4-dfs/4-dfs.tex

   1 \input ../lecnotes.tex
   2 \let\la\leftarrow
   3
   4 \prednaska{4}{Aplikace DFS}{}
   5
   6 \h{Nejdel¹í cesta v DAG-u (v grafu bez orientovaných cyklù):}
   7
   8 \s{Definice:} Pro $u,v \in V$ bude $D(u,v)$ délka nejdel¹í cesty z $u$ do $v$.
   9 $D^R(u,v)$ bude délka nejdel¹í cesty v grafu s otoèenými hranami.
  10
  11 Neexistuje-li cesta z $u$ do $v$, nech» $D(u,v) = -\inf$. Zvolme pak $D(u)$
  12 jako nejdel¹í cestu zaèínající v $u$. $$D(u) = \max_{v\in V} D(u,v)$$
  13
  14 \s{Algoritmus:}
  15
  16 \algo
  17 \algin Graf $G$, v nìm vrchol $u$.
  18 \:Zvolíme topologické uspoøádání $w_1 \dots w_n$ na $G$. Nech» $w_k=u$.
  19 \:Pøedpoèítáme si ke ka¾dému vrcholu v¹echny jeho pøedchùdce, tedy mno¾inu
  20 $W_i = \{w_j\mid(w_j,w_i)\in E\}$, v èase i pamìti $\O(n+m)$.
  21 \:Pro v¹echny vrcholy $w_i$ pøed $u$ ($\forall w_i\mid i<k$) nastavíme délku cesty $D(u,w_i)=-\infty$, pro $u$ pak $D(u,u)=0$.
  22 \:Postupnì procházíme vrcholy $w_i \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro ka¾dý z nich spoèítáme $D(w_i)$.
  23 $$D(u,w_i)=\max_{w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(u,w_j)) + e(w_i,w_j)$$
  24 \:Nalezneme maximum z $D(u,w_i)$ pøes v¹echna $i$ a oznaèíme jej $D(u)$.
  25 \algout Vrátime $D(u)$.
  26 \endalgo
  27 \s{Èasová slo¾itost:} Sestrojení topologického uspoøádání a pøedpoèet v $\O(n+m)$. Postupné poèítání $D(u,w)$ také v $\O(n+m)$, celkem $\O(n+m)$.
  28
  29 \s{Definice:} Hrana je kritická právì tehdy, kdy¾ le¾í na nìkteré z nejdel¹ích cest.
  30
  31 %\>{\I Pozorování:} $e = (x,y)$ kritická kdy¾ $D(x) + D^R(y) + e(x,y) = D(v)$
  32 % MQ: Toto pozorování mì mate. Co tam má být doopravdy?
  33
  34 %%%%%%
  35 %
  36 %\s{Definice:} $e \in E(G)$ je most v neorientovaném grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $G-e$ má více komponent ne¾ $G$.
  37 %
  38 %\h{Hledání mostu}
  39 %
  40 %\>{\I Pozorování:} Zpìtná hrana není most.
  41 %
  42 %Jak to poznat o stromové?
  43 %
  44 %\s{Definice:} $\<low>(v) := \min\{\<in>(w) \mid \exists x \in T_v: (x, w) \hbox{ je zpìtná}\}$
  45 %
  46 %\>{\I Pozorování:} ${u, v}$, $\<in>(u) < \<in>(v)$ není most právì tehdy kdy¾ existuje zpìtná hrana z $T_v$ do $w$ "nad $u$" (t.j. $\<in>(w) < \<in>(u)$)
  47 %
  48 %$\<low>(v) < \<in>(u)$
  49 %
  50 %$\<low>(s_1) \dots \<low>(sk)$ známe
  51 %
  52 %\>{\I Pozorování:} $\<low>(v) = \min\{\<low>(s_1) \dots \<low>(s_k), in(v), \min\{\<in>(w) \mid (v, w) \hbox{ je zpìtná}\}\}$
  53 %
  54 %%%%%%
  55
  56 \h{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty silné souvislosti}
  57
  58 \s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv$ znamená, ¾e existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a opaènì.
  59
  60 % WTF?
  61 %\>{\I Pozorování:} Pokud $R$ je ekvivalence a $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$w$ cesta.
  62
  63 \s{Definice:} $G$ je silnì souvislý právì tehdy, kdy¾ $\forall (u,v) \in V(G): uRv$.
  64
  65 \s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G$ jsou tøídy ekvivalence relace $R$.
  66
  67 \s{Definice:} Graf komponent $C(G)$
  68
  69 $V(C(G))$: Komponenty silné souvislosti grafu $G$
  70
  71 $(C_1,C_2) \in E(C(G)) \Leftrightarrow \exists v_1 \in C_1, v_2  \in C_2: (v_1, v_2) \in E(G)$
  72
  73 \smallskip
  74
  75 \s{Lemma:} Graf komponent $C(G)$ ka¾dého grafu $G$ je DAG.
  76
  77 \proof
  78 Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Potom existují
  79 vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k \in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i,
  80 y_i)$ jsou hrany grafu~$G$.
  81
  82 V¹echny $C_i$ jsou silnì souvislé, tedy existuje cesta z~$y_{i-1}$ do~$x_i$
  83 v~$C_i$. Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor, nebo» v¹echny vrcholy
  84 v~cyklu musí le¾et v jedné komponentì souvislosti.
  85 \qed
  86
  87 \smallskip
  88
  89 \s{Definice:} {\it Zdrojová komponenta} grafu $G$ je taková komponenta silné
  90 souvislosti, která tvoøí zdroj v $C(G)$.
  91
  92 \s{Trik:} Uva¾ujme graf $G^R$ (graf $G$, ve kterém otoèíme orientace v¹ech hran). Pokud
  93 $v$~le¾í ve zdrojové komponentì grafu $G$, pak $\<DFS>(v)$ v $G^R$ projde právì
  94 komponenty~$G$.
  95
  96 Pustíme-li $\<DFS>(G)$, pak vrchol s maximálním $\<out>(v)$ le¾í nutnì ve zdrojové
  97 komponentì (laskavý ètenáø doká¾e samostatnì).
  98
  99 \s{Tvrzeníèko:} Dále pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $$\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x).$$
 100
 101 \proof
 102 \itemize\ibull
 103 \:Buïto DFS vstoupí nejdøíve do $C_1$ -- nìkdy odtamtud dojde do $C_2$ a zase se nìkdy vrátí, rozhodnì ale døíve ne¾ z $C_1$. Pro tento pøípad tvrzeníèko platí.
 104 \:Nebo vstoupí nejdøíve do $C_2$. Odtud nemù¾e nikdy dojít do $C_1$. Vrátí se tedy rozhodnì døíve z celé $C_2$, ne¾ kdy vùbec vstoupí do $C_1$, tedy pro tento pøípad také tvrzeníèko platí.
 105 \endlist
 106 \qed
 107
 108 \s{Algoritmus:}
 109
 110 \algo
 111 \algin Graf $G$
 112 \:Sestrojíme $G^R$
 113 \:$Z$ prázdný zásobník, $\<komp>(*) \la$ ?
 114 \:Spustíme $\<DFS>(G)$, pøi opu¹tení vrcholu jej vlo¾íme do $Z$. Máme tedy vrcholy v zásobníku setøídìné podle $\<out>(v)$.
 115 \:Postupnì pro $v \in Z$:
 116 \::Pokud $\<komp>(v)=~?$
 117 \:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$, nav¹tíveným vrcholùm $w$ nastavíme $\<komp>(w) \la v$.
 118 \algout Pro ka¾dý vrchol $v$ vrátíme jeho komponentu $\<komp>(v)$.
 119 \endalgo
 120
 121 \h{Detekce cyklù v grafu}
 122
 123 Algoritmus na vypsání {\I v¹ech} cyklù v grafu si neuká¾eme, nebo» tento
 124 problém je tì¾¹í, ne¾ se zdá. Zde probíráme nalezení {\I nìjakého} cyklu v grafu.
 125
 126 \s{Lemma:} Cyklus je v grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $\<DFS>(G)$ oznaèí nìjakou
 127 hranu jako zpìtnou.
 128
 129 \proof Nech» je v grafu $G$ cyklus $v_1,v_2,\dots,v_k,v_1$, nech» $\<DFS>(G)$ urèí
 130 nìjakou funkci $\<out>$. Nech» je oznaèení vrcholù takové, ¾e $\<out>(v_1)$ je
 131 maximální pøes celý cyklus. Pak jistì $\<out>(v_k) < \<out>(v_1)$.
 132
 133 Nyní uva¾me poøadí opou¹tìní vrcholù na rùzných typech hran $(x,y)$. Na
 134 stromové, dopøedné a pøíèné hranì platí $\<out>(x) > \<out>(y)$, na zpìtné
 135 $\<out>(x) < \<out>(y)$. Tedy $(v_k,v_1)$ musí být nutnì zpìtná.
 136
 137 Opaèná implikace je triviální.
 138 \qed
 139
 140 Dùkaz nám sám dává zpùsob, jak najít cyklus v grafu.
 141
 142 \s{Algoritmus:}
 143 \algo
 144 \algin Graf $G$
 145 \:$Z$ budi¾ prázdný zásobník.
 146 \:Spustíme $\<DFS>(G)$ a pøi nalezení první zpìtné hrany $(u,v)$ zastavíme.
 147 \:Postupnì pro v¹echny otevøené vrcholy $w$ v poøadí, ve kterém by se z~nich DFS vracelo
 148 \::vlo¾íme $w$ na zásobník $Z$
 149 \::Pokud $w = v$ (nalezli jsme konec zpìtné hrany)
 150 \:::ukonèíme cyklus
 151 \algout Obsah zásobníku $Z$ (nalezený cyklus).
 152 \endalgo
 153
 154 \h{Hledání mostù v neorientovaném grafu}
 155
 156 \s{Definice:} Hrana $uv \in E(G)$ je {\I most}, pokud se jejím odebráním
 157 z~grafu $G$ zvý¹í poèet komponent souvislosti tohoto grafu.
 158
 159 \s{Pozorování:} Hrana, která je v nìjakém cyklu, nemù¾e být mostem. Z cyklu
 160 toti¾ lze libovolnì odebrat jednu hranu a pøesto zùstane souvislý. V¹echny
 161 ostatní hrany naopak mosty jsou.
 162
 163 Mù¾e být mostem jiná hrana ne¾ stromová? Zpìtné hrany nutnì tvoøí cyklus.
 164 Pøíèné a dopøedné se v neorientovaném DFS neobjeví.
 165
 166 Hledáme tedy v¹echny stromové hrany, které nejsou v ¾ádném cyklu. Projdeme graf
 167 zase pomocí upraveného DFS.
 168
 169 Kdy je hrana $uv$ v nìjakém cyklu? Kdy¾ existuje cesta $v\dots w$ (a nebo
 170 $v=w$), zpìtná hrana $wx$ a cesta $x\dots u$ (a nebo $x=u$).
 171
 172 \smallskip
 173 \s{Algoritmus} bude je¹tì trochu více upravené DFS. Pro ka¾dý vrchol~$v$ si
 174 budeme kromì hloubky je¹tì pamatovat $z(v)$. To bude nejmen¹í \<in> vrcholu,
 175 do kterého se dá dostat po zpìtných hranách z~vrcholu $v$ nebo podstromu pod ním.
 176
 177 \algo
 178 \:Vstoupíme do vrcholu $u$ jako DFS.
 179 \:$x \la $~minimum z $\<in>(v)$ pøes v¹echny zpìtné hrany $uv$
 180 \:$y \la $~minimum ze $z(w)$ pøes v¹echny stromové hrany $uw$
 181 \:$z(u) \la \min xy$
 182 \:Pokud $z(u) \ge \<in>(u)$,
 183 \::je jistì mostem hrana, po které jsme vstoupili do $u$.
 184 \endalgo
 185
 186 \qed
 187
 188 \bye