4-goldberg/4-goldberg.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{4}{Goldgergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec,
   4 %J. Volec,
   5 J. Záloha)}
   6
   7 \noindent
   8 Pøedstavíme si nový algoritmus pro hledání toku v síti, který se uká¾e stejnì dobrý jako
   9 {\I Dinicùv alogritmus} ($\O(mn^{2})$), a po nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í.
  10
  11 \noindent
  12 Tento algoritmus narozdíl od {\I Dinicova algoritmu} zaèíná s pøebytky v sousedních vrcholech zdroje a sna¾í se jich zbavit pomocí pøevedení. Abychom se pøi pøi tomto pøevádìní nezacyklili definujeme vý¹ku vrcholu a pøevádíme pouze z kopce.
  13
  14 \s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}_{0}^{+}$
  15 je {\I vlna} v síti ($V, E, z, s, c$), taková ¾e $ \forall (u,v) \in E : f(u,v) \leq c(u,v) \wedge $, kde $c(u,v)$ je kapacita hrany$(u,v)$, pro
  16 $ \forall v \ne z, v \ne s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $.
  17
  18 \s{Poznámka:} Funkci $f^{\Delta}(v)$ definujeme pro libovolnou funkci $f : E \rightarrow \bb R$
  19 : $$f^{\Delta}(v):=\sum_{(u,v) \in E}{f(u,v)} - \sum_{(v,u) \in E}{f(v,u)}$$
  20 Tok je vlna, kde $ f^{\Delta}(v) = 0 , \forall v \in V , v \ne z,s $.
  21
  22 \noindent
  23 Algoritmus pracuje se sítí rezerv. To je funkce $r(u, v) u,v \in V$ taková, ¾e pro $\forall (u, v) \in E: r(u,v)+f(u,v)=c(u,v)$. Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je pøidáme s nulovou kapacitou.
  24
  25 \noindent
  26 V algoritmu budeme provádìt dvì operace na vrcholech sítì. K tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em
  27 vrcholùm vý¹ky pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$.
  28
  29 \s{Operace:} pro $ (u,v) \in E$
  30
  31 \algo
  32 \:{\I Pøevedení pøebytku}
  33
  34 Pokud platí:
  35 \itemize\ibull
  36         \: $u : f^{\Delta}(v) > 0$
  37         \: $v : h(u) > h(v)$
  38         \: $r(u,v)>0$
  39 \endlist
  40  pøevedeme tok o velikosti $\delta:=min(f^{\Delta}(u),r(u,v))$ z $u$ do $v$ takto: $f^{\Delta}(u):=f^{\Delta}(u)-\delta$, $f^{\Delta}(v):=f^{\Delta}(v)+\delta$, $r(u,v)=r(u,v)-\delta$ a $r(v,u)=r(v,u)+\delta$ .
  41
  42 Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po pøevodu rezerva na hranì $(u,v)$ nulová, tedy $r(u,v)=0$.
  43 Naopak pøevedení {\I nenasycené}, pokud po pøevodu $f^{\Delta}(v) = 0$. Pokud $r(u,v)=0 \wedge f^{\Delta}(v) = 0$
  44 budeme pøevedení pova¾ovat za {\I nasycené}.
  45
  46 \:{\I Zvednutí vrcholu} $u$
  47
  48 Pokud v algoritmu narazíme na pøebytek, který nelze pøevést, zvedneme vrchol $h(u):=h(u)+1$.
  49 \endalgo
  50
  51 \s{Algoritmus:} (Goldberg)
  52
  53 \algo
  54 \:$h(*)\leftarrow 0, h(z)\leftarrow \bb{N}$.
  55 \:$f(*)\leftarrow 0, \forall u \in V, (z,u) \in E : f(u,v)\leftarrow c(z,u)$.
  56 \:Dokud $\exists u \in V, u \ne z, u \ne s, f^{\Delta}(u)>0$:
  57 \::Pokud $\exists (u,v) \in E, r(u,v)>0 \wedge h(u)>h(v)$, tak prevedeme pøebytek po (u,v).
  58 \::Jinak zvedneme $u$.
  59 \:Vrátíme tok $f$ jako výsledek.
  60 \endalgo
  61
  62 %\s{Poznámka:} Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je tam pøidáme s nulovou kapacitou
  63
  64 \noindent
  65 Následovat bude nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ se doká¾e správnost a èasová slo¾itost vý¹e popsaného
  66 agoritmu.
  67
  68 \s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$, se kterou pracuje algoritmus je vlna. Pro $\forall v \in V, h(v)$ neklesá a $h(z)=n, h(s)=0$.
  69
  70 \proof
  71 Pro první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a~nevytvoøíme záporný pøebytek. Pro $\forall v \in V, v \ne z, v \ne z$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z podmínky v tøetím kroku algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v $z$ a $s$ v podstatì nezajímají, tudí¾ ani nemìníme jejich vý¹ku.
  72 \qed
  73
  74 \s{Invariant S(o spádu):} Pro $\forall (u,v) \in E, r(u,v)>0 : h(u) \leq h(v)+1$. Tedy neexistuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou.
  75
  76 \proof
  77 Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1. V druhé fázi algoritmu k tomu nedojde. Pokud ji¾ existuje vrchol $v$ s pøebytkem a nenasycená hrana $(v,u)$ a platí $h(v)=h(u)+1$ vrchol $v$ algoritmu nezvedá a rovnou pøebytek posílá po této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $(u,v)$ se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e to také nejde, proto¾e kdybychom cokoli poslali proti smìru této hrany, bude to proti smìru funkce $h$, ale to nejde.
  78 \qed
  79
  80 \s{Lemma K (o korektnosti):} Kdy¾ se algorimus zastaví, vydá maximální tok $f$.
  81
  82 \proof
  83 Nejprve uká¾eme, ¾e $f$ je tok a pak jeho maximalitu. Vyjdìme z toho, ¾e $f$ je vlna a algorimus se mù¾e zastavit jen pokud nastanou oba tyto pøípady souèasnì:
  84 \itemize\ibull
  85 \:ve vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky. Potom, ale $f$ je zároveò tok.
  86 \:pokud existuje nenasycená cesta $P$ ze zdroje do stoku. O té víme, ¾e má maximálnì $n-1$ hran. Zároveò v¹ak musí mít spád $n$, ale to znamená, ¾e existuje hrana $(u,v)$, pro kterou platí $h(u,v)>=2$, ale to je spor s Invariantem S.
  87 \endlist
  88 \qed
  89
  90 \s{Invarinat C (cesta domù, do zdroje):} Je-li $v \in V(G), v \neq z,s, f^{\Delta}(v) > 0$, pak existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$.
  91
  92 \proof
  93 Mìjme nìjaký vrchol $v \in V(G)$ takový, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$.
  94 Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V(G) : \exists$ nenasycená cesta z $v$ do $u \}$.
  95 Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V(G) - A$ takové, ¾e $(b,a)\in E$. O nich víme, ¾e $f(b, a)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(a, b)>0$, a tedy $b$ patøí do mno¾iny $A$.
  96
  97 \noindent Seètìme pøebytky ve v¹ech vrcholech $A$. Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do nìj vstupujících minus souèet tokù z nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v $A$, se jedenkrát pøiètou a jedenkrát odeètou, platí:
  98 $$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{(a,b)\in E \cap (\bar{A}\times A)}f(a,b)-\sum_{(b,a)\in E \cap (A\times \bar{A})}f(b,a)$$
  99 Proto¾e v¹ak do $A$ nic neteèe, nebo» obsahuje zdroj (pokud není izolovaný, existují nenasycené zpìtné hrany), tento výraz musí být men¹í, roven nule. Odtud vyplývá, ¾e pokud nìco odtéká ven z $A$ nebo $A$ obsahuje $s$, pak $\exists u \in A, f^{\Delta}(u)<0$. Toto $u$ musí být zdroj, proto¾e v¹echny ostatní vrcholy mají kladný pøebytek.
 100 \qed
 101 \s{Invariant V (vý¹ka):} Pro $\forall v \in V$ platí $h(v)\le 2n$.
 102
 103 \proof
 104 Víme, ¾e poèet hran v cestì ze $z$ do $\forall v \in V$ je maximálnì $n-1$.
 105 Pokud by existoval vrchol $v$ s vý¹kou $h(v)>2n$, musel by být zvednut alespoò $2n$-krát. To ale znamená, ¾e by po $2n-1$ zvednutích musel mít stále pøebytek. Pokud tento pøebytek nelze pøevést do ¾ádného jiného vrcholu ${u} \in E$, musí platit $h(v)\le h({u})$ a tedy $v$ bude zvednut po $2n$-té. To ale znamená, ¾e by platilo $h(v)-h(z)=n$. Dále víme z Invariantu C, ¾e existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. Potom, ale v cestì ze $z$ do $v$ existuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1 a to je spor s Invariantem S.
 106 \qed
 107
 108 \s{Lemma Z (poèet zvednutí):} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2n^{2}$.
 109
 110 \proof
 111 Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol zvednut maximálnì $2n$-krát a vrcholù je $n$.
 112 \qed
 113 %
 114 %\s{Definice:} Nasycené pøevedení je pøevedení pøebytku z vrcholu hranou takové, ¾e tato hrana bude nasycena.
 115 %
 116 %\s{Definice:} Nenasycené pøevedení je takové pøevedení, které není syté a pøi nìm¾ dojde k odstranìní pøebytku z vrcholu.
 117
 118 \s{Lemma SY (sytá pøevedení):} Poìet v¹ech sytých pøevedení je maximálnì $NM$.
 119
 120 \proof
 121 Mìjme hranu $(u,v) \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)<h(u)$ a zároveò $r(u, v)=0$. Aby se rezerva této hrany zmìnila, musel by ji nìkdo odsytit. Pro odsycení hrany se musí otoèit nerovnost mezi vý¹kami koncových vrcholù. Tedy $h(v)>h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na $h(v)<h(u)$. Mezi dvìma nasyceními hrany $(u,v)$ probìhly minimálnì dvì zvednutí vrcholu $u$. Algoritmus nikdy vý¹ku vrcholu nesni¾uje, a tedy poèet v¹ech sytých pøevedení je skuteènì $NM$.
 122 \qed
 123
 124 \bye