5-sortnet/5-sortnet.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2 \input epsf
   3 \def\itm{\item{$\bullet$}}
   4
   5 \prednaska{5}{Tøídicí sítì}{(zapsaly T.~Klimo¹ová
   6 a~K.~B\"ohmová)}
   7
   8 \h{Goldbergùv algoritmus -- pokraèování}
   9
  10 Algoritmus upøesníme tak, ¾e místo libovolného vrcholu s~pøebytkem
  11 budeme v¾dy pracovat s~takovým vrcholem~$v$, jeho¾ vý¹ka~$h(v)$ je
  12 nejvìt¹í. Jak doká¾eme v~následujícím lemmatu, sní¾í se tím poèet
  13 potøebných nenasycených pøevedení. Takto modifikovaný algoritmus
  14 budeme znaèit~$G'$.
  15
  16 \s{Lemma $N'$:} V~algoritmu $G'$ je poèet nenasycených pøevedení
  17 $\O(N^3)$.
  18
  19 \proof
  20 Definujme $H$~jako maximální vý¹ku vrcholù s~pøebytkem:
  21  $$H:=\max\{h(v) : v \not= z,s, f^\triangle (v) > 0\}.$$
  22 Bìh algoritmu $G'$ rozdìlíme na fáze tak, ¾e fáze skonèí po ka¾dé zmìnì
  23 $H$. Odhadneme poèet nenasycených pøevedení v~jedné fázi: bude jich
  24 nanejvý¹ stejnì jako vrcholù, které se na zaèátku fáze nacházely na
  25 nejvy¹¹í hladinì -- z~jiných vrcholù v~prùbìhu fáze nic nepøevádíme
  26 a~nenasycené pøevedení mù¾eme provést z~ka¾dého vrcholu nejvý¹e
  27 jednou. Poèet nenasycených pøevedení za fázi je proto nejvý¹e~$N$.
  28
  29 Odhadneme poèet fází: rozdìlíme fáze podle toho, jestli konèí sní¾ením
  30 nebo zvý¹ením~$H$ a~odhadneme jejich poèty. Maximálnì $2N^2$ fází mù¾e
  31 konèit zvý¹ením~$H$, proto¾e dle lemmatu Z~provedeme nanejvý¹ $2N^2$
  32 zvednutí. Sní¾ením~$H$ mù¾e konèit nanejvý¹ $2N^2$ fází, proto¾e~$H$
  33 klesne v¾dy alespoò o~jedna, pùvodnì bylo nula a~nikdy nemù¾e být záporné --
  34 klesnout tedy nemù¾e víckrát ne¾ vzrùst.
  35
  36 Máme maximálnì $4N^2$ fází o~nejvý¹e~$N$ nenasycených pøevedení,
  37 celkem tedy algoritmus $G'$ provede $\O(N^3)$ nenasycených pøevedení.
  38 \qed
  39
  40 \medskip
  41 \>Ve skuteènosti je algoritmus je¹tì lep¹í (alespoò pro øídké
  42 grafy):
  43
  44 \s{Lemma $N''$:} V~algoritmu $G'$ je poèet nenasycených pøevedení $\O(N^2
  45 \sqrt M)$.
  46
  47 \proof
  48 (Nezkou¹í se.) Algoritmus rozdìlíme na fáze stejnì jako v~dùkazu
  49 pøedchozího lemmatu a~zvolíme pøirozené èíslo~$K$ (jak velké ho
  50 zvolíme, se rozhodneme a¾ na konci dùkazu).
  51 Fáze tentokrát budeme dìlit na drahé, v~nich¾ se provede více ne¾~$K$
  52 nenasycených pøevedení, a~laciné, v~nich¾ se nenasycených pøevedení
  53 provede maximálnì~$K$.
  54
  55 Nyní budeme zkoumat poèty pøevedení v~obou typech fází.
  56 Jak víme z~minulého lemmatu, v¹ech fází je nanejvý¹ $4N^2$, tak¾e
  57 v~laciných se provede nanejvý¹ $4N^2K$ nenasycených pøevedení.
  58 Za úèelem zkoumání drahých fází definujeme potenciál:
  59 $$\psi:=\sum_{v\not=z,s; f^\triangle(x)>0}{ p(v)\over K},$$ kde
  60 $p(v):= \vert\{u : h(u) \leq h(v)\}\vert$, èili poèet vrcholù ve stejné
  61 nebo men¹í vý¹ce ne¾~$v$. Víme, ¾e na zaèátku bude $\psi \leq
  62 {N^2/K}$ a~po celou dobu bude $\psi \geq 0$.
  63
  64 Zvednutím vrcholu~$v$ se hodnota $p(v)$ zvý¹í maximálnì o~$N$, u~libovolného
  65 jiného vrcholu~$w$ jeho $p(w)$ klesne nebo se nezmìní, potenciál tedy
  66 vzroste maximálnì o~$N/K$.
  67 Pøi sytém pøevedení po hranì z~$u$ do~$v$ (z~minula víme, ¾e se v¾dy
  68 provádí po hranì spádu nejvý¹e jedna) se mohl potenciál zmen¹it o~$p(u)/K$
  69 a~mohl se zvìt¹it o~$p(v)/K$. Zvìt¹í se tedy nanejvý¹ o~$N/K$
  70 Pøi nenasyceném pøevedení z~potenciálu urèitì ubude $p(u)/K$
  71 a~mo¾ná pøibude $p(v)/K$. Celkovì se tedy sní¾í nanejvý¹
  72 o~${p(u)/K} - {p(v)/K}$, co¾ je $1/K$~poètu prvkù na nejvy¹¹í
  73 hladinì. Z~minulého lemmatu víme, ¾e poèet nenasycených pøevedení
  74 v~jedné fázi je men¹í nebo roven poètu vrcholù na nejvy¹¹í hladinì na
  75 zaèátku fáze. Vzhledem k~tomu, ¾e zkoumáme drahé fáze, v~nich¾ probìhne
  76 více ne¾~$K$ nenasycených pøevedení, vrcholù na nejvy¹¹í hladinì musí
  77 být na zaèátku fáze také více ne¾~$K$, potenciál se tedy sní¾í o~více
  78 ne¾ ${K/K}=1$.
  79
  80 Potenciál $\psi$ tedy pøijme na zaèátku nanejvý¹ ${N^2/K}$, pøi
  81 zvedání nevzroste o~víc ne¾ $(N/K)2N^2$, pøi sytém pøevádìní
  82 nevzroste o~víc ne¾ $(N/K)NM$, tak¾e za celý prùbìh algoritmu potenciál vzroste maximálnì o
  83 $(N/2)(N+2N^2+NM)=\O({N^2}M/2)$, v~drahých fázích tak mù¾e probìhnout
  84 nanejvý¹ $\O({N^2}M/2)$ nenasycených pøevedení.
  85 Celkem algoritmus vykoná $\O(N^2K+{N^2}M/K)$ nenasycených
  86 pøevedení. Kdy¾ za~$K$ dosadíme $\sqrt M$, dostaneme slíbený poèet
  87 $\O(N^2\sqrt M)$.
  88 \qed
  89
  90 \s{Implementace:}
  91 Narozdíl od pùvodní verze algoritmu si ve verzi se zvedáním nejvy¹¹ího
  92 vrcholu nebudeme pamatovat seznam vrcholù s~kladným pøebytkem, ale
  93 setøídìný seznam pøihrádek. V~ka¾dé pøihrádce budou jen vrcholy
  94 s~pøebytkem s~urèitou vý¹kou. Vyhledání nejvy¹¹ího vrcholu tedy
  95 zvládneme v konstantním èase, stejnì pro zvý¹ení vrcholu nám staèí
  96 $\O(1)$ (buï vrchol pøesuneme do vedlej¹í pøihrádky, nebo pro nìj
  97 zalo¾íme novou). Pøevádíme-li pøebytek do vrcholu, kde pøedtím nebyl,
  98 pak musí mít vý¹ku o~$1$ ni¾¹í, ne¾ vrchol, ze kterého pøebytek
  99 pøevádíme (jinak by existovala nenasycená hrana se spádem dva, co¾
 100 nejde). Najít (pøípadnì vytvoøit) pøihrádku novì vzniklému vrcholu
 101 s~pøebytkem tak také stihneme v~konstantním èase.
 102 Pro zvednutí nám tedy stále staèí èas $\O(N)$ a libovolné
 103 pøevedení pøebytku zvládneme v~$\O(1)$.
 104
 105 \medskip
 106 \h{Tøídìní}
 107
 108 \s{Definice:} {\I Komparátorová sí»} je kombinaèní obvod, jeho¾ hradla jsou
 109 komparátory:
 110
 111 \centerline{\epsfbox{sortnet.0}} Komparátor dostane na
 112 vstupu dvì èísla, porovná je a~na levý výstup vrátí men¹í z~nich, na
 113 pravý výstup naopak vrací vìt¹í èíslo ze zadané dvojice.
 114
 115 \>Výstupy komparátorù se nevìtví.
 116
 117 \medskip
 118 \s{Pøíklad:} {\sl Bubble sort}
 119
 120 Obrázek Bubble.1 ilustruje pou¾ití komparátorù pro tøídìní bubble
 121 sortem. ©ipky pøedstavují jednotlivé komparátory.
 122
 123 \twofigures{sortnet.1}{Bubble.1}{143pt}{sortnet.2}{Bubble.2}{143pt}
 124
 125 Sna¾íme se výpoèet co nejvíce paralelizovat (viz obrázek Bubble.2).
 126 Takto se nám podaøilo výpoèet provést pomocí $\O(n^2)$ komparátorù
 127 rozmístìných na $\O(n)$ hladinách. Tøídíme v~èase~$n$ a~prostoru
 128 $n^2$.
 129
 130 %\medskip
 131 %\s{Pøíklad:} {\>\sl Merge sort}
 132 %\centerline{\epsfbox{sortnet.4}}
 133
 134 \medskip
 135 \s{Definice:} Øekneme, ¾e posloupnost $x_0,\dots,x_{n-1} $ je {\I èistì bitonická},
 136 pokud pro nìjaké $x_j\in\{1, \dots, n-1\} $ platí:
 137 $$x_0\leq x_1\leq \dots \leq x_j \geq x_{j+1}\geq\dots \geq x_{n-1}.$$
 138 Posloupnost je {\I bitonická}, pokud existuje $k\in \{1,\dots ,n-1\}$, pro
 139 které je rotace pùvodní posloupnosti o $k$ prvkù, tedy posloupnost
 140 $x_k,x_{(k+1) \bmod n},\dots, x_{(k+n-1) \bmod n}$, èistì bitonická.
 141
 142 \s{Definice:} {\I Separátor $S_n$}
 143 je sí», ve které jsou v¾dy~$i$-tý a~$(i+{n/2})$-tý prvek vstupu
 144 (pro $i=0,\dots, {n/2}-1$) propojeny komparátorem, minimum bude~$i$-tým,
 145 maximum  $(i+{n/2})$-ním prvkem výstupu.
 146 \figure{sortnet.3}
 147 {$(y_i, y_{i+{n/2}}) = CMP(x_i, x_{i+{n/2}})$} {300pt}
 148
 149 \s{Lemma:} Pokud vstup $S_n$ obvodu je bitonická posloupnost, pak výstup
 150 $y_0,\dots, y_{n-1}$ je posloupnost,  která splòuje:
 151
 152 (i) $y_0,\dots, y_{n/2 -1}$ a~$y_{n/2},\dots, y_{n-1}$ jsou
 153 bitonické posloupnosti,
 154
 155 (ii) Pro v¹echna $i,j< {n/2}$ platí $y_i < y_{j + {n/2}}$.
 156
 157 \proof
 158 (i) Nejprve nahlédneme, ¾e lemma platí, je-li vstupem èistì bitonická
 159 posloupnost. Tehdy najdeme nejmen¹í~$k$ takové, ¾e $x_k$ a~$x_{k+{n/2}}$
 160 se prohodí. (Pokud takové~$k$ neexistuje, separátor pouze zkopíruje
 161 vstup na výstup a~obì tvrzení lemmatu zøejmì platí.)
 162 Øeknìme, ¾e $x_m$ je maximum
 163 vstupní posloupnosti. Pak~$k$ bude jistì men¹í ne¾~$m$
 164 a~$k+{n/2}$ bude vìt¹í ne¾~$m$, mezi~$k$ a~$m$ je tedy vstupní
 165 posloupnost neklesající, mezi $k+{n/2}$ a~$n-1$ nerostoucí.
 166 Uvìdomíme si, ¾e pro ka¾dé~$i$, $k\leq i\leq {n/2}-1$ se prvky
 167 $x_i$ a~$x_{i+{n/2}}$ prohodí. Úsek mezi~$k$ a~${n/2}-1$ tedy
 168 nahradíme nerostoucí posloupností, první polovina výstupu tedy bude
 169 (dokonce èistì) bitonická. Úsek $k+{n/2}$ a~$n-1$ nahradíme èistì
 170 bitonickou posloupností, která bude neklesající, je-li $m\geq {n/2}$,
 171 v~opaèném pøípadì je úsek ${n/2}-1$ a¾ $k+{n/2}$
 172 nerostoucí. V~obou pøípadech budou v~posloupnosti maximálnì dva zlomy
 173 a~mezi $x_{n/2}$ a~$x_{n-1}$ bude správná nerovnost na to, aby
 174 posloupnost byla bitonická.
 175
 176 Dostaneme-li na vstupu obecnou bitonickou posloupnost, pøedstavíme si,
 177 ¾e je to èistì bitonická posloupnost zrotovaná o~$r$ prvkù (BÚNO
 178 doprava), a~zjistíme, ¾e v~komparátorech se porovnávají tyté¾ prvky
 179 jako kdyby zrotovaná nebyla. Výstup se od výstupu èistì bitonické
 180 posloupnosti zrotovaného o~$r$ bude li¹it prohozením úsekù $x_0$ a¾
 181 $x_{r-1}$ a~$x_{n/2}$ a¾ $x_{{n/2}+r-1}$. Obì výstupní
 182 posloupnosti tedy budou zrotované o~$r$ prvkù, ale na jejich
 183 bitoniènosti se nic nezmìní.
 184
 185 (ii) Z dùkazu (i) pro èistì bitonickou posloupnost víme, ¾e $y_0\dots y_{n/2-1}$ èistì bitonická a bude rovna $x_0\dots x_{k-1},x{k+n/2}\dots x_{n-1}$ pro vhodné $k$ a navíc bude mít maximum v $x_{k-1}$ nebo $x_k+{n/2}$. Mezi tìmito body ov¹em ve vstupní posloupnosti urèitì nele¾el ¾ádný $x_i$ men¹í ne¾ $x_k-1$ nebo $x_k+{n/2}$ (jak je vidìt z obrázku) a posloupnost  $x_k \dots x_{k-1+{n/2}}$ je rovna $y_{n/2}\dots y_{n-1}$. Pro obecné bitonické posloupnosti uká¾eme stejnì jako v (i).
 186 \qed
 187
 188 \medskip
 189 \centerline{\epsfbox{sortnet.7}}
 190
 191 \medskip
 192 \s{Definice:} {\I Bitonická tøídièka $B_n$} je obvod sestavený ze separátorù, který dostane-li na vstupu bitonickou posloupnost délky $n$ (konstruujeme tøídièku pro $n=2^k$), vydá setøídìnou posloupnost délky $n$.
 193
 194 \centerline{\epsfbox{sortnet.5}}
 195
 196 Separátor má jednu hladinu s~${\O}(n)$ hradly, tøídièka tedy bude
 197 mít
 198 $\log n$ hladin s~${\O}(n\log n)$ hradly.
 199
 200 \s{Pøíklad:} {\sl Merge sort}
 201
 202 Bitonická tøídièka se dá pou¾ít ke slévání setøídìných posloupností.
 203 S~její pomocí sestavíme souèástky mergesortové sítì.
 204 Setøídìné posloupnosti
 205 $x_0,\dots, x_{n-1}$ a~$y_0,\dots, y_{n-1}$ spojíme do jedné bitonické
 206 $x_0,\dots, x_{n-1},y_{n-1},\dots, y_0$. Z~takové posloupnosti pomocí
 207 $B_{2n}$ vytvoøíme setøídìnou posloupnost.
 208 Blok $M_{2n}$ sestává z~bloku $B_{2n}$, jeho¾ druhá polovina vstupù je
 209 zapojena v~obráceném poøadí.
 210
 211 \medskip
 212 \centerline{\epsfbox{sortnet.6}}
 213
 214 Z~bitonických tøídièek tedy mù¾eme postavit mergesortovou sí», která
 215 bude mít
 216 ${\O}(\log^2 n)$ hladin a~${\O}(n\log^2 n)$ hradel.
 217
 218 Existuje tøídicí algoritmus, kterému staèí ${\O}(\log n)$ hladin,
 219 ale jeho multiplikativní konstanta je pøíli¹ veliká, tak¾e je v~praxi
 220 nepou¾itelný.
 221
 222 \bye