Toky: Korektury

[ads2.git] / 2-toky / 2-toky.tex

\input lecnotes.tex

\prednaska{2}{Toky v sítích}{}

\h{Motivaèní úlohy}

Pøedstavme si, ¾e~by v~budovì fakulty na~Malé Stranì existoval èajovod, který
by rozvádìl èaj do~ka¾dé uèebny. Znázornìme si to orientovaným grafem, v~nìm¾
jeden významný vrchol pøedstavuje èajovar a~druhý uèebnu, ve~které sedíme.
Hrany mezi vrcholy pak pøedstavují vìtvící se trubky, které mají èaj rozvádìt.
Jak dopravit co nejvíce èaje do~dané uèebny?

\figure{toky01.eps}{Èajovod}{2in}

Jiným pøíkladem mù¾e být poèítaèová sí» na~pøenos dat, která se sestává z~pøenosových linek
spojených pomocí routerù. Data se sice obvykle pøená¹ejí po~paketech, ale to
mù¾eme pøi dne¹ních rychlostech pøenosu zanedbat a pova¾ovat data za spojitá.
Jak pøená¹et data mezi dvìma poèítaèi v~síti co nejrychleji?

\h{Toky v~sítích}

\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná pìtice $(V,E,z,s,c)$, pro ní¾ platí:
\itemize\ibull
\:$(V,E)$ je orientovaný graf.
\:$c:E\to{\bb R}_{0}^{+}$ je funkce pøiøazující hranám jejich {\I kapacity.}
\:$z,s \in V$ jsou dva vrcholy grafu, kterým øíkáme {\I zdroj} a~{\I stok} (spotøebiè).
\:Graf je symetrický, tedy $\forall u,v \in V: uv \in E \Leftrightarrow vu \in E$\foot{%
Nebude-li hrozit nedorozumìní, budeme hranu z~vrcholu~$u$ do vrcholu~$v$
znaèit $uv$ namísto formálnìj¹ího, ale ménì pøehledného $(u,v)$. Podobnì u~neorientovaných
hran pí¹eme $uv$ namísto $\{u,v\}$.}
(tuto podmínku si~mù¾eme zvolit bez~újmy na~obecnosti, nebo» v¾dy mù¾eme
do~grafu pøidat hranu, která v~nìm je¹tì nebyla, a~dát jí nulovou kapacitu).

\endlist

\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E \to {\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e~platí:
\numlist{\ndotted}
\:Tok po~ka¾dé hranì je omezen její kapacitou: $\forall e \in E : f(e)\le c(e)$.
\:{\I Kirchhoffùv zákon:}
$$\forall v \in V \setminus \{z,s\}: \sum_{u: uv \in E}{f(uv)}=\sum_{u: vu \in E}{f(vu)}.$$
Neboli pro~ka¾dý vrchol kromì zdroje a~stoku platí, ¾e~to, co do~nìj pøitéká,
je stejnì velké jako to, co z~nìj odtéká (\uv{sí» tìsní}).
\endlist

\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{2.5in}

%% \figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují toky po~hranách, v~závorkách jsou kapacity.}{4in}

Sumy podobné tìm v~Kirchhoffovì zákonì budeme psát èasto, zavedeme si pro nì tedy
¹ikovné znaèení:

\s{Definice:} Pro libovolnou funkci $f:E \to {\bb R}$ definujeme:
\itemize\ibull
\:$f^+(v) :=  \sum_{u: uv \in E}{f(uv)}$ (celkový {\I pøítok} do vrcholu)
\:$f^-(v) :=  \sum_{u: vu \in E}{f(vu)}$ (celkový {\I odtok} z~vrcholu)
\:$f^\Delta(v) := f^+(v) - f^-(v)$ ({\I pøebytek} ve~vrcholu)
\endlist

\>(Kirchhoffùv zákon pak øíká prostì to, ¾e $f^\Delta(v)=0$ pro v¹echna $v\ne z,s$.)

\s{Pozorování:} V~ka¾dé síti nìjaký tok existuje: tøeba funkce, která je v¹ude
nulová (po~¾ádné hranì nic neteèe). To je korektní tok, ale sotva u¾iteèný. Budeme
chtít najít tok, který pøepraví co nejvíce tekutiny ze~zdroje do~spotøebièe.

\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ budeme znaèit $\vert f\vert$ a polo¾íme ji
rovnu souètu velikostí toku na hranách vedoucích do spotøebièe minus souèet
velikostí tokù na~hranách ze~spotøebièe ven. V~na¹í terminologii je to tedy
pøebytek ve~spotøebièi: $\vert f\vert:=f^\Delta(s).$

\s{Pozorování:} Jeliko¾ sí» tìsní, mìlo by být jedno, zda velikost toku mìøíme
u~spotøebièe nebo u~zdroje. Vskutku, krátkým výpoètem ovìøíme, ¾e tomu tak je:
$$
f^\Delta(z) + f^\Delta(s) = \sum_v f^\Delta(v) = 0.
$$
První rovnost platí proto, ¾e podle Kirchhoffova zákona jsou zdroj a spotøebiè jediné
dva vrcholy, jejich¾ pøebytek mù¾e být nenulový. Druhou rovnost získáme tak, ¾e si
uvìdomíme, ¾e tok na ka¾dé hranì pøispìje do celkové sumy jednou s~kladným znaménkem
a jednou se záporným. Zjistili jsme tedy, ¾e pøebytek zdroje a spotøebièe se li¹í
pouze znaménkem.
\qed

\s{Poznámka:} Rádi bychom nalezli v~zadané síti tok, jeho¾ velikost je maximální.
Máme ale zaruèeno, ¾e maximum bude existovat? V¹ech mo¾ných tokù je nekoneènì mnoho
a v~nekoneèné mno¾inì se mù¾e snadno stát, ¾e aèkoliv existuje supremum, není maximem
(pøíklad: $\{1-1/n \mid n\in{\bb N}^+\}$).
Odpovìï nám poskytne matematická analýza: mno¾ina v¹ech tokù je kompaktní podmno¾inou
prostoru ${\bb R}^{\vert E\vert}$, velikost toku je spojitá (dokonce lineární) funkce
z~této mno¾iny do~$\bb R$, tak¾e musí nabývat minima i maxima.

Nám ale bude staèít studovat sítì s~racionálními kapacitami, kde existence maximálního
toku bude zjevná u¾ z~toho, ze sestrojíme algoritmus, který takový tok najde.

\s{První pokus:} Hledejme cestu $P$ ze~$z$ do~$s$ takovou, ¾e~$\forall e \in
P: f(e) < c(e)$ (po~v¹ech jejích hranách teèe ostøe ménì, ne¾ jim dovolují
jejich kapacity). Pak zjevnì mù¾eme tok upravit tak, aby se~jeho velikost
zvìt¹ila. Zvolme
$$\varepsilon := \min_{e \in P} \left(c(e) - f(e)\right).$$
Po ka¾dé hranì zvý¹íme prùtok o~$\varepsilon$, èili definujeme nový tok~$f'$ takto:
$$
f'(e) := \cases{
        f(e) + \varepsilon      &\hbox{pro $e\in P$} \cr
        f(e)                    &\hbox{pro $e\not\in P$} \cr
        }
$$
To je opìt korektní tok: kapacity nepøekroèíme ($\varepsilon$~jsme zvolili
nejvy¹¹í mo¾né, aby se to je¹tì nestalo) a~Kirchhoffovy zákony zùstanou
neporu¹eny, nebo» zdroj a~stok neomezují a~ka¾dému jinému vrcholu na~cestì $P$
se~pøítok $f^+(v)$ i~odtok $f^-(v)$ zvìt¹í pøesnì o~$\varepsilon$.

Opakujme tento proces tak dlouho, dokud existují cesty, po nich¾ mù¾eme tok
zlep¹ovat. A¾ se algoritmus zastaví (co¾ by obecnì nemusel, ale to nás je¹tì chvíli
trápit nemusí), získáme maximální tok?
Pøekvapivì ne v¾dy. Uva¾ujme napøíklad síti nakreslenou pod tímto odstavcem.
Najdeme-li nejdøíve cestu pøes svislou hranu (na obrázku tuènì, zlep¹ujeme o~1),
potom jednu cestu po horní dvojici hran (zlep¹ujeme o~9) a jednu po spodní
dvojici (zlep¹ujeme také o~9), dostaneme tok o~velikosti 19 a ¾ádná dal¹í cesta
ho u¾ nemù¾e zlep¹it. Ov¹em maximální tok v~této síti má evidentnì velikost~20.

\figure{toky02.eps}{Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{1.5in}

Zde by ov¹em situaci zachránilo, kdybychom poslali tok velikosti 1 proti smìru
prostøední hrany -- to mù¾eme udìlat tøeba odeètením jednièky od toku po smìru
hrany. Roz¹íøíme tedy ná¹ algoritmus tak, aby umìl posílat tok i proti smìru
hran. O~kolik mù¾eme tok hranou zlep¹it (a» u¾ pøiètením po~smìru nebo odeètením
proti smìru) nám bude øíkat její {\I rezerva:}

\s{Definice:} {\I Rezerva hrany} $uv$ je $r(uv):=c(uv) - f(uv) + f(vu).$

\s{Definice:} Hranì budeme øíkat {\I nasycená,} pokud má nulovou rezervu.
Nenasycená cesta je taková, její¾ v¹echny hrany mají nenulovou rezervu.

\smallskip
Budeme tedy opakovanì hledat nenasycené cesty a tok po~nich zlep¹ovat.
Postupnì doká¾eme, ¾e tento postup je koneèný a v~ka¾dé síti najde maximální tok.

\s{Algoritmus (Fordùv-Fulkersonùv)}

\algo
\:$f \leftarrow$ libovolný tok, napø. v¹ude nulový.
\:Dokud existuje nenasycená cesta~$P$ ze $z$ do $s$, opakujeme:
\::$\varepsilon \leftarrow \min \{r(e) \mid e \in P\}$.
\::Pro v¹echny hrany $uv \in P$:
\:::$\delta \leftarrow \min \{f(vu),\varepsilon\}$
\:::$f(vu) \leftarrow f(vu) - \delta$
\:::$f(uv) \leftarrow f(uv) + \varepsilon - \delta$
\:Prohlásíme $f$ za~maximální tok.
\endalgo

\s{Koneènost:} Zastaví se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus?

\itemize\ibull

\:Pro~celoèíselné kapacity se~v~ka¾dém kroku zvìt¹í velikost toku alespoò o~1.
Algoritmus se~tedy zastaví po~nejvíce tolika krocích, kolik je nìjaká horní
mez pro~velikost maximálního toku -- napø. souèet kapacit v¹ech hran
vedoucích do~stoku (tedy $c^+(s)$).

\:Pro~racionální kapacity vyu¾ijeme jednoduchý trik. Nech» $M$ je nejmen¹í
spoleèný násobek jmenovatelù v¹ech kapacit. Spustíme-li algoritmus na sí»
s~kapacitami $c'(e) = c(e)\cdot M$, bude se rozhodovat stejnì jako v~pùvodní
síti, proto¾e bude stále platit $f'(e) = f(e)\cdot M$. Nová sí» je pøitom
celoèíselná, tak¾e se algoritmus jistì zastaví.

\:Na~síti s~iracionálními kapacitami se~algoritmus chová mnohdy divoce, nemusí
se~zastavit, ba ani konvergovat ke~správnému výsledku. (Zkuste vymyslet pøíklad
takové sítì.)

\endlist

\s{Maximalita:} Kdy¾ se algoritmus zastaví, je tok~$f$ maximální? K~tomu se
bude hodit zavést øezy.

\s{Definice:} Pro libovolné dvì mno¾iny vrcholù $A$ a~$B$ budeme znaèit $E(A,B)$
mno¾inu hran vedoucích z~$A$ do~$B$, tedy $E(A,B) = E\cap (A\times B)$.
Je-li dále $f$ nìjaká funkce pøiøazující hranám èísla, oznaèíme:

\itemize\ibull
\:$f(A,B) = \sum_{e\in E(A,B)} f(e)$ (prùtok z~$A$ do~$B$)
\:$f^\Delta(A,B) = f(A,B) - f(B,A)$ (èistý prùtok z~$A$ do~$B$)
\endlist

\s{Definice:} {\I Øez} je uspoøádaná dvojice mno¾in vrcholù ($A,B$) taková, ¾e
$A$ a $B$ jsou disjunktní, dohromady obsahují v¹echny vrcholy, $A$ obsahuje zdroj a $B$
obsahuje stok.
Mno¾inì~$A$ budeme øíkat {\I levá mno¾ina øezu,} mno¾inì~$B$ {\I pravá.}
{\I Kapacitu øezu} definujeme jako souèet kapacit hran zleva doprava, tedy $c(A,B)$.

\s{Poznámka:} Jiná obvyklá definice øezu øíká,
¾e øez je mno¾ina hran grafu, po~jejím¾ odebrání se~graf rozpadne na~více
komponent. Tuto vlastnost mají i na¹e øezy, ale opaènì to nemusí platit.

\s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $(A,B)$ a ka¾dý tok~$f$ platí $f^\Delta(A,B)
= \vert f\vert$.

\proof
Opìt ¹ikovným seètením pøebytkù vrcholù:
$$
f^\Delta(A,B) = \sum_{v\in B} f^\Delta(v) = f^\Delta(s).
$$
První rovnost získáme poèítáním pøes hrany: ka¾dá hrana vedoucí z~vrcholu v~$B$
do~jiného vrcholu v~$B$ pøispìje jednou kladnì a jednou zápornì; hrany le¾ící
celé mimo~$B$ nepøispìjí vùbec; hrany s~jedním koncem v~$B$ a druhým mimo pøispìjí
jednou, pøièem¾ znaménko se bude li¹it podle toho, který konec je v~$B$. Druhá
rovnost je snadná: v¹echny vrcholy v~$B$ mimo spotøebiè mají podle Kirchhoffova
zákona nulový pøebytek (zdroj toti¾ v~$B$ nele¾í).
\qed

\s{Poznámka:} Pùvodní definice velikosti toku coby pøebytku spotøebièe je speciálním
pøípadem pøedchozího lemmatu -- mìøí toti¾ prùtok pøes øez $(V\setminus\{s\},\{s\})$.

\s{Dùsledek:} Pro ka¾dý tok~$f$ a ka¾dý øez $(A,B)$ platí $\vert f \vert \le c(A,B)$.
(Velikost ka¾dého toku je shora omezena kapacitou ka¾dého øezu.)

\proof
$f^\Delta(A,B) = f(A,B) - f(B,A) \le f(A,B) \le c(A,B)$.
\qed

\s{Dùsledek:} Pokud $\vert f\vert = c(A,B)$, pak je tok~$f$ maximální a øez~$(A,B)$
minimální. Jinými slovy pokud najdeme dvojici tok a stejnì velký øez, mù¾eme øez pou¾ít
jako certifikát maximality toku. Následující vìta nám zaruèí, ¾e je to v¾dy mo¾né:

\s{Vìta:} Pokud se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus zastaví, tak vydá maximální tok.

\proof
Nech» se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus zastaví. Definujme mno¾iny vrcholù $A
:= \{v \in V \mid \hbox{existuje nenasycená cesta ze~$z$ do~$v$}\}$ a~$B := V \setminus A$.

Dvojice $(A,B)$ je øez, nebo» $z \in A$ (ze~$z$ do~$z$ existuje cesta délky 0)
a~$s \in B$ (kdyby $s \not\in B$, musela by existovat nenasycená cesta ze~$z$ do~$s$,
tudí¾ by algoritmus neskonèil, nýbr¾ by po této cestì stávající tok vylep¹il).

Dále víme, ¾e~v¹echny hrany øezu mají nulovou rezervu: kdyby toti¾ pro nìjaké $u\in A$
a $v\in B$ mìla hrana $uv$ rezervu nenulovou (nebyla nasycená), spojením nenasycené
cesty ze zdroje do~$u$ s~touto hranou by vznikla nenasycená cesta ze~zdroje do~$v$, tak¾e
vrchol~$v$ by také musel le¾et v~$A$, co¾ není mo¾né.

Proto po~v¹ech hranách øezu vedoucích z~$A$ do~$B$ teèe tolik, kolik jsou
kapacity tìchto hran, a~po~hranách vedoucích z~$B$ do~$A$ neteèe nic. Nalezli
jsme tedy øez $(A,B)$ pro nìj¾ $f^\Delta(A,B) = c(A,B)$. To znamená, ¾e~tento
øez je minimální a tok~$f$ maximální.
\qed

Nyní ji¾ mù¾eme vyslovit vìtu o~chování Fordova-Fulkersonova algoritmu:

\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» s~racionálními kapacitami se~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus
zastaví a~vydá maximální tok a~minimální øez.

\s{Dùsledek:} Sí» s~celoèíselnými kapacitami má aspoò jeden z~maximálních tokù
celoèíselný a~Fordùv-Fulkersonùv algoritmus takový tok najde.

\proof
Kdy¾ dostane Fordùv-Fulkersonùv algoritmus celoèíselnou sí», najde v~ní maximální tok
a~ten bude zase celoèíselný (algoritmus nikde nevytváøí z~celých èísel necelá).
\qed

To, ¾e~umíme najít celoèíselné øe¹ení, není vùbec samozøejmé.
(U~jiných problémù takové ¹tìstí mít nebudeme.)
Uka¾me si rovnou jednu aplikaci, která celoèíselnost vyu¾ije.

\h{Hledání nejvìt¹ího párování v~bipartitních grafech}

\s{Definice:} Mno¾ina hran $F \subseteq E$ se~nazývá {\I párování}, jestli¾e
¾ádné dvì hrany této mno¾iny nemají spoleèný ani jeden vrchol. Neboli $\forall
e,f \in F : e \cap f = \emptyset$. {\I Velikostí} párování myslíme poèet jeho
hran.

Chceme-li v~daném bipartitním grafu $(V,E)$ nalézt nejmen¹í párování,
pøetvoøíme graf nejprve na sí» $(V',E',c,z,s)$ takto:

\itemize\ibull
\:Nalezneme partity grafu, budeme jim øíkat {\I levá} a {\I pravá.}
\:Pøidáme zdroj~$z$ a vedeme z~nìj hrany do v¹ech vrcholù levé partity.
\:Pøidáme spotøebiè~$s$ a vedeme do nìj hrany ze~v¹ech vrcholù pravé partity.
\:Hrany zadaného grafu zorientujeme zleva doprava.
\:V¹em hranám nastavíme jednotkovou kapacitu.
\endlist

\figure{toky04.eps}{Hledání nejvìt¹ího párování v~bipartitním grafu.}{2in}

\>Nyní v~této síti najdeme maximální celoèíselný tok. Jeliko¾ v¹echny hrany
mají kapacitu~1, musí po ka¾dé hranì téci buï~0 nebo~1. Do~výsledného párování
vlo¾íme právì ty hrany pùvodního grafu, po~kterých teèe~1.

Dostaneme opravdu párování? Kdybychom nedostali, znamenalo by to, ¾e nìjaké
dvì hrany mají spoleèný vrchol. Ov¹em kdyby se setkaly ve~vrcholu z~pravé
partity, pøitekly by do tohoto vrcholu alespoò 2 jednotky toku a ty by nemìly
kam odtéci. Analogicky pokud by se setkaly nalevo, musely by z~vrcholu odtéci
alespoò 2 jednotky, ale ty se tam nemají kudy dostat.

Zbývá nahlédnout, ¾e nalezené párování je nejvìt¹í mo¾né. K~tomu si staèí v¹imnout,
¾e z~toku vytvoøíme párování o~tolika hranách, kolik je velikost toku, a naopak
z~ka¾dého párování umíme vytvoøit celoèíselný tok odpovídající velikosti.
Jinými slovy nalezli jsme bijekci mezi mno¾inou v¹ech celoèíselných tokù
a mno¾inou v¹ech párování a tato bijekce zachovává velikost. Nejvìt¹í
tok tedy musí odpovídat nejvìt¹ímu párování.

Navíc doká¾eme, ¾e Fordùv-Fulkersonùv algoritmus na sítích tohoto druhu
pracuje pøekvapivì rychle:

\s{Vìta:} Pro sí», její¾ v¹echny kapacity jsou jednotkové, nalezne Fordùv-Fulkersonùv
algoritmus maximální tok v~èase $\O(nm)$.

\proof
Jedna iterace algoritmu bì¾í v~èase $\O(m)$: nenasycenou cestu najdeme prohledáním
grafu do ¹íøky, samotné zlep¹ení toku zvládneme v~èase lineárním s~délkou cesty.
Jeliko¾ ka¾dá iterace zlep¹í tok alespoò o~1,\foot{Mimochodem, mù¾e i o~2, proto¾e
pøi jednotkových kapacitách mohou rezervy být a¾ dvojky.}
poèet iterací je omezen velikostí maximálního toku, co¾ je nejvý¹e~$n$
(uva¾ujte øez tvoøený hranami okolo zdroje).
\qed

\s{Dùsledek:} Nejvìt¹í párování v~bipartitním grafu lze nalézt v~èase $\O(mn)$.

\proof
Pøedvedená konstrukce vytvoøí z~grafu sí» o~$n'=n+2$ vrcholech a~$m'=m+2n$
hranách a spotøebuje na to èas $\O(m'+n')$. Pak nalezneme maximální celoèíselný
tok Fordovým-Fulkersonovým algoritmem, co¾ trvá $\O(m'n')$. Nakonec tok v~lineárním
èase pøelo¾íme na~párování. V¹e dohromady trvá $\O(m'n') = \O(mn)$.
\qed

\bye