2-ram/2-ram.tex

   1 \input ../lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{2}{Slo¾itost, grafové algoritmy}
   4 {(zapsal Martin Koutecký)}
   5
   6 \h{Model {\sc Ram}}
   7
   8 Pøi analýze algoritmu bychom chtìli nìjak popsat jeho slo¾itost. Abychom mohli
   9  udìlat toto, potøebujeme nejprve definovat výpoèetní model. Výpoèetních modelù
  10 je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:
  11
  12 \s{Definice:} Random Access Machine ({\sc Ram})
  13
  14 {\sc Ram} poèítá jen s èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
  15 èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
  16 èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. A program samotný je
  17 koneèná posloupnost instrukcí následujících druhù:
  18 \itemize\ibull
  19 \:Aritmetické a logické:
  20 $X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
  21 {\tt\char124} |<<|, |>>|\}$
  22 \:Øídící: |goto| \<label>, |halt|
  23 \:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít
  24 if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
  25 % zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
  26 % øádku. Díky.
  27 \endlist
  28
  29 \s{Poznámka} (operandy):
  30 \itemize\ibull
  31 \:Konstanty (1, 2, \dots)
  32 \:Adresované pøímo -- M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena A-Z jako aliasy pro
  33 buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$, které nazýváme registry.
  34 (tedy A=M[-1])
  35 \:Adresované nepøímo -- M[M[konst.]] -- budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
  36 \endlist
  37
  38 Samotný výpoèet probíhá takto:
  39 \algo
  40 \:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
  41 definován.
  42 \:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
  43 programu.
  44 \:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
  45 výstup.
  46 \endalgo
  47
  48
  49 \h{Slo¾itost}
  50 Jak dobøe popsat slo¾itost?
  51 \numlist\ndotted
  52 \:{\sc Ram} s jednotkovou cenou: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor $\approx$
  53 maximální èíslo buòky minus minimální èíslo buòky pou¾ité pøi výpoètu.
  54 Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
  55 velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
  56 poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
  57 bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
  58 \:{\sc Ram} s logaritmickou cenou: èas $\approx$ \#bitù zpracovávaných èísel,
  59 prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
  60 dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
  61 \:{\sc Ram} s omezenými èísly: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme
  62 nìjakým polynomem $P(n)$. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
  63 mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám obvykle nevadí).
  64 \endlist
  65
  66 % Z minulých zápiskù.
  67 \s{Definice:}
  68 \itemize\ibull
  69 \:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako poèet
  70 elementárních operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
  71 $x$.
  72 \:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
  73 bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
  74 \:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
  75 $$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
  76 \:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
  77 $$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
  78 \endlist
  79
  80 Nyní zkusíme zanalyzovat nìjaký konkrétní algoritmus. Vezmìme napøíklad øazení
  81 pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme poèet èísel $n$ (v
  82 registru N), v buòkách $1,\dots, n$ je nesetøídìná posloupnost èísel. Ta pak
  83 tøídíme následujícím algoritmem zapsaným v pseudokódu:
  84 \algo
  85 \:Pro $i=1$ do $n$:
  86 \::$j\leftarrow i$
  87 \::Pro $k=i$ do $n$:
  88 \:::Je-li $[k]<[j]\Rightarrow j\leftarrow k$
  89 \::$[i]$ prohodíme s $[j]$.
  90 \endalgo
  91
  92 Jak by takový algoritmus vypadal zapsaný v instrukcích {\sc Ram}? Budeme muset
  93 pou¾ít návì¹tí a goto místo cyklù, jména registrù místo promìnných a
  94 tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:
  95
  96 \verbatim{
  97         I <- 1
  98 LOOP:   J <- I
  99         M <- I
 100 MIN:    IF [J]<[M] ==> M <- J
 101         J <- J+1
 102         IF J<=N ==> GOTO MIN
 103         X <- [I]
 104         [I] <- [M]
 105         [M] <- X
 106         I <- I+1
 107         IF I<=N ==> GOTO LOOP
 108 }
 109
 110 Pojïme se podívat, jaká je èasová slo¾itost jednotlivých èástí algoritmu.
 111 Cyklus |MIN| provede $3\cdot (N-I+1)$ instrukcí. Mimo cyklu |MIN| je v |LOOP|
 112 je¹tì 7 instrukcí, tedy celý |LOOP| provede $3\cdot (N-I+1)+7$ instrukcí.
 113 Celkovì se dostáváme k souètu
 114 $$1+3\cdot N+7+3\cdot (N-1)+7+3\cdot (N-2)+7+3\cdot (N-3)+\dots +3\cdot 1+7 =$$
 115 $$1+7\cdot N+3\cdot {{N(N+1)}\over{2}} = {{3}\over{2}}N^2 + 8,5N + 1$$
 116
 117 Na multiplikativních konstantách ale nezále¾í -- zaprvé se na reálných strojích
 118 ceny jednotlivých (pro nás jednotkových) instrukcí stejnì li¹í, zadruhé
 119 asymptoticky pomalej¹í funkce nakonec pro velké N v¾dy prohraje, tak¾e nemá cenu
 120 (alespoò pøi prvním pøiblí¾ení k problému) multiplikativními konstantami se
 121 zabývat. Tím pádem nezále¾í ani na èlenech ni¾¹í øádù:
 122 $$1{,}5N^2 + 8{,}5N + 1 \leq 1{,}5N^2 + 8{,}5N^2 + N^2 = 11N^2\approx N^2$$
 123 Kdy¾ u¾ toto víme, mù¾eme zanedbávat konstanty prùbì¾nì: $N$ cyklù po
 124 $\approx~N$~krocích $\Rightarrow~\approx~N^2$ krokù. To nás vede k zavedení tzv.
 125 {\I asymptotické notace:}
 126
 127 \h{Asymptotická notace}
 128 \s{Definice:} Pro funkce $f,g: {\bb N} \rightarrow {\bb R}^+$ øekneme,
 129 ¾e $f$ je $\O(g)$ právì tehdy, kdy¾ $\exists c>0: \forall ^{*} n \in {\bb N}:
 130 f(n) \leq c \cdot g(n)$.
 131 Zde $\forall^* n \in {\bb N}$ je zkratka za \uv{$\exists n_0 \in {\bb N}:
 132 \forall n \geq n_0$}, tedy
 133 \uv{pro v¹echna~$n$ a¾ na~koneènì mnoho výjimek.}
 134
 135 \s{Poznámka:} $\O$-notace tedy vyjadøuje, ¾e funkce~$f$ je skoro v¹ude men¹í
 136 nebo nejvý¹e rovná nìjakému reálnému násobku funkce~$g$. Aèkoliv zápis vypadá
 137 jako rovnost, rozhodnì není symetrický: napøíklad platí $\log n=\O(n)$, ale
 138 neplatí $n=\O(\log n)$. Formálnì by bylo lep¹í pova¾ovat $\O(g)$ za tøídu
 139 funkcí, pro které platí, ¾e se dají shora odhadnout kladným násobkem funkce~$g$,
 140 a~psát tedy~$f\in\O(g)$, ale zvyk je bohu¾el ¾elezná ko¹ile.
 141
 142 \s{Pøíklady:} $2.5n^{2} = \O(n^{2})$, $2.5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.
 143
 144 \>Také platí:
 145 $$
 146 \O(f)+\O(g) \in \O(f+g),
 147 $$
 148 èím¾ myslíme, ¾e pokud vezmeme libovolnou $f'=O(f)$ a $g'=O(g)$, bude
 149 $f'+g'=O(f+g)$.
 150 To platí, jeliko¾ skoro v¹ude je $f' \leq cf$, $g'\leq dg$, a~tedy $f'+g' \le
 151 cf+dg \le (c+d)(f+g)$.
 152
 153 \s{Cvièení:} Uka¾te, ¾e:
 154 \itemize\ibull
 155 \:$\O(f) \cdot \O(g)=\O(f \cdot g)$,
 156 \:$\O(f+g)=\O(\max(f,g))$,
 157 \:$\O(n^{2})+\O(n)=\O(n^{2}+n)=\O(n^{2})$.
 158 \endlist
 159
 160 $\O$-notace popisuje horní odhad asymptotického chování funkce. Mnohdy v¹ak
 161 potøebujeme také odhadnout funkci zespodu (chceme-li øíci, ¾e algoritmus
 162 potøebuje {\I alespoò} nìjaké mno¾ství èasu nebo pamìti), pøípadnì z~obou stran:
 163
 164 \s{Definice:}
 165
 166 \itemize\ibull
 167 \:$f=\Omega(g) \equiv \exists c>0:\forall^* n \in {\bb N}: f(n) \geq c\cdot
 168 g(n)$.
 169
 170 $\Omega$-notace tedy øíká, ¾e hodnota funkce $f$ je v¾dy stejná nebo vy¹¹í ne¾
 171 nìjaký $c$-násobek funkce $g$, a tedy $g=\O(f)$.
 172 \:$f=\Theta(g) \equiv f=O(g) \wedge f=\Omega(g)$
 173
 174 nebo výøeènìji:
 175
 176 $f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
 177 c_{2}\cdot g(n)$ To znamená, ¾e existují nezáporné reálné konstanty
 178 $c_{1},c_{2}$ takové, ¾e se funkce $f(n)$ dá ohranièit $c_{1}$- a
 179 $c_{2}$-násobkem funkce $g(n)$.
 180 \endlist
 181
 182 \s{Porovnání rùstu funkcí:} (aneb jak moc máme algoritmy rádi podle jejich
 183 chování od~nejlep¹ích k~nejhor¹ím)
 184
 185 \itemize\ibull
 186 \:$\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
 187 \:$\Theta(\log{( \log{n} )})$
 188 \:$\Theta(\log{n})$ \dots\ logaritmická
 189 \:$\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1)$ \dots\ sublineární
 190 \:$\Theta(n)$ \dots\ lineární
 191 \:$\Theta(n^{2})$ \dots\ kvadratická
 192 \:$\Theta(n^{k})$ \dots\ polynomiální
 193 \:$\Theta(2^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $2$
 194 \:$\Theta(3^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $3$
 195 \:$\Theta(k^{n})$ \dots\  exponenciální pøi základu $k>1$
 196 \:$\Theta(n!)$ \dots\ faktoriálová
 197 \:$\Theta(n^{n})$
 198 \:\dots\ nekoneènì mnoho dal¹ích tøíd (i mezi tìmi vý¹e uvedenými)
 199 \endlist
 200
 201 \>{\sl Poznámka:} Pokud se v~odhadu slo¾itosti vyskytne logaritmus (jinde ne¾
 202 v~exponentu), nezále¾í na tom, jaký má základ, proto¾e platí:
 203 $$
 204 \log_k{n}={{\log_c{n}}\over{\log_c{k}}}={{1}\over{\log_c{k}}}\cdot \log_c{n},
 205 $$
 206 kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$.}
 207
 208 \s{Pøíklad:} Select sort (rozebraný vý¹e):
 209 Kdy¾ jej pustíme na $n$ èísel, pak èasová slo¾itost je $T(n) = \Theta(n^2)$ a
 210 prostorová $S(n) = \Theta(n)$.
 211
 212 \h{Úvod do grafových algoritmù}
 213 Dal¹í dùle¾itou a zajímavou kapitolou jsou grafové algoritmy. Napøíklad
 214 následující pøíklady lze (i kdy¾ to tak obèas na první pohled nevypadá) øe¹it
 215 nìjakým grafovým algoritmem:
 216 \itemize\ibull
 217 \:Mám mapku silnièní sítì, v ní oznaèené \uv{Doma} a \uv{©kola}. Dostanu se do
 218 ¹koly (le¾í ve stejné komponentì souvislosti)? Dostanu se do ¹koly, kdy¾ v zimì
 219 napadne hodnì snìhu a nìkteré cesty budou neprùjezdné? A jaký nejkrat¹í úsek
 220 cest musí silnièáøi prohrnout, aby byla v¹echna místa na mapì dostupná?
 221 \:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ se ètvereèky
 222 oznaèenými èísly od jedné do osmi a jednou mezerou, ètvereèky jsou zamíchané a
 223 na¹ím úkolem je správnì je seøadit. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
 224 to staèí? Jde to vùbec se zadáním, které jsme dostali?
 225 \:Jaké je nejkrat¹í (kladné, celé) èíslo v desítkové soustavì zapsané jen
 226 èíslicemi 1, 0 dìlitelné tøinácti? Nakreslíme orientovaný graf s vrcholy 1 a¾ 13
 227 a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$
 228 (z~ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici
 229 0). Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled
 230 z~0~do~1. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
 231 \endlist
 232 Podobné a dal¹í úlohy budeme øe¹it v následujících kapitolách.
 233
 234 \bye