2-ram/2-ram.tex

   1 \input ../lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{2}{Slo¾itost, grafové algoritmy}
   4 {(zapsal Martin Koutecký)}
   5
   6 \h{Model {\sc Ram}}
   7
   8 Pøi analýze algoritmu bychom chtìli nìjak popsat jeho slo¾itost. Abychom mohli
   9  udìlat toto, potøebujeme nejprve definovat výpoèetní model. Výpoèetních modelù
  10 je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:
  11
  12 \s{Definice:} Random Access Machine ({\sc Ram})
  13
  14 {\sc Ram} poèítá jen s celými èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
  15 èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
  16 èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. A program samotný je
  17 koneèná posloupnost instrukcí následujících druhù:
  18 \itemize\ibull
  19 \:Aritmetické a logické:
  20 $X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
  21 {\tt\char124}, |<<|, |>>|\}$
  22 \:Øídící: |goto| \<label>, |halt|
  23 \:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít \hfil \break
  24 if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
  25 % zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
  26 % øádku. Díky.
  27 \endlist
  28
  29 \s{Poznámka} (operandy):
  30 \itemize\ibull
  31 \:Konstanty (1, 2, \dots)
  32 \:Adresované pøímo -- M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena {\tt A-Z} jako aliasy
  33 pro
  34 buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$, které nazýváme registry.
  35 (tedy A={\tt M[-1]})
  36 \:Adresované nepøímo -- {\tt M[M[konst.]]} -- budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
  37 \endlist
  38
  39 Samotný výpoèet probíhá takto:
  40 \algo
  41 \:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
  42 definován.
  43 \:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
  44 programu.
  45 \:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
  46 výstup.
  47 \endalgo
  48
  49
  50 \h{Slo¾itost}
  51 \> Jak dobøe popsat slo¾itost?
  52 \numlist\ndotted
  53 \:{\I {\sc Ram} s jednotkovou cenou}: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor
  54 $\approx$
  55 maximální èíslo buòky minus minimální èíslo buòky pou¾ité pøi výpoètu.
  56 Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
  57 velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
  58 poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
  59 bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
  60 \:{\I{\sc Ram} s logaritmickou cenou}: cena instrukce $\approx$ \#bitù
  61 zpracovávaných èísel,
  62 prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
  63 dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
  64 \:{\I{\sc Ram} s omezenými èísly}: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme
  65 nìjakým polynomem $P(n)$. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
  66 mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám ov¹em obvykle nevadí).
  67 \endlist
  68
  69 Nadále tedy budeme pøedpokládat tøetí zmínìný model.
  70
  71 % Z minulých zápiskù.
  72 \s{Definice:}
  73 \itemize\ibull
  74 \:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako sumu èasù provedených
  75 operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
  76 $x$.
  77 \:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
  78 bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
  79 \:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
  80 $$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
  81 \:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
  82 $$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
  83 \endlist
  84
  85 Nyní zkusíme zanalyzovat nìjaký konkrétní algoritmus. Vezmìme napøíklad øazení
  86 pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme poèet èísel $n$ (v
  87 registru {\tt N}), v buòkách $1,\dots, n$ je nesetøídìná posloupnost èísel. Ta
  88 pak
  89 tøídíme následujícím algoritmem zapsaným v pseudokódu:
  90 \algo
  91 \:Pro $i=1$ do $n$:
  92 \::$j\leftarrow i$
  93 \::Pro $k=i$ do $n$:
  94 \:::Je-li $[k]<[j]\Rightarrow j\leftarrow k$
  95 \::$[i]$ prohodíme s $[j]$.
  96 \endalgo
  97
  98 Jak by takový algoritmus vypadal zapsaný v instrukcích {\sc Ram}? Budeme muset
  99 pou¾ít návì¹tí a goto místo cyklù, jména registrù místo promìnných a
 100 tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:
 101
 102 \verbatim{      I <- 1
 103 LOOP:   J <- I
 104         M <- I
 105 MIN:    IF [J]>=[M] ==> GOTO NEXT
 106         M <- J
 107 NEXT:   J <- J+1
 108         IF J<=N ==> GOTO MIN
 109         X <- [I]
 110         [I] <- [M]
 111         [M] <- X
 112         I <- I+1
 113         IF I<=N ==> GOTO LOOP
 114 }
 115
 116 Pojïme se podívat, jaká je èasová slo¾itost jednotlivých èástí algoritmu.
 117 Cyklus |MIN| provede za prùchod 3 nebo 4 instrukce, ale zajímá nás nejhor¹í
 118 pøípad, tak¾e 4. Zavolá se $(N-I+1)$-krát, tedy celkem provede $4\cdot (N-I+1)$
 119 instrukcí.
 120
 121 Mimo cyklu |MIN| je v |LOOP| je¹tì 7 instrukcí, tedy celý |LOOP| provede
 122 $4\cdot (N-I+1)+7 = 4(N-1) + 11$ instrukcí.
 123
 124 Celkovì se dostáváme k souètu $$1+(\sum_{I=1}^{N} 4(N-I) + 11) = 1 + 11N +
 125 4\cdot{N(N-1)\over 2} = 2N^2+9N + 1.$$
 126
 127 Na multiplikativních konstantách ale nezále¾í -- Na reálných strojích se
 128 ceny jednotlivých (pro nás jednotkových) instrukcí stejnì li¹í, tak¾e
 129 nemá cenu se multiplikativními konstantami zabývat (alespoò pøi prvním
 130 pøiblí¾ení k problému).
 131
 132 $$2N^2 + 9N + 1 \approx N^2 + N$$
 133
 134 Navíc asymptoticky pomalej¹í funkce nakonec pro velké $N$ v¾dy prohraje. Tím
 135 pádem nezále¾í ani na èlenech ni¾¹ích øádù:
 136
 137 $$N^2 + N \approx N^2$$
 138
 139 Kdy¾ u¾ toto víme, mù¾eme zanedbávat konstanty prùbì¾nì: $N$ cyklù po
 140 $\approx\nobreak N$~krocích $\Rightarrow~\approx N^2$ krokù. To nás vede k zavedení
 141 tzv.  {\I asymptotické notace:}
 142
 143 \h{Asymptotická notace}
 144 \s{Definice:} Pro funkce $f,g: {\bb N} \rightarrow {\bb R}^+$ øekneme,
 145 ¾e $f$ je $\O(g)$ právì tehdy, kdy¾ $\exists c>0: \forall ^{*} n \in {\bb N}:
 146 f(n) \leq c \cdot g(n)$.
 147 Zde $\forall^* n \in {\bb N}$ je zkratka za \uv{$\exists n_0 \in {\bb N}:
 148 \forall n \geq n_0$}, tedy
 149 \uv{pro v¹echna~$n$ a¾ na~koneènì mnoho výjimek.}
 150
 151 \s{Poznámka:} $\O$-notace tedy vyjadøuje, ¾e funkce~$f$ je skoro v¹ude men¹í
 152 nebo nejvý¹e rovná nìjakému reálnému násobku funkce~$g$. Aèkoliv zápis vypadá
 153 jako rovnost, rozhodnì není symetrický: napøíklad platí $\log n=\O(n)$, ale
 154 neplatí $n=\O(\log n)$. Formálnì by bylo lep¹í pova¾ovat $\O(g)$ za tøídu
 155 funkcí, pro které platí, ¾e se dají shora odhadnout kladným násobkem funkce~$g$,
 156 a~psát tedy~$f\in\O(g)$, ale zvyk je bohu¾el ¾elezná ko¹ile.
 157
 158 \s{Pøíklady:} $2{,}5n^{2} = \O(n^{2})$, $2{,}5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.
 159
 160 \>Také platí:
 161 $$
 162 \O(f)+\O(g) \in \O(f+g),
 163 $$
 164 èím¾ myslíme, ¾e pokud vezmeme libovolnou $f'=O(f)$ a $g'=O(g)$, bude
 165 $f'+g'=O(f+g)$.
 166 To platí, jeliko¾ skoro v¹ude je $f' \leq cf$, $g'\leq dg$, a~tedy $f'+g' \le
 167 cf+dg \le (c+d)(f+g)$.
 168
 169 \s{Cvièení:} Uka¾te, ¾e:
 170 \itemize\ibull
 171 \:$\O(f) \cdot \O(g)=\O(f \cdot g)$,
 172 \:$\O(f+g)=\O(\max(f,g))$,
 173 \:$\O(n^{2})+\O(n)=\O(n^{2}+n)=\O(n^{2})$.
 174 \endlist
 175
 176 $\O$-notace popisuje horní odhad asymptotického chování funkce. Mnohdy v¹ak
 177 potøebujeme také odhadnout funkci zespodu (chceme-li øíci, ¾e algoritmus
 178 potøebuje {\I alespoò} nìjaké mno¾ství èasu nebo pamìti), pøípadnì z~obou stran:
 179
 180 \s{Definice:}
 181
 182 \itemize\ibull
 183 \:$f=\Omega(g) \equiv \exists c>0:\forall^* n \in {\bb N}: f(n) \geq c\cdot
 184 g(n)$.
 185
 186 $\Omega$-notace tedy øíká, ¾e hodnota funkce $f$ je v¾dy stejná nebo vy¹¹í ne¾
 187 nìjaký $c$-násobek funkce $g$, a tedy $g=\O(f)$.
 188 \:$f=\Theta(g) \equiv f=\O(g) \wedge f=\Omega(g)$
 189
 190 nebo výøeènìji:
 191
 192 $f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: \forall^* n \in {\bb
 193 N}: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
 194 c_{2}\cdot g(n)$ To znamená, ¾e existují nezáporné reálné konstanty
 195 $c_{1},c_{2}$ takové, ¾e se funkce $f(n)$ dá ohranièit $c_{1}$- a
 196 $c_{2}$-násobkem funkce $g(n)$.
 197 \endlist
 198
 199 \>{\sl Poznámka:} Ona rovnost je dost zavádìjící. Není to toti¾ rovnost, není
 200 to symetrické. Jiný, mo¾ná rozumnìj¹í pohled, je zavedení $\O(g)$ jako mno¾iny.
 201 Pak by se dalo psát $f \in \O(g)$, nebo tøeba $\O(n) \subseteq \O(n^2)$.
 202
 203 \s{Porovnání rùstu funkcí:} (aneb jak moc máme algoritmy rádi podle jejich
 204 chování od~nejlep¹ích k~nejhor¹ím)
 205
 206 \itemize\ibull
 207 \:$\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
 208 \:$\Theta(\log{( \log{n} )})$
 209 \:$\Theta(\log{n})$ \dots\ logaritmická
 210 \:$\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1)$ \dots\ sublineární
 211 \:$\Theta(n)$ \dots\ lineární
 212 \:$\Theta(n^{2})$ \dots\ kvadratická
 213 \:$\Theta(n^{k})$ \dots\ polynomiální
 214 \:$\Theta(2^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $2$
 215 \:$\Theta(3^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $3$
 216 \:$\Theta(k^{n})$ \dots\  exponenciální pøi základu $k>1$
 217 \:$\Theta(n!)$ \dots\ faktoriálová
 218 \:$\Theta(n^{n})$
 219 \:\dots\ nekoneènì mnoho dal¹ích tøíd (i mezi tìmi vý¹e uvedenými)
 220 \endlist
 221
 222 \>{\sl Poznámka:} Pokud se v~odhadu slo¾itosti vyskytne logaritmus (jinde ne¾
 223 v~exponentu), nezále¾í na tom, jaký má základ, proto¾e platí:
 224 $$
 225 \log_k{n}={{\log_c{n}}\over{\log_c{k}}}={{1}\over{\log_c{k}}}\cdot \log_c{n},
 226 $$
 227 kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$}.
 228
 229 \s{Pøíklad:} Select sort (rozebraný vý¹e):
 230 Kdy¾ jej pustíme na $n$ èísel, pak èasová slo¾itost je $T(n) = \Theta(n^2)$ a
 231 prostorová $S(n) = \Theta(n)$.
 232
 233 \h{Úvod do grafových algoritmù}
 234 Dal¹í dùle¾itou a zajímavou kapitolou jsou grafové algoritmy. Napøíklad
 235 následující pøíklady lze (i kdy¾ to tak obèas na první pohled nevypadá) øe¹it
 236 nìjakým grafovým algoritmem:
 237 \itemize\ibull
 238 \:Mám mapku silnièní sítì, v ní místa (vrcholy) oznaèená \uv{Doma} a \uv{©kola}.
 239 Dostanu se do
 240 ¹koly (le¾í ve stejné komponentì souvislosti)? Dostanu se do ¹koly, kdy¾ v zimì
 241 napadne hodnì snìhu a nìkteré cesty budou neprùjezdné? A jaký nejkrat¹í úsek
 242 cest musí silnièáøi prohrnout, aby byla v¹echna místa na mapì dostupná?
 243 \:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ se ètvereèky
 244 oznaèenými èísly od jedné do osmi a jednou mezerou, ètvereèky jsou zamíchané a
 245 na¹ím úkolem je správnì je seøadit pomocí pøesouvání ètvereèkù sousedících s
 246 mezerou do této mezery. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
 247 to staèí? Jde to vùbec se zadáním, které jsme dostali?
 248 \:Jaké je nejkrat¹í (kladné, celé) èíslo v desítkové soustavì zapsané jen
 249 èíslicemi 1, 0, které je dìlitelné tøinácti? Nakreslíme orientovaný graf s
 250 vrcholy 0 a¾ 12
 251 a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$
 252 (z~ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici
 253 0). Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled
 254 z~1~do~0. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
 255 \endlist
 256 Podobné a dal¹í úlohy budeme øe¹it v následujících kapitolách.
 257
 258 \bye