Floyd: V zobecněném Floydovi-Warshallovi nezapomínejme na smyčky

[ga.git] / 14-floyd / 14-floyd.tex

\input ../sgr.tex

\prednaska{14}{Transitivní uzávěry}{}

V~předchozí kapitole jsme se zabývali algoritmy pro hledání nejkratších
cest z~daného počátečního vrcholu. Nyní se zaměříme na případy, kdy nás
zajímají vzdálenosti, případně pouhá dosažitelnost, mezi všemi dvojicemi
vrcholů.

Výstupem takového algoritmu bude {\I matice vzdáleností} (případně
{\I matice dosažitelnosti}). Na ni se také mužeme dívat jako na {\I transitivní
uzávěr} zadaného grafu -- to je graf na~téže množině vrcholů, jehož hrany
odpovídají nejkratším cestám v~grafu původním.

Jeden způsob, jak transitivní uzávěr spočítat, se ihned nabízí: postupně
spustit Dijkstrův algoritmus pro všechny možné volby počátečního vrcholu,
případně se před tím ještě zbavit záporných hran pomocí potenciálů. Tak
dosáhneme časové složitosti $\O(mn + n^2\log n)$. To je pro řídké grafy
nejlepší známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát pomalejší, než je velikost
výstupu.

Je-li graf hustý, pracují obvykle rychleji algoritmy založené na maticích, zejména
na jejich násobení. Několik algoritmů tohoto druhu si nyní předvedeme,
a to jak pro výpočet vzdáleností, tak pro dosažitelnost.

Graf na vstupu bude vždy zadán maticí délek hran -- to je matice $n\times n$,
jejíž řádky i sloupce jsou indexované vrcholy a na pozici $(i,j)$ se nachází
délka hrany $ij$; případné chybějící hrany doplníme s~délkou~$+\infty$.

\h{Floydův-Warshallův algoritmus}

Začněme algoritmem, který nezávisle na sobě objevili Floyd a Warshall.
Funguje pro libovolný orientovaný graf bez záporných cyklů.

Označme $D^k_{ij}$ délku nejkratší cesty z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$ přes
vrcholy 1 až~$k$ (tím myslíme, že všechny vnitřní vrcholy cesty leží v~množině $\{1,\ldots,k\}$).
Jako obvykle položíme $D^k_{ij}=+\infty$, pokud žádná taková cesta neexistuje.
Pak platí:
$$\eqalign{
D^0_{ij} &= \hbox{délka hrany $ij$,} \cr
D^n_{ij} &= \hbox{hledaná vzdálenost z~$i$ do~$j$,} \cr
D^k_{ij} &= \min( D^{k-1}_{ij}, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} ). \cr
}$$
První dvě rovnosti plynou přímo z~definice. Třetí rovnost dostaneme rozdělením
cest z~$i$ do~$j$ přes 1 až~$k$ na ty, které se vrcholu~$k$ vyhnou (a~jsou tedy
cestami přes 1 až~$k-1$), a ty, které ho použijí -- každou takovou můžeme složit
z~cesty z~$i$ do~$k$ a cesty z~$k$ do~$j$, obojí přes 1 až~$k-1$.

Zbývá vyřešit jednu maličkost: složením cesty z~$i$ do~$k$ s~cestou z~$k$ do~$j$
nemusí nutně vzniknout cesta, protože se nějaký vrchol může opakovat. V~grafech
bez záporných cyklů nicméně takový sled nemůže být kratší než nejkratší cesta,
takže tím falešné řešení nevyrobíme. (Přesněji: ze sledu $i\alpha v\beta k\gamma v\delta j$,
kde $v\not\in\beta,\gamma$, můžeme vypuštěním části $v\beta k\gamma v$ nezáporné
délky získat sled z~$i$ do~$j$ přes 1 až~$k-1$, jehož délka nemůže být menší
než~$D^{k-1}_{ij}$.)

Samotný algoritmus postupně počítá matice $D^0, D^1, \ldots, D^n$ podle uvedeného předpisu:

\algo
\:$D^0 \leftarrow \hbox{matice délek hran}$.
\:Pro $k=1,\ldots,n$:
\::Pro $i,j=1,\ldots,n$:
\:::$D^k_{ij} \leftarrow \min( D^{k-1}_{ij}, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} )$.
\:$\hbox{Matice vzdáleností} \leftarrow D^n.$
\endalgo

Časová složitost tohoto algoritmu činí $\Theta(n^3)$. Kubickou prostorovou
složitost můžeme snadno snížit na~kvadratickou: Buď si uvědomíme, že v~každém
okamžiku potřebujeme jen aktuální matici~$D^k$ a předchozí~$D^{k-1}$. Anebo
nahlédneme, že můžeme $D^{k-1}$ na~$D^k$ přepisovat na místě. U~hodnot $D_{ik}$
a~$D_{kj}$ je totiž podle definice stará i nová hodnota stejná. Algoritmu tedy
stačí jediné pole velikosti $n\times n$, které na~počátku výpočtu obsahuje
vstup a na~konci výstup.

\h{Regulární výrazy}

Předchozí algoritmus lze zajímavě zobecnit, totiž tak, aby pro každou dvojici
vrcholů sestrojil vhodnou reprezentaci množiny všech sledů vedoucích mezi nimi.
Tato reprezentace bude velice podobná regulárním výrazům známým z~UNIXu
a z~teorie automatů. Budeme připouštět orientované multigrafy se smyčkami
a násobnými hranami.

\s{Definice:} {\I Svazek} je množina sledů, které mají společný počáteční
a koncový vrchol. {\I Typem} svazku nazveme uspořádanou dvojici těchto vrcholů.
Místo \uv{svazek typu $(u,v)$} budeme obvykle říkat prostě {\I $uv$-svazek.}

Triviálními případy svazků jsou prázdná množina~$\emptyset$, samotná hrana~$uv$ a pro
$u=v$ také sled~$\varepsilon_u$ nulové délky. Svazky můžeme kombinovat
těmito operacemi:

\itemize\ibull
\:$A\cup B$ -- {\I sjednocení} dvou svazků téhož typu,
\:$AB$ nebo $A\cdot B$ -- {\I zřetězení} $uv$-svazku~$A$ s~$vw$-svazkem~$B$: výsledkem je $uw$-svazek
obsahující všechna spojení sledu z~$A$ se sledem z~$B$,
\:$A^*$ -- {\I iterace} $uu$-svazku: výsledkem je $uu$-svazek
$\varepsilon \cup A \cup AA \cup AAA \cup \ldots$ (tedy všechna možná
spojení konečně mnoha sledů z~$A$).
\endlist

\>Ve~výrazu definujícím~$A^*$ jsme využili, že operace sjednocení a zřetězení
jsou asociativní, takže je nemusíme závorkovat. Navíc sjednocení má ve~výrazech
nižší prioritu než zřetězení.

\>Svazky budeme obvykle reprezentovat {\I sledovými výrazy,} což jsou
výrazy konečné délky sestávající z~triviálních svazků a výše uvedených
operací.

\s{Pozorování:} Sledy můžeme reprezentovat řetězci nad abecedou, jejíž
symboly jsou identifikátory hran. Sledové výrazy pak odpovídají regulárním
výrazům nad touto abecedou.

Ukážeme, jak pro všechny dvojice vrcholu $i,j$ sestrojit sledový výraz $R_{ij}$
popisující svazek všech sledů z~$i$ do~$j$. Podobně jako u~Floydova-Warshallova
algoritmu zavedeme $R^k_{ij}$ coby výraz popisující sledy z~$i$ do~$j$ přes 1 až~$k$
a nahlédneme, že platí:
$$\eqalign{
R^0_{ij} &= \cases{
        \hbox{množina všech hran z~$i$ do~$j$}        & \hbox{pokud $i\ne j$} \cr
        \varepsilon_i \cup \hbox{všechny smyčky v~$i$}        & \hbox{pokud $i=j$} \cr
        }       \cr
R^n_{ij} &= \hbox{hledané $R_{ij}$}, \cr
R^k_{ij} &= R^{k-1}_{ij} \cup R^{k-1}_{ik}(R^{k-1}_{kk})^*R^{k-1}_{kj}. \cr
}$$
První dvě rovnosti opět plynou přímo z~definice (množinu všech hran zapíšeme
buď jako prázdnou nebo ji vytvoříme sjednocováním z~jednoprvkových množin). Třetí
rovnost vychází z~toho, že každý sled z~$i$ do~$j$ buď neobsahuje~$k$, nebo ho
můžeme rozdělit na~části mezi jednotlivými návštěvami vrcholu~$k$.

Algoritmus tedy bude postupně budovat matice $R^0, R^1, \ldots, R^n$ podle těchto
pravidel. Provedeme při tom $\Theta(n^3)$ operací, ovšem s~výrazy, jejichž délka
může být až řádově~$4^n$. Raději než jako řetězce je proto budeme ukládat v~podobě
acyklických orientovaných grafů: vrcholy budou operace, hrany je budou připojovat
k~operandům.

K~přímému použití se takový exponenciálně dlouhý výraz hodí málokdy, ale může
nám pomoci odpovídat na různé otázky týkající se sledů s~danými koncovými vrcholy.
Máme-li nějakou funkci~$f$ ohodnocující množiny sledů kódované sledovými
výrazy, stačí umět vyhodnotit:
\itemize\ibull
\:výsledek pro triviální výrazy $f(\emptyset)$, $f(\varepsilon)$ a $f(e)$ pro hranu~$e$,
\:hodnoty $f(\alpha\cup\beta)$, $f(\alpha\beta)$ a $f(\alpha^*)$, známe-li již $f(\alpha)$ a $f(\beta)$.
\endlist
\>Pro výpočet všech $f(R_{ij})$ nám pak stačí $\Theta(n^3)$ vyhodnocení funkce~$f$.

\s{Poznámka pro ctitele algebry:} Výše uvedená konstrukce není nic jiného, než popis
homomorfismu~$f$ z~algebry $({\cal S},\emptyset,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n,
e_1,\ldots,e_m,\cup,\cdot,{}^*)$ nad množinou~${\cal S}$ všech svazků do~nějaké
algebry $(X,{\bf 0},c_1,\ldots,c_n,h_1,\ldots,h_m,\oplus,\otimes,\circledast)$, kde~$X$ je množina
všech ohodnocení sledů, {\bf 0}, $c_1,\ldots,c_n$ a $h_1,\ldots,h_m$ jsou konstanty,
$\oplus$ a~$\otimes$ binární operace a $\circledast$ unární operace. Průběh výpočtu
upraveného algoritmu je pak homomorfním obrazem průběhu výpočtu původního algoritmu
pracujícího přímo se svazky.

\s{Příklady:}

\>{\I Nejkratší sled:}
$$\eqalign{
f(\emptyset)&=+\infty \cr
f(\varepsilon)&=0 \cr
f(e)&=\ell(e) \hbox{\quad (délka hrany~$e$)} \cr
f(\alpha\cup\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha\beta) &= f(\alpha) + f(\beta) \cr
f(\alpha^*) &= \cases{0 & \hbox{pro $f(\alpha)\ge 0$} \cr -\infty & \hbox{pro $f(\alpha)<0$} \cr} \cr
}$$
(Pokud předpokládáme, že v~grafu nejsou záporné cykly, je $f(\alpha^*)$ vždy nulové
a dostaneme přesně Floydův-Warshallův algoritmus.)

\>{\I Nejširší cesta} (hranám jsou přiřazeny šířky, šířka cesty je minimum z~šířek hran):
$$\eqalign{
f(\emptyset)&=0 \cr
f(\varepsilon)&=\infty \cr
f(e)&=w(e) \hbox{\quad (šířka hrany~$e$)} \cr
f(\alpha\cup\beta) &= \max(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
f(\alpha^*) &= \infty \cr
}$$

\>{\I Převod konečného automatu na regulární výraz:} Vrcholy multigrafu budou odpovídat
stavům automatu, hrany možným přechodům mezi stavy. Každou hranu ohodnotíme symbolem
abecedy, po jehož přečtení automat přechod provede. Funkce~$f$ pak přiřadí $uv$-svazku~$\psi$
regulární výraz popisující množinu všech řetězců, po jejichž přečtení automat přejde
ze~stavu~$u$ do stavu~$v$ po přechodech z~množiny~$\psi$. Vyhodnocování funkce~$f$
odpovídá přímočarým operacím s~řetězci.

\h{Násobení matic}

Řešíme-li grafové problémy pomocí matic, nabízí se použít známé subkubické algoritmy
pro lineárně algebraické úlohy. Ty jsou obvykle založeny na efektivním násobení
matic -- dvě matice $n\times n$ můžeme vynásobit v~čase:

\itemize\ibull
\:$\O(n^3)$ podle definice,
\:$\O(n^{2.808})$ Strassenovým algoritmem~\cite{strassen:matmult},
\:$\O(n^{2.376})$ algoritmem Coppersmithe a Winograda~\cite{coppersmith:matmult},
\:$\O(n^{2.373})$ algoritmem Williamsové~\cite{williams:matmult}.
\endlist

Obecně přijímaná hypotéza říká, že pro každé $\omega>2$ existuje algoritmus
násobící matice se složitostí $\O(n^\omega)$. Jediný známý dolní odhad je přitom
$\Omega(n^2\log n)$ pro aritmetické obvody s~omezenou velikostí konstant~\cite{raz:mmlower}.
Blíže se o~tomto fascinujícím tématu můžete dočíst v~Szegedyho článku \cite{szegedy:matmult}.

Předpokládejme tedy, že umíme násobit matice v~čase $\O(n^\omega)$ pro nějaké $\omega < 3$.

Co se stane, když mocníme matici sousednosti~$A$ grafu? V~matici $A^k$ se na pozici
$i,j$ nachází počet sledů délky~$k$, které vedou z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$.
(Snadný důkaz indukcí vynecháváme.) Pro libovolné $k\ge n-1$ jsou tedy v~$(A+E)^k$
(kde $E$ značí jednotkovou matici; doplnili jsme tedy do grafu smyčky) nenuly
přesně tam, kde z~$i$ do~$j$ vede cesta.

To nám dává jednoduchý algoritmus pro výpočet matice dosažitelnosti~$R$ ($R_{ij}$
je 1 nebo~0 podle toho, zda z~$i$ do~$j$ vede cesta). Do~matice~$A$ doplníme
na diagonálu jedničky a poté ji $\lceil \log_2 n\rceil$-krát umocníme na~druhou.
Abychom se vyhnuli velkým číslům, nahradíme po každém umocnění nenuly jedničkami.
Celkem tedy provedeme $\O(\log n)$ násobení matic, což trvá $\O(n^\omega\log n)$.

Na~tento postup se můžeme dívat i~obecněji:

\s{Definice:} {\I $(\oplus,\otimes)$-součin} matic~$A,B \in X^{n\times n}$,
kde $\oplus$ a~$\otimes$ jsou dvě asociativní binární operace na~množině~$X$,
je matice~$C$ taková, že
$$
C_{ij} = \bigoplus_{k=1}^n A_{ik}\otimes B_{kj}.
$$
Klasické násobení matic je tedy $(+,\cdot)$-součin.

\s{Pozorování:} Pokud $A$ a~$B$ jsou matice svazků ($A_{ij}$ a $B_{ij}$
jsou $ij$-svazky) a $C$ jejich $(\cup,\cdot)$-součin, pak $C_{ij}$ je
svazek všech sledů vzniklých spojením nějakého sledu z~$A$ začínajícího
v~$i$ a nějakého sledu z~$B$ končícího v~$j$.

Podobně jako v~předchozí sekci si tedy můžeme pořídit funkci~$f$ přiřazující
svazkům hodnoty z~nějaké množiny~$X$ a operace $\oplus$ a $\otimes$ na~$X$,
pro něž platí $f(\alpha\cup\beta) = f(\alpha) \oplus f(\beta)$ a $f(\alpha\beta)
= f(\alpha) \otimes f(\beta)$. Pak stačí vzít matici popisující ohodnocení
všech sledů délky 0 nebo~1 (to je obdoba matice sousednosti), a provést $\O(\log n)$
$(\oplus,\otimes)$-součinů k~tomu, abychom znali ohodnocení svazků sledů délky
právě~$k$ pro nějaké $k\ge n$.

S~$(\lor,\land)$-součiny a maticí sousednosti s~jedničkami na diagonále získáme
algoritmus pro výpočet dosažitelnosti. Každý součin přitom můžeme provést jako
obyčejné násobení matic následované přepsáním nenul na jedničky, takže celý
výpočet běží v~čase $\O(n^\omega\log n)$.

Podobně můžeme počítat i matici vzdáleností: začneme s~maticí délek hran doplněnou o~nuly na~diagonále
a použijeme $(\min,+)$-součiny. Tyto součiny ale bohužel neumíme převést na klasické násobení matic.
Přesto je známo několik algoritmů efektivnějších než $\Theta(n^3)$, byť pouze o~málo:
například Zwickův \cite{zwick:apsp} v~čase $\O(n^3\sqrt{\log\log n}/\log n)$
(založený na dekompozici a předpočítání malých bloků) nebo Chanův \cite{chan:apsp} v~$\O(n^3/\log n)$
(používající geometrické techniky). Abychom porazili Floydův-Warshallův algoritmus,
potřebovali bychom ovšem větší než logaritmické zrychlení, protože součinů potřebujeme
vypočítat logaritmicky mnoho.

Dodejme ještě, že pro grafy ohodnocené malými celými čísly je možné využít
celou řadu dalších triků. Zájemce o~tento druh algoritmů odkazujeme na Zwickův
článek~\cite{zwick:apspint}.

\h{Rozděl a panuj}

Předchozí převod je ovšem trochu marnotratný. Šikovným použitím metody Rozděl a panuj
můžeme časovou složitost ještě snížit. Postup předvedeme pro dosažitelnost: na vstupu
tedy dostaneme matici sousednosti~$A$, výstupem má být její transitivní uzávěr~$A^*$
(matice dosažitelnosti). Všechny součiny matic v~tomto oddílu budou typu $(\lor,\land)$.

Vrcholy grafu rozdělíme na dvě množiny $X$ a~$Y$ přibližně stejné velikosti,
bez újmy na obecnosti tak, aby matice~$A$ měla následující blokový tvar:
$$A = \pmatrix{ P & Q \cr R & S \cr },$$
kde podmatice~$P$ popisuje hrany z~$X$ do~$X$, podmatice~$Q$ hrany z~$X$ do~$Y$, atd.

\s{Věta:} Pokud matici~$A^*$ zapíšeme rovněž v~blokovém tvaru:
$$A^* = \pmatrix{ I & J \cr K & L \cr },$$
bude platit:
$$\eqalign{
I &= (P \lor QS^*R)^*, \cr
J &= IQS^*, \cr
K &= S^*RI, \cr
L &= S^* \lor S^*RIQS^*.
}$$

\proof
Jednotlivé rovnosti můžeme číst takto:
\def\nIJKL{\count0=`H\advance\count0 by\itemcount{\bf\char\count0:}}
\numlist\nIJKL
\:Sled z~$X$ do~$X$ vznikne opakováním částí, z~nichž každá je buďto
hrana uvnitř~$X$ nebo přechod po hraně z~$X$ do~$Y$ následovaný sledem
uvnitř~$Y$ a přechodem zpět do~$X$.
\:Sled z~$X$ do~$Y$ můžeme rozdělit v~místě, kdy naposledy přechází
po~hraně z~$X$ do~$Y$. První část přitom bude sled z~$X$ do~$X$,
druhá sled uvnitř~$Y$.
\:Se sledem z~$Y$ do~$X$ naložíme symetricky.
\:Sled z~$Y$ do~$Y$ vede buďto celý uvnitř~$Y$, nebo ho můžeme rozdělit
na~prvním přechodu z~$Y$ do~$X$ a posledním přechodu z~$X$ do~$Y$.
Část před prvním přechodem povede celá uvnitř~$Y$, část mezi přechody
bude tvořit sled z~$X$ do~$X$ a konečně část za~posledním přechodem zůstane
opět uvnitř~$Y$.
\qeditem
\endlist

\s{Algoritmus:}
Výpočet matice~$A^*$ provedeme podle předchozí věty. Spočítáme 2~tranzitivní uzávěry
matic poloviční velikosti rekurzivním voláním, dále pak $\O(1)$ $(\lor,\land)$-součinů
a $\O(1)$ součtů matic.

Časová složitost $t(n)$ tohoto algoritmu bude splňovat následující rekurenci:
$$t(1)=\Theta(1), \quad t(n) = 2t(n/2) + \Theta(1)\cdot\mu(n/2) + \Theta(n^2),$$
kde $\mu(k)$ značí čas potřebný na jeden $(\lor,\land)$-součin
matic $k\times k$. Jelikož jistě platí $\mu(n/2)=\Omega(n^2)$,
má tato rekurence podle kuchařkové věty řešení $t(n) = \mu(n)$.

Ukázali jsme tedy, že výpočet matice dosažitelnosti je nejvýše stejně
náročný jako $(\lor,\land)$-násobení matic -- můžeme ho proto provést
v~čase $\O(n^\omega)$. Dokonce existuje přímočarý převod v~opačném směru,
takže oba problémy jsou asymptoticky stejně těžké.

Podobně nalézt matici vzdáleností je stejně těžké jako $(\min,+)$-součin,
takže na to stačí čas $\O(n^3/\log n)$.

\h{Seidelův algoritmus}

Pro neorientované neohodnocené grafy můžeme dosáhnout ještě lepších
výsledků. Matici vzdáleností lze spočítat v~čase $\O(n^\omega\log n)$
Seidelovým algoritmem~\cite{seidel:unitlength}. Ten funguje následovně:

\s{Definice:} {\I Druhá mocnina grafu~$G$} je graf~$G^2$ na téže množině vrcholů,
v~němž jsou vrcholy~$i$ a~$j$ spojeny hranou právě tehdy, existuje-li v~$G$ sled
délky nejvýše~2 vedoucí z~$i$ do~$j$.

\s{Pozorování:} Matici sousednosti grafu~$G^2$ získáme z~matice sousednosti
grafu~$G$ jedním $(\lor,\land)$-součinem, tedy v~čase $\O(n^\omega)$.

Seidelův algoritmus bude postupovat rekurzivně: Sestrojí graf~$G^2$, rekurzí
spočítá jeho matici vzdáleností~$D'$ a z~ní pak rekonstruuje matici vzdáleností~$D$
zadaného grafu. Rekurze končí, pokud $G^2=G$ -- tehdy je každá komponenta
souvislosti zahuštěna na~úplný graf, takže matice vzdáleností je rovna matici sousednosti.

Zbývá ukázat, jak z~matice~$D'$ spočítat matici~$D$. Zvolme pevně~$i$ a zaměřme
se na funkce $d(v)=D_{iv}$ a $d'(v)=D'_{iv}$. Jistě platí $d'(v) = \lceil d(v)/2 \rceil$,
pročež $d(v)$ je buď rovno $2d'(v)$ nebo o~1 nižší. Naučíme se rozpoznat, jestli
$d(v)$ má být sudé nebo liché, a~z~toho vždy poznáme, jestli je potřeba jedničku odečíst.

Jak vypadá funkce~$d$ na sousedech vrcholu~$v\ne i$? Pro alespoň jednoho souseda~$u$ je
$d(u) = d(v)-1$ (to platí pro sousedy, kteří leží na některé z~nejkratších cest z~$v$ do~$i$).
Pro všechny ostatní sousedy je $d(u)=d(v)$ nebo $d(u)=d(v)+1$.

Pokud je $d(v)$ sudé, vyjde pro sousedy ležící na nejkratších cestách $d'(u)=d'(v)$
a pro ostatní sousedy $d'(u)\ge d'(v)$, takže průměr z~$d'(u)$ přes sousedy je
alespoň~$d'(v)$. Je-li naopak $d(v)$ liché, musí být pro sousedy na nejkratších cestách
$d'(u) < d(v)$ a pro všechny ostatní $d'(u) = d(v)$, takže průměr klesne pod~$d'(v)$.

Průměry přes sousedy přitom můžeme spočítat násobením matic: vynásobíme matici
vzdáleností~$D'$ maticí sousednosti grafu~$G$. Na pozici~$i,j$ se objeví součet
hodnot $D'_{ik}$ přes všechny sousedy~$k$ vrcholu~$j$. Ten stačí vydělit stupněm
vrcholu~$j$ a hledaný průměr je na světě.

Po~provedení jednoho násobení matic tedy dovedeme pro každou dvojici vrcholů
v~konstantním čase spočítat $D_{ij}$ z~$D'_{ij}$. Jedna úroveň rekurze proto
trvá $\O(n^\omega)$ a jelikož průměr grafu pokaždé klesne alespoň dvakrát,
je úrovní $\O(\log n)$ a celý algoritmus doběhne ve~slíbeném čase $\O(n^\omega\log n)$.

\references
\bye