5-cesty/5-cesty.tex

   1 \input ../lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{5}{Nejkrat¹í cesty}{}
   4
   5 Na~této pøedná¹ce budeme studovat problém hledání nejkrat¹ích cest
   6 v~orientovaných grafech ohodnocených reálnými èísly.
   7
   8 \s{Situace:} Máme orientovaný graf~$G$ a funkci $l : E(G) \rightarrow {\bb R}$
   9 pøiøazující hranám jejich ohodnocení (délky). Pro vrcholy $u,v\in V(G)$ budeme
  10 chtít spoèítat jejich vzdálenost $d(u,v)$, co¾ bude délka nejkrat¹í cesty z~$u$
  11 do~$v$ nebo $\infty$, pokud ¾ádná cesta neexistuje.
  12
  13 Aby se vzdálenosti chovaly \uv{rozumnì} tedy co nejvíce jako metrika. Orientovanost
  14 grafù nám kazí symetriènost -- nemusí nutnì platit $d(x, y)=d(y, x)$. Budeme aspoò chtít,
  15 aby platily následující vlastnosti:
  16
  17 \itemize\ibull
  18 \:$d(u, u) = 0$,
  19 \:$d(u, v) \leq d(u, w) + d(w, v)$ (trojúhelníková nerovnost).
  20 \endlist
  21
  22 To nemusí obecnì platit (kazí nám to záporné cykly), proto budeme studovat
  23 pouze grafy, v~nich¾ záporné cykly neexistují. Pak u¾ budou obì vlastnosti
  24 splnìny, jak plyne napøíklad z~následujícího lemmatu:
  25
  26 \s{Lemma:}
  27 V~grafu bez záporných cyklù existuje ke~ka¾dému nejkrat¹ímu sledu z~$u$ do~$v$ stejnì dlouhá $uv$-cesta.
  28
  29 \proof Máme-li nejkrat¹í $uv$-sled, který není cestou, opakuje se v~nìm nìjaký vrchol
  30 $w \in V(G)$. Délka cyklu  $l(c) \geq  0 \Rightarrow l(u\dots v\dots w) \leq l(pùvodní
  31 sled)$. Tento postup mù¾eme opakovat a po koneèném poètu krokù dostaneme cestu, tedy
  32 platí trojúhelníková nerovnost. \qed
  33
  34 \s{Jednoduché pøípady}
  35
  36
  37 \itemize\ibull
  38 \:Pokud $l$ je konstantní funkce, pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost bude $\Theta(m+n)$.
  39 \:Délky hran jsou malá pøirozená èísla $l(x, y) \in\{1, \dots, L\}$ podrozdìlíme hrany
  40 a pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost $\Theta(Lm+n)$.
  41 \:DAG (orientovaný acyklický graf) indukcí pøes topologické uspoøádání v èase
  42 $\Theta(m+n)$.
  43 \endlist
  44
  45 \s{Definice:} $D_k(v):=$ minimální délka ze sledù z $v_0$ do $v$ o právì k hranách.
  46 $D_0(v)=0$ pokud $v=v_0$, jinak $D_0(v)=\infty$.
  47 $d(v_0, v)=\min D_k(v)$
  48
  49 Kdy¾ známe $D_0 \dots D_{k-1}$ spoèteme $D_k=\min D_{k-1}(u)+l(u, v)$.
  50
  51 Naivní implementace pobì¾í $n(\sum_v deg^+(v))+n$ (musíme pøièíst na
  52 konec $n$ za izolované vrcholy), úpravíme $\sum_v deg^+(v)=m$. Bohu¾el
  53 spotøebujeme $\Theta(n^2)$ pamìti.
  54
  55 Nevýhodou této implementace je pøistupování k hranám pozpátku.
  56
  57 \s{Bellman-Fordùv algoritmus}
  58 \algo
  59 \:$D(*) \leftarrow \infty, D(s) \leftarrow 0$
  60 \:Pro $k=1, \dots, n-1$:
  61 \::$D_k(*) \leftarrow \infty$
  62 \::Pro $\forall v\in V(G)$:
  63 \:::Pro $\forall w (v, w)\in E(G)$:
  64 \::::$D(w)\leftarrow \min(D(w), D_{k-1}(v)+l(v, w))$
  65 \endalgo
  66
  67 Pokud by i v $n$-tém kroku nìco vykonal, graf obsahuje záporný cyklus.
  68
  69 \s{Vìta:} Bellman--Fordùv algoritmus najde v èase $\Theta(nm)$ vzdálenosti $d(v_0, v)$
  70 pro $\forall v\in V(G)$.
  71
  72 \proof
  73 Invarianty:
  74 \itemize\ibull
  75 \:Koneèné $D(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0 \rightarrow w$
  76 \:Na konci k-tého prùchodu vnìj¹m cyklem platí $D(w)\leq \min$ délka sledu z $v_0
  77 \rightarrow v$ o ménì ne¾ $k$ hranách z toho plyne ¾e na konci $D(w)\leq d(v_0, v)$
  78
  79 Nech» nejkrat¹í sled $v_0\rightarrow w$ o ménì ne¾ $k$ hranách konèí hranou $(v, w)$,
  80 zastavme algoritmus v okam¾iku kdy v $k$-tém prùchodu zpravovává hranu $(v, w)$ tehdy
  81 $D(w)\leq D(v)+l(v, w)$ a $D(v)$ je dle indukèního pøedpokladu men¹í nebo rovný
  82 minimální délce sledu $v_0\rightarrow v$ o $\leq k$ hránách.
  83 \endlist
  84 \qed
  85
  86 \s{"Prùzkumnický algoritmus"}
  87 Stav: $D(v)$ je ohodnoceníí, $S(v)$ stav (vidìn, otevøen -- od posledního prozkoumání
  88 se $D(v)$ zmìnilo, zavøen není potøeba zkoumat znovu, nic by se nezmìnilo).
  89
  90 \algo
  91 \:$D(*)\leftarrow \infty, D(v_0)=0, S(*)\leftarrow N, S(v_0)\leftarrow O,
  92 P(*)\leftarrow ?$
  93 \:Dokud $\exists u$: $S(u)=O$ opakuj:
  94 \::$S(u)\leftarrow Z$
  95 \::Pro $\forall v: (u, v)\in E(G)$:
  96 \:::Je-li $D(u)+l(u, v)<D(v)$
  97 \::::$D(v)\leftarrow D(u)+l(u, v)$
  98 \::::$S(v)\leftarrow O$
  99 \endalgo
 100
 101 \s{Invariant} $D(v)$ neroste a odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0$ do $v$.
 102
 103 \s{Lemma} algoritmus se v¾dy zastaví, èas pøi nevhodném zavírání mù¾e být a¾
 104 exponenciální. Toto lemma bude bez zanecháno bez dùkazu.
 105
 106 Pokud se zastaví, pak dosa¾itelné vrcholy jsou zavøené a $S(v)=Z$ pak platí
 107 $D(v)=d(v_0, v)$.
 108
 109 \proof
 110 Nech» cesta z $v_0$ do $v$ je nejmen¹í protipøíklad, pak musí existovat vrchol $u$,
 111 pro který neplatí $S(u)=Z$. Co¾ je spor, proto¾e takový vrchol musel ná¹ algoritmus
 112 projít.
 113
 114 Vezmìme minimání protipøíklad co do poètu hran. Nech» $v$ je nejbli¾¹í vrchol takový
 115 ¾e $D(v)\neq d(v_0, v)$, tudí¾ musí být vìt¹í (odpovídá délce nìjakého sledu). $u:=$
 116 pøedchùdce $v$ na nejkrat¹í cestì tedy $D(u)$ je správnì. Algoritmus zkoumal u na
 117 nastavil finální $D(u)$, tedy zpracoval hranu $(u, v)$ a $D(v)\leq D(u)+l(u, v)$, co¾
 118 je opravdová vzdálenost. Dostali jsme spor s tím, ¾e $D(x)$ neroste.
 119 \qed
 120
 121 \bye