4-dfs/4-dfs.tex

   1 \input ../lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{4}{Aplikace DFS}{}
   4
   5 \h{Nejdel¹í cesta v DAG-u (v grafu bez orientovaných cyklù):}
   6
   7 \s{Definice:} Pro $w \in V$ bude $D(w)$ délka nejdel¹í cesty z $u$ do $w$. $D^R(w)$ bude délka nejdel¹í cesty v grafù s hranami opaène.
   8
   9 \s{Algoritmus:}
  10
  11 \algo
  12 \algin Graf $G$
  13 \:Zvolíme topologické uspoøádání $w_1 \dots w_n$ na $G$
  14 \:Pro ka¾dé $w_i$ pøed $u$ nastavíme $D(w_i)=-\inf$ a $D(u)=0$
  15 \:Postupnì procházíme vrcholy $w_i \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro $\forall w_i$ spoèítáme $D(w_i)$
  16 \::$D(w_i)=\max_{\forall w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(w_j)) + 1$
  17 \algout Vrátime $D(v)$
  18 \endalgo
  19
  20 \s{Èasová slo¾itost:} Sestrojení topologického uspoøádání v $O(n+m)$. Poèítání indukcí $D(w)$ také v $O(n+m)$.
  21
  22 \s{Definice:} Hrana je kritická právì tehdy, kdy¾ $e$ le¾í na nìkteré z nejdel¹ích cest.
  23
  24 \>{\I Pozorování:} $e = (x,y)$ kritická kdy¾ $D(x) + D^R(y) + e(x,y) = D(v)$
  25
  26 %%%%%%
  27 %
  28 %\s{Definice:} $e \in E(G)$ je most v neorientovaném grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $G-e$ má více komponent ne¾ $G$.
  29 %
  30 %\h{Hledání mostu}
  31 %
  32 %\>{\I Pozorování:} Zpìtná hrana není most.
  33 %
  34 %Jak to poznat o stromové?
  35 %
  36 %\s{Definice:} $\<low>(v) := \min\{\<in>(w) \mid \exists x \in T_v: (x, w) \hbox{ je zpìtná}\}$
  37 %
  38 %\>{\I Pozorování:} ${u, v}$, $\<in>(u) < \<in>(v)$ není most právì tehdy kdy¾ existuje zpìtná hrana z $T_v$ do $w$ "nad $u$" (t.j. $\<in>(w) < \<in>(u)$)
  39 %
  40 %$\<low>(v) < \<in>(u)$
  41 %
  42 %$\<low>(s_1) \dots \<low>(sk)$ známe
  43 %
  44 %\>{\I Pozorování:} $\<low>(v) = \min\{\<low>(s_1) \dots \<low>(s_k), in(v), \min\{\<in>(w) \mid (v, w) \hbox{ je zpìtná}\}\}$
  45 %
  46 %%%%%%
  47
  48 \h{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty souvislosti}
  49
  50 \s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv \Longleftrightarrow$ existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a opaène.
  51
  52 \>{\I Pozorování:} Ak $R$ je ekvivalence a $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$w$ cesta.
  53
  54 \s{Definice:} $G$ je silnì souvislý $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in V(G) : uRv$.
  55
  56 {\narrower
  57 \s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G \Longleftrightarrow$ ekvivalence tøídy relace $R$ je
  58 DAG - ka¾dý vrchol ve své komponente.
  59 }
  60
  61 \s{Definice:} Graf komponent $C(G)$
  62
  63 $V(C(G))$: Komponenty (silne souvislého) grafu $G$
  64
  65 $(C_1,C_2) \in E(C(G)) \Longleftrightarrow \exists v_1 \in C_1, v_2  \in C_2 : (v_1, v_2) \in E(G)$
  66
  67 \smallskip
  68
  69 \s{Lemma:} $\forall (G) : C(G)$ je DAG.
  70
  71 \proof
  72 Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Potom existují vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k \in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i, y_i)$ jsou hrany grafu~$G$. V¹echny $C_i$ jsou silne souvislé, teda existuje cesta z~$y_{i-1}$ do~$x_i$ v~$C_i$. Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor.
  73 \qed
  74
  75 \smallskip
  76
  77 \s{Trik:}
  78
  79 1. Uva¾ujme graf $G^R$ ($G$ s hranami opaène)
  80
  81 ~~~Pokud $v$ le¾í ve zdrojové komponente grafu $G$, pak DFS(v) v $G^R$ projde právì komponenty G.
  82
  83 2. Vrchol s maximálním $\<out>(v)$ le¾í ve zdrojové komponente.
  84
  85 2*. Pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x)$.
  86
  87 \proof
  88 2*:
  89 \itemize\ibull
  90 \:a.) DFS vstoupí nedøíve do $C_1$ : Z $C_2$ vyleze urèitì døív ne¾ z $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$.
  91 \:b.) nejdøíve do $C_2$: Nejdøív se vrátím z celé $C_2$, a¾ pak nìkdy zase vlezu do $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$.
  92 \endlist
  93 \qed
  94
  95 \s{Algoritmus:}
  96
  97 \algo
  98 \algin Graf $G$
  99 \:Sestrojíme $G^R$
 100 \:$S \in \emptyset$ seznam, $\<komp>(*) \Rightarrow$ ?
 101 \:Spustíme $\<DFS>(G)$, pøi opu¹tení vrcholu ho pøidáme na zaèátek $S$.
 102 \:Postupòe pro $v \in S$:
 103 \::Pokud $\<komp>(v)=~?$
 104 \:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$, nav¹tíveným vrcholom $w$ nastavíme $\<komp>(w) \Rightarrow v$.
 105 \algout Pro ka¾dý vrchol $v$, jeho komponentu $\<komp>(v)$.
 106 \endalgo
 107
 108 \bye