  49
  50 \s{Definice:}
  51 Graf $H$ je {\I minorem} grafu $G$ (znaèíme $H \preceq G$) $\equiv$ $H$ lze z $G$ získat
  52 mazáním vrcholù èi hran a kontrahováním hran (s~odstranìním smyèek a násobných hran).
  53
  54 \s{Pozorování:}
  55 $H \subseteq G \Rightarrow H \preceq G$.
  56
  57 \s{Definice:}
  58 Tøída grafù $\cal C$ je {\I minorovì uzavøená} $\equiv \forall G,H: G \in {\cal C}, H \preceq G \Rightarrow H \in {\cal C}$.
  59
  60 \s{Vìta:} (Robertson, Seymour)
  61 Pokud je $\cal C$ minorovì uzavøená tøída grafù, existuje koneèná mno¾ina grafù $Z$ taková,
  62 ¾e pro ka¾dý graf $G$ platí:
  63 $$G \not\in {\cal C} \iff \exists H \in Z: H \preceq G.$$
  64 Jinými slovy, ka¾dou minorovì uzavøenou tøídu lze charakterizovat {\I koneèným} poètem zakázaných minorù.
  65 To není samo sebou, dokazuje se to dosti obtí¾nì (a~je to jedna z~nejslavnìj¹ích kombinatorických
  66 vìt za~posledních mnoho let), ale plyne z~toho spousta zajímavých dùsledkù.
  67 Pìkné shrnutí této teorie najdete napøíklad v~Diestelove knize~\cite{diestel:gt}.
  68
  69 \s{Pozorování:} Napøíklad pro rovinné grafy jsou tìmi zakázanými minory právì
  70 $K_{3,3}$ a $K_5$. To plyne z~Kuratowského vìty: jedna implikace je triviální,
  71 druhá dá trochu práce: pokud je $K_{3,3} \preceq G$, najde se v~$G$ podgraf
  72 isomorfní nìjakému dìlení~$K_{3,3}$; pokud je $K_5 \preceq G$, podgraf isomorfní
  73 dìlení~$K_5$ se v~$G$ najít nemusí, ale pokud se nenajde, najde se tam podgraf isomorfní
  74 dìlení $K_{3,3}$. (Zkuste si sami.)
  75
  76 \s{Vìta:} (Robertson, Seymour)
  77 Pokud je tøída grafù $\cal C$ minorovì uzavøená a netriviální (alespoò jeden graf v~ní le¾í
  78 a alespoò jeden nele¾í), pak $\exists c > 0: \forall G \in {\cal C}:
  79 \vert E(G) \vert \leq c\cdot  \vert V(G) \vert$.
  80
  81 \s{Dùsledek:}
  82 Jeliko¾ v¹echny grafy vygenerované pøedchozím algoritmem jsou minory grafu ze~vstupu,
  83 mù¾eme pro odhad jejich hustoty pou¾ít pøedchozí vìtu a dostaneme lineární èasovou slo¾itost
  84 dokonce pro ka¾dou netriviální minorovì uzavøenou tøídu grafù.
  85
  86 \h{Jarníkùv algoritmus s Fibonacciho haldou}
  87
  88 Pùvodní Jarníkùv algoritmus s~haldou má díky ní slo¾itost $\O(m\log n)$, to zlep¹íme pou¾itím
  89 Fibonacciho haldy $H$, do~které si pro ka¾dý vrchol sousedící se zatím vybudovaným stromem~$T$
  90 ulo¾íme nejlevnìj¹í z~hran vedoucích mezi tímto vrcholem a stromem~$T$. Tyto hrany bude halda
  91 udr¾ovat uspoøádané podle vah.
  92
  93 \newcount\algcnt
  94 \s{Algoritmus: Jarníkùv algoritmus~\#2 (Fredman, Tarjan \cite{ft:fibonacci})}
  95 \algo
  96 \:Zaèneme libovolným vrcholem $v_0$, $T\leftarrow \{v_0\}$.
  97 \:Do~haldy $H$ umístíme v¹echny hrany vedoucí z~$v_0$.
  98 \:Opakuji dokud $H\neq\emptyset$:
  99 \::$vw\leftarrow \<DeleteMin>(H)$, pøièem¾ $v\not\in T, w\in T$.
 100 \::$T\leftarrow T\cup\{vw\}$
 101 \::Pro v¹echny sousedy $u$ vrcholu $v$, které dosud nejsou v~$T$, upravíme haldu:
 102 \:::Pokud je¹tì v~$H$ není hrana incidentní s~$u$, pøidáme hranu~$uv$.
 103 \:::Pokud u¾ tam nìjaká taková hrana je a je-li tì¾¹í ne¾ $uv$, nahradíme ji
 104 hranou~$uv$ a provedeme \<DecreaseKey>.
 105 \global\algcnt=\itemcount
 106 \endalgo
 107
 108 \>Správnost algoritmu pøímo plyne ze~správnosti Jarníkova algoritmu.
 109
 110 \s{Èasová slo¾itost:}
 111 Slo¾itost tohoto algoritmu bude $\O(m+n\log n)$, nebo» vnìj¹í cyklus se provede
 112 nanejvý¹ $n$-krát, za~\<DeleteMin> v~nìm tedy zaplatíme celkem $\O(n\log n)$, za~pøidávání
 113 vrcholù do~$H$ a~nalézání nejlevnìj¹ích hran zaplatíme celkem $\O(m)$ (na~ka¾dou hranu takto
 114 sáhneme nanejvý¹ dvakrát), za~sni¾ování vah vrcholù v~haldì rovnì¾ pouze $\O(m)$
 115 (nanejvý¹ $m$-krát provedu porovnání vah a \<DecreaseKey> v~kroku~\the\algcnt\ za~$\O(1)$).
 116
 117 Toto zlep¹ení je dùle¾itìj¹í, ne¾ by se mohlo zdát, proto¾e nám pro grafy s~mnoha hranami
 118 (konkrétnì pro grafy s~$m=\Omega(n\log n)$) dává lineární algoritmus.
 119
 120 \h{Kombinace Jarníkova a Borùvkova algoritmu}
 121
 122 K~dal¹ímu zlep¹ení dojde, kdy¾ pøed pøedchozím algoritmem spustíme $\log\log n$ cyklù Borùvkova
 123 algoritmu s~kontrahováním vrcholù, èím¾ graf zahustíme.
 124
 125 \s{Algoritmus: Jarníkùv algoritmus~\#3 (pùvod neznámý)}
 126 \algo
 127 \:Provedeme $\log\log n$ cyklù upraveného Borùvkova algoritmu s~kontrahováním hran popsaného vý¹e.
 128 \:Pokraèujeme Jarníkovým algoritmem~\#2.
 129 \endalgo
 130
 131 \s{Èasová slo¾itost:}
 132 Slo¾itost první èásti je $\O(m\log\log n)$.
 133 Poèet vrcholù se po~první èásti algoritmu sní¾í na~$n'\leq n/\log n$ a slo¾itost druhé èásti bude
 134 tedy nanejvý¹ $\O(m+n'\log n'/\log n)=\O(m)$.
 135
 136 \h{Jarníkùv algoritmus s~omezením velikosti haldy}
 137
 138 Je¹tì vìt¹ího zrychlení dosáhneme, omezíme-li Jarníkovu algoritmu \#2 vhodnì
 139 velikost haldy, tak¾e nám nalezne jednotlivé podkostøièky zastavené v~rùstu
 140 pøeteèením haldy. Podle tìchto podkostøièek graf následnì skontrahujeme
 141 a budeme pokraèovat s~mnohem men¹ím grafem.
 142
 143 \s{Algoritmus: Jarníkùv algoritmus~\#4 (Fredman, Tarjan \cite{ft:fibonacci})}
 144 \algo
 145 \:Opakujeme, dokud máme netriviální $G$ (s alespoò jednou hranou):
 146 \::$t\leftarrow\vert V(G)\vert$.
 147 \::Zvolíme $k\leftarrow 2^{2m/t}$ (velikost haldy).
 148 \::$T\leftarrow\emptyset$.
 149 \::Opakujeme, dokud existují vrcholy mimo $T$:
 150 \:::Najdeme vrchol $v_0$ mimo $T$.
 151 \:::Spustíme Jarníkùv alg. \#2 pro celý graf od $v_0$. Zastavíme ho, pokud:
 152 \global\algcnt=\itemcount
 153 \::::$\vert H\vert\geq k$ (byla pøekroèena velikost haldy) nebo
 154 \::::$H=\emptyset$ (do¹li sousedé) nebo
 155 \::::do $T$ jsme pøidali hranu oboustrannì incidentní s~hranami v~$T$ (pøipojili
 156 jsme novou podkostru k~nìjaké u¾ nalezené).
 157 \::Kontrahujeme $G$ podle podkoster nalezených v~$T$.
 158 \endalgo
 159
 160 \s{Pozorování:}
 161 Pokud algoritmus je¹tì neskonèil, je ka¾dá z~nalezených podkoster v~$T$ incidentní s~alespoò $k$ hranami.
 162 Jak to vypadá pro jednotlivá ukonèení:
 163 \numlist\ndotted
 164 \itemcount=\algcnt
 165 \:$\vert H\vert\geq k$ -- v¹echny hrany v~haldì jsou incidentní s~$T$ a navzájem rùzné, tak¾e incidentních je dost.
 166 \:$H=\emptyset$ -- nemù¾e nastat, algoritmus by skonèil.
 167 \:Pøipojím se k~u¾ existující podkostøe -- jen ji zvìt¹ím.
 168 \endlist
 169
 170 \s{Èasová slo¾itost:}
 171 Dùsledkem pøedchozího pozorování je, ¾e poèet podkoster v~jednom prùchodu je nanejvý¹
 172 $2m/k$. Pro $t'$ a $k'$ v následujícím kroku potom platí $t'\leq 2m/k$ a $k'=2^{2m/t'}\geq 2^k$.
 173 Prùchodù bude tedy nanejvý¹ $\log^* n$\foot{$\log^* n$ je inverzní funkce k~\uv{vì¾i
 174 z~mocnin}, èili $\min\{i:\log^{(i)} n<1 \}$, kde $\log^{(i)} n$ je $i$-krát iterovaný
 175 logaritmus.}, proto¾e prùchod s~$k>n$ bude u¾ urèitì poslední.
 176 Pøitom jeden vnìj¹í prùchod trvá $\O(m+t\log k)$, co¾ je pro $k=2^{2m/t}$
 177 rovno $\O(m)$. Celkovì tedy algoritmus pobì¾í v~èase $\O(m\log^{*}n)$.
 178
 179 I~odhad $\log^* n$ je ale pøíli¹ hrubý, proto¾e nezaèínáme s~haldou velikosti~1, nýbr¾
 180 $2^{2m/n}$. Mù¾eme tedy poèet prùchodù pøesnìji omezit funkcí $\beta(m,n)=\min\{i:\log^{(i)}n<m/n\}$
 181 a èasovou slo¾itost odhadnout jako $\O(m\beta(m,n))$. To nám dává lineární algoritmus
 182 pro grafy s~$m\geq n\log^{(k)}n$ pro libovolnou konstantu $k$, jeliko¾ $\beta(m,n)$ tehdy vyjde
 183 omezená konstantou.
 184
 185 \h{Dal¹í výsledky}
 186
 187 \itemize\ibull
 188 \:$\O(m\alpha(m,n))$, kde $\alpha(m,n)$ je obdoba inverzní
 189   Ackermannovy funkce definovaná podobnì, jako je $\beta(m,n)$ obdobou $\log^*$.
 190   \cite{chazelle:ackermann}, \cite{pettie:ackermann}
 191 \:$\O({\cal T}(m,n))$, kde ${\cal T}(m,n)$ je hloubka optimálního rozhodovacího stromu
 192   pro nalezení minimální kostry v~grafech s~patøièným poètem hran a vrcholù
 193   \cite{pettie:optimal}.
 194   Jeliko¾ ka¾dý deterministický algoritmus zalo¾ený na~porovnávání vah lze popsat rozhodovacím stromem,
 195   je tento algoritmus zaruèenì optimální. Jen bohu¾el nevíme, jak optimální stromy vypadají, tak¾e
 196   je stále otevøeno, zda lze MST nalézt v~lineárním èase. Nicménì jeliko¾ tento algoritmus
 197   pracuje i na~Pointer Machine, proèe¾ víme, ¾e pokud je lineární slo¾itosti mo¾né dosáhnout, není k~tomu
 198   potøeba výpoèetní síla RAMu.\foot{O výpoèetních modelech viz pøí¹tí kapitola.}
 199 \:$\O(m)$ pro grafy s~celoèíselnými vahami (na~RAMu) \cite{fw90trans} -- uká¾eme v~jedné
 200   z~následujících kapitol.
 201 \:$\O(m)$, pokud u¾ máme hrany setøídìné podle vah: jeliko¾ víme, ¾e zále¾í jen na~uspoøádání,
 202   mù¾eme váhy pøeèíslovat na~$1\ldots n$ a pou¾ít pøedchozí algoritmus.
 203 \:$\O(m)$ randomizovanì v~prùmìrném pøípadì \cite{karger:randomized}.
 204 \:Na~zji¹tìní, zda je zadaná kostra minimální, staèí $\O(m)$ porovnání \cite{komlos:verify} a dokonce
 205   lze v~lineárním èase zjistit, která to jsou \cite{king:verify}. Z~toho ostatnì vychází pøedchozí
 206   randomizovaný algoritmus.
 207 \endlist
 208
 209 \references
 210 \bye