2-toky/2-toky.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali J. Machálek a K. Vandas)}
   4
   5 \h{Motivaèní úlohy:}
   6 \itemize\ibull
   7 \:Mìjme orientovaný graf se speciálními vrcholy ®elivka a Kanál pøedstavující pra¾ské vodovody. V tomto grafu budou vrcholy vodovodními stanicemi a hrany trubkami mezi nimi. Kolik vody proteèe ze ®elivky do Kanálu?
   8 \:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z~Moskvy a spotøebovat na Frontì?
   9 \endlist
  10
  11 \s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou jeho vrcholy ({\I zdroj} a {\I stok}) a $c$ je kapacita sítì, kterou pøedstavuje funkce $c:\break E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$.
  12
  13 \figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{3in}
  14
  15 \par\noindent {\sl Intuice:} Toky v sítích pøedstavují rozvr¾ení, jakým suroviny sítí poteèou.
  16
  17 \s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e platí:
  18 \numlist{\ndotted}
  19 \:Tok ka¾dé hrany je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
  20 \:Kirchhoffùv zákon -- \uv{sí» tìsní}: $$\sum_{xu \in E}{f(xu)}=\sum_{ux \in E}{f(ux)}\quad\hbox{pro ka¾dé }u\in V(G) \setminus \{z,s\}.$$
  21 \endlist
  22
  23 \s{Poznámka:} Pokud bychom se chtìli v definici toku u bodu 2 vyhnout podmínkám pro $z$ a $s$, mù¾eme zdroj a stok vzájemnì propojit (pak jde o tzv. cirkulaci).
  24
  25 \s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{$s$} a stok \uv{$t$} (jako source a~target).
  26
  27 \figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují ohodnocení funkcí toku a kapacity.}{4in}
  28
  29 \s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$w(f):=\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)}.$$
  30
  31 \s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok.
  32
  33 \par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s~tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce velikosti toku je spojitá (dokonce lineární).
  34
  35 \par\noindent {\sl Intuice:} Øez v~grafu je mno¾ina hran oddìlující zdroj a stok.
  36
  37 \s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je mno¾ina hran $R$ taková, ¾e neexistuje cesta ze $z$~do $s$~v~grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.
  38
  39 \s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{uv \in R}{c(uv)}$.
  40
  41 \s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Mìjme sí» $S$. Platí: $$\max_{f\hbox{ tok}}{w(f)=\min_{R\hbox{ øez}}{c(R)}}.$$
  42
  43 \proof
  44 Dùkaz provedeme pomocí dokázání dvou neostrých nerovností.
  45
  46 \>Pomocné znaèení: Jako {\I separátor} $S(A,B)$ znaèíme orientované hrany $uv$, $u\in A$, $v\in B$. $f(A,B)=\sum_{uv \in E,u\in A,v\in B}{f(uv)}.$
  47
  48 {\narrower
  49 \par\noindent {\sl Intuice:} Uvá¾íme-li mno¾inu kapacit v¹ech øezù, je zdola omezená mno¾inou hodnot tokù.
  50
  51 \s{Lemma:} $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A,f\hbox{ je tok}$. Potom platí, ¾e $$w(f)=f(A,V\setminus~A)-f(V\setminus~A,A).$$
  52
  53 \proof
  54 Dùkaz provedeme pomocí Kirchhoffova zákona a definice velikosti toku:
  55 $$\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}=0\quad\forall u\in A \setminus \{z,s\}.$$
  56 $$\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)=w(f)}.$$
  57
  58 \>Rovnice seèteme:
  59 $$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}\right)}=w(f).$$
  60
  61 \s{Poznámka:} Tato rovnice neznamená nic jiného, ne¾ ¾e se hrany vedoucí z~$A$ do $A$ jednou pøiètou a jednou odeètou. Projeví se pouze hrany, které vedou dovnitø a ven z $V\setminus A$, tak¾e toky vnitøních hran $A$ se \uv{po¾erou}.
  62
  63 \>Z toho plyne:
  64 $$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(uv)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(uv)}=w(f).$$
  65
  66 \qed
  67
  68 \s{Dùsledek:} Pokud $f$ je tok, $R$ je øez, pak platí:  $w(f)\le c(R)$.
  69
  70 \proof
  71 $$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)\le f(A,V\setminus A)\le c(A,V\setminus A)\le c(R).$$
  72
  73 \qed
  74
  75 \s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} je posloupnost navazujících hran, u kterých ignorujeme orientaci.
  76
  77
  78 \figure{cesta.eps}{Pøíklad zplep¹ující cesty.}{3in}
  79
  80 \s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} $P$ ze $z$ do $s$ je {\I nasycená}, pokud:
  81 $$\exists\ e \in P\left\{{f(e)=c(e)\dots \hbox{orientovaná po smìru}}\atop{f(e)=0\dots \hbox{orientovaná proti smìru}}\right.$$
  82 \>Jinak je zlep¹ující cesta nenasycená.
  83
  84 \s{Definice:} {\I Tok} je {\I nasycený}, pokud je ka¾dá zple¹ující cesta $P$ ze $z$ do $s$ nasycená.
  85
  86 \s{Vìta:} Tok $f$ je nasycený $\Leftrightarrow$ $f$ je maximální. Navíc pro ka¾dý maximální tok $f$ existuje øez $R$, ¾e $w(f)=c(R)$.
  87
  88 \proof
  89
  90 \>\uv{$\Leftarrow$} sporem: Mìjme tok $f$ maximální a nenasycený. Existuje tedy nenasycená zlep¹ující cesta $P$. Tuto cestu $P$ budeme vylep¹ovat.
  91 \>Zvolíme:
  92 $$\varepsilon_1:=\min_{e\in P,\hbox{ po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}},$$
  93 $$\varepsilon_2:=\min_{e\in P,\hbox{ proti smìru}}{\{f(e)\}},$$
  94 $$\varepsilon:=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}>0.$$
  95 \>Poslední ostrá nerovnost vyplývá z definice nenasycené cesty. Nyní vylep¹íme tok $f$ o $\varepsilon$: $f\to f^{'}$:
  96 $$f^{'}(e)=\left\{{\displaystyle f(e)+\varepsilon \dots e\in P\hbox{ po smìru}\hfill}\atop{{\displaystyle  f(e)-\varepsilon \dots e\in P\hbox{ proti smìru}\hfill}\atop{\displaystyle f(e) \dots e\not\in P\hfill}}\right.$$
  97 \>Nyní je potøeba ovìøit, ¾e $f^{'}$ je skuteènì tok:
  98 $$0\le f^{'}(e)\le c(e)\dots\hbox{platí stále díky volbì }\varepsilon.$$
  99
 100 \>Platnost Kirchhoffova zákona ovìøíme rozborem pøípadù:
 101 \figure{kirch.eps}{Rozbor pøípadù.}{4in}
 102
 103 \>$f^{'}$ je tedy tok, ov¹em potom platí:
 104 $$w(f^{'})=w(f)+\varepsilon\Rightarrow w(f^{'})>w(f)\Rightarrow\hbox{SPOR.}$$
 105
 106 \>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme $A\subseteq V(G)$, ¾e $\forall\ v\in{} A$ existuje nenasycená cesta ze $z$ do $v$. $z \in A$, $s \not\in A$. $S(A,V\setminus A)$ je hledaný øez $R$. Podle lemmatu:
 107 $$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=c(A,V\setminus A)=c(R).$$
 108 Víme, ¾e $w(f)\le c(R)$. Staèilo uvá¾it nasycený tok $f$. Pak jsme sestrojili øez $R$ a~výraz pøe¹el v rovnost $c(R)=w(f)$ (a tedy je tok $f$ maximální).
 109
 110 \qed
 111 }
 112
 113 \>Poslední vìta spolu s dùsledkem lemmatu dokazuje i hlavní vìtu o tocích. Pro ka¾dou sí» máme maximální tok a k nìmu øez stejné kapacity.
 114 \qed
 115
 116 \figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení $V(G)$ na mno¾inu $A$ a $V\setminus A$ v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}
 117
 118 \s{Algoritmus (hledání maximálního toku v síti, Ford-Fulkerson)}
 119
 120 \algo
 121 \:Pøiøad $f$ nulový tok ($\forall e \in E: f(e) \leftarrow 0 $).
 122 \:Dokud $\exists$ zlep¹ující cesta $P$: vylep¹i $f$ podél $P$ jako v~dùkazu hlavní vìty.
 123 \:$f$ je maximální.
 124 \endalgo
 125
 126 \h{Cvièení:}
 127 \itemize\ibull
 128 \:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o jedna. Proto¾e máme horní odhad na maximální tok (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu bìhu algoritmu.
 129 \:Je F-F algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano -- v¹echny kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad (pro obecné kapacity ov¹em takto definovaný F-F algoritmus nemusí být koneèný).
 130 \:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby úspì¹nì dobìhl? ($2M$ krokù)
 131 \endlist
 132
 133 \figure{2M.eps}{Pøíklad sítì. Kolik krokù musí maximálnì udìlat F-F algoritmus?}{2in}
 134
 135 \bye