4 \prednaska{4}{Aplikace DFS}{}
6 \h{Nejdel¹í cesta v DAG-u (v grafu bez orientovaných cyklù):}
8 \s{Definice:} Pro $u,v \in V$ bude $D(u,v)$ délka nejdel¹í cesty z $u$ do $v$.
9 $D^R(u,v)$ bude délka nejdel¹í cesty v grafu s otoèenými hranami.
11 Neexistuje-li cesta z $u$ do $v$, nech» $D(u,v) = -\inf$. Zvolme pak $D(u)$
12 jako nejdel¹í cestu zaèínající v $u$. $$D(u) = \max_{v\in V} D(u,v)$$
17 \algin Graf $G$, v nìm vrchol $u$.
18 \:Zvolíme topologické uspoøádání $w_1 \dots w_n$ na $G$. Nech» $w_k=u$.
19 \:Pøedpoèítáme si ke ka¾dému vrcholu v¹echny jeho pøedchùdce, tedy mno¾inu
20 $W_i = \{w_j\mid(w_j,w_i)\in E\}$, v èase i pamìti $\O(n+m)$.
21 \:Pro v¹echny vrcholy $w_i$ pøed $u$ ($\forall w_i\mid i<k$) nastavíme délku cesty $D(u,w_i)=-\infty$, pro $u$ pak $D(u,u)=0$.
22 \:Postupnì procházíme vrcholy $w_i \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro ka¾dý z nich spoèítáme $D(w_i)$.
23 $$D(u,w_i)=\max_{w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(u,w_j)) + e(w_i,w_j)$$
24 \:Nalezneme maximum z $D(u,w_i)$ pøes v¹echna $i$ a oznaèíme jej $D(u)$.
25 \algout Vrátime $D(u)$.
27 \s{Èasová slo¾itost:} Sestrojení topologického uspoøádání a pøedpoèet v $\O(n+m)$. Postupné poèítání $D(u,w)$ také v $\O(n+m)$, celkem $\O(n+m)$.
29 \s{Definice:} Hrana je kritická právì tehdy, kdy¾ le¾í na nìkteré z nejdel¹ích cest.
31 %\>{\I Pozorování:} $e = (x,y)$ kritická kdy¾ $D(x) + D^R(y) + e(x,y) = D(v)$
32 % MQ: Toto pozorování mì mate. Co tam má být doopravdy?
36 %\s{Definice:} $e \in E(G)$ je most v neorientovaném grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $G-e$ má více komponent ne¾ $G$.
40 %\>{\I Pozorování:} Zpìtná hrana není most.
42 %Jak to poznat o stromové?
44 %\s{Definice:} $\<low>(v) := \min\{\<in>(w) \mid \exists x \in T_v: (x, w) \hbox{ je zpìtná}\}$
46 %\>{\I Pozorování:} ${u, v}$, $\<in>(u) < \<in>(v)$ není most právì tehdy kdy¾ existuje zpìtná hrana z $T_v$ do $w$ "nad $u$" (t.j. $\<in>(w) < \<in>(u)$)
48 %$\<low>(v) < \<in>(u)$
50 %$\<low>(s_1) \dots \<low>(sk)$ známe
52 %\>{\I Pozorování:} $\<low>(v) = \min\{\<low>(s_1) \dots \<low>(s_k), in(v), \min\{\<in>(w) \mid (v, w) \hbox{ je zpìtná}\}\}$
56 \h{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty silné souvislosti}
58 \s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv$ znamená, ¾e existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a opaènì.
61 %\>{\I Pozorování:} Pokud $R$ je ekvivalence a $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$w$ cesta.
63 \s{Definice:} $G$ je silnì souvislý právì tehdy, kdy¾ $\forall (u,v) \in V(G): uRv$.
65 \s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G$ jsou tøídy ekvivalence relace $R$.
67 \s{Definice:} Graf komponent $C(G)$
69 $V(C(G))$: Komponenty silné souvislosti grafu $G$
71 $(C_1,C_2) \in E(C(G)) \Leftrightarrow \exists v_1 \in C_1, v_2 \in C_2: (v_1, v_2) \in E(G)$
75 \s{Lemma:} Graf komponent $C(G)$ ka¾dého grafu $G$ je DAG.
78 Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Potom existují
79 vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k \in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i,
80 y_i)$ jsou hrany grafu~$G$.
82 V¹echny $C_i$ jsou silnì souvislé, tedy existuje cesta z~$y_{i-1}$ do~$x_i$
83 v~$C_i$. Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor, nebo» v¹echny vrcholy
84 v~cyklu musí le¾et v jedné komponentì souvislosti.
89 \s{Definice:} {\it Zdrojová komponenta} grafu $G$ je taková komponenta silné
90 souvislosti, která tvoøí zdroj v $C(G)$.
92 \s{Trik:} Uva¾ujme graf $G^R$ (graf $G$, ve kterém otoèíme orientace v¹ech hran). Pokud
93 $v$~le¾í ve zdrojové komponentì grafu $G$, pak $<DFS>(v)$ v $G^R$ projde právì
96 Pustíme-li $<DFS>(G)$, pak vrchol s maximálním $\<out>(v)$ le¾í nutnì ve zdrojové
97 komponentì (laskavý ètenáø doká¾e samostatnì).
99 \s{Tvrzeníèko:} Dále pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $$\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x).$$
103 \:Buïto DFS vstoupí nejdøíve do $C_1$ -- nìkdy odtamtud dojde do $C_2$ a zase se nìkdy vrátí, rozhodnì ale døíve ne¾ z $C_1$. Pro tento pøípad tvrzeníèko platí.
104 \:Nebo vstoupí nejdøíve do $C_2$. Odtud nemù¾e nikdy dojít do $C_1$. Vrátí se tedy rozhodnì døíve z celé $C_2$, ne¾ kdy vùbec vstoupí do $C_1$, tedy pro tento pøípad také tvrzeníèko platí.
113 \:$Z$ prázdný zásobník, $\<komp>(*) \la$ ?
114 \:Spustíme $\<DFS>(G)$, pøi opu¹tení vrcholu jej vlo¾íme do $Z$. Máme tedy vrcholy v zásobníku setøídìné podle $\<out>(v)$.
115 \:Postupnì pro $v \in Z$:
116 \::Pokud $\<komp>(v)=~?$
117 \:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$, nav¹tíveným vrcholùm $w$ nastavíme $\<komp>(w) \la v$.
118 \algout Pro ka¾dý vrchol $v$ vrátíme jeho komponentu $\<komp>(v)$.
121 \h{Detekce cyklù v grafu}
123 Algoritmus na vypsání {\I v¹ech} cyklù v grafu si neuká¾eme, nebo» tento
124 problém je tì¾¹í, ne¾ se zdá. Zde probíráme nalezení {\I nìjakého} cyklu v grafu.
126 \s{Lemma:} Cyklus je v grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $<DFS>(G)$ oznaèí nìjakou
129 \proof Nech» je v grafu $G$ cyklus $v_1,v_2,\dots,v_k,v_1$, nech» $<DFS>(G)$ urèí
130 nìjakou funkci $\<out>$. Nech» je oznaèení vrcholù takové, ¾e $\<out>(v_1)$ je
131 maximální pøes celý cyklus. Pak jistì $\<out>(v_k) < \<out>(v_1)$.
133 Nyní uva¾me poøadí opou¹tìní vrcholù na rùzných typech hran $(x,y)$. Na
134 stromové, dopøedné a pøíèné hranì platí $\<out>(x) > \<out>(y)$, na zpìtné
135 $\<out>(x) < \<out>(y)$. Tedy $(v_k,v_1)$ musí být nutnì zpìtná.
137 Opaèná implikace je triviální.
140 Dùkaz nám sám dává zpùsob, jak najít cyklus v grafu.
145 \:$Z$ budi¾ prázdný zásobník.
146 \:Spustíme $\<DFS>(G)$ a pøi nalezení první zpìtné hrany $(u,v)$ zastavíme.
147 \:Postupnì pro v¹echny otevøené vrcholy $w$ v poøadí, ve kterém by se z~nich DFS vracelo
148 \::vlo¾íme $w$ na zásobník $Z$
149 \::Pokud $w = v$ (nalezli jsme konec zpìtné hrany)
151 \algout Obsah zásobníku $Z$ (nalezený cyklus).