3 \prednaska{14}{Transitivní uzávìry}{}
5 V~pøedchozí kapitole jsme se zabývali algoritmy pro hledání nejkrat¹ích
6 cest z~daného poèáteèního vrcholu. Nyní se zamìøíme na pøípady, kdy nás
7 zajímají vzdálenosti, pøípadnì pouhá dosa¾itelnost, mezi v¹emi dvojicemi
10 Výstupem takového algoritmu bude {\I matice vzdáleností} (pøípadnì
11 {\I matice dosa¾itelnosti}). Na ni se také mu¾eme dívat jako na {\I transitivní
12 uzávìr} zadaného grafu -- to je graf na~té¾e mno¾inì vrcholù, jeho¾ hrany
13 odpovídají nejkrat¹ím cestám v~grafu pùvodním.
15 Jeden zpùsob, jak transitivní uzávìr spoèítat, se ihned nabízí: postupnì
16 spustit Dijkstrùv algoritmus pro v¹echny mo¾né volby poèáteèního vrcholu,
17 pøípadnì se pøed tím je¹tì zbavit záporných hran pomocí potenciálù. Tak
18 dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(mn + n^2\log n)$. To je pro øídké grafy
19 nejlep¹í známý výsledek -- jen $\O(\log n)$-krát pomalej¹í, ne¾ je velikost
22 Je-li graf hustý, pracují obvykle rychleji algoritmy zalo¾ené na maticích, zejména
23 na jejich násobení. Nìkolik algoritmù tohoto druhu si nyní pøedvedeme,
24 a to jak pro výpoèet vzdáleností, tak pro dosa¾itelnost.
26 Graf na vstupu bude v¾dy zadán maticí délek hran -- to je matice $n\times n$,
27 její¾ øádky i sloupce jsou indexované vrcholy a na pozici $(i,j)$ se nachází
28 délka hrany $ij$; pøípadné chybìjící hrany doplníme s~délkou~$+\infty$.
30 \h{Floydùv-Warshallùv algoritmus}
32 Zaènìme algoritmem, který nezávisle na sobì objevili Floyd a Warshall.
33 Funguje pro libovolný orientovaný graf bez záporných cyklù.
35 Oznaème $D^k_{ij}$ délku nejkrat¹í cesty z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$ pøes
36 vrcholy 1 a¾~$k$ (tím myslíme, ¾e v¹echny vnitøní vrcholy cesty le¾í v~mno¾inì $\{1,\ldots,k\}$).
37 Jako obvykle polo¾íme $D^k_{ij}=+\infty$, pokud ¾ádná taková cesta neexistuje.
40 D^0_{ij} &= \hbox{délka hrany $ij$,} \cr
41 D^n_{ij} &= \hbox{hledaná vzdálenost z~$i$ do~$j$,} \cr
42 D^k_{ij} &= \min( D^{k-1}_{ij}, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} ). \cr
44 První dvì rovnosti plynou pøímo z~definice. Tøetí rovnost dostaneme rozdìlením
45 cest z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k$ na ty, které se vrcholu~$k$ vyhnou (a~jsou tedy
46 cestami pøes 1 a¾~$k-1$), a ty, které ho pou¾ijí -- ka¾dou takovou mù¾eme slo¾it
47 z~cesty z~$i$ do~$k$ a cesty z~$k$ do~$j$, obojí pøes 1 a¾~$k-1$.
49 Zbývá vyøe¹it jednu malièkost: slo¾ením cesty z~$i$ do~$k$ s~cestou z~$k$ do~$j$
50 nemusí nutnì vzniknout cesta, proto¾e se nìjaký vrchol mù¾e opakovat. V~grafech
51 bez záporných cyklù nicménì takový sled nemù¾e být krat¹í ne¾ nejkrat¹í cesta,
52 tak¾e tím fale¹né øe¹ení nevyrobíme. (Pøesnìji: ze sledu $i\alpha v\beta k\gamma v\delta j$,
53 kde $v\not\in\beta,\gamma$, mù¾eme vypu¹tìním èásti $v\beta k\gamma v$ nezáporné
54 délky získat sled z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k-1$, jeho¾ délka nemù¾e být men¹í
57 Samotný algoritmus postupnì poèítá matice $D^0, D^1, \ldots, D^n$ podle uvedeného pøedpisu:
60 \:$D^0 \leftarrow \hbox{matice délek hran}$.
62 \::Pro $i,j=1,\ldots,n$:
63 \:::$D^k_{ij} \leftarrow \min( D^{k-1}_{ij}, D^{k-1}_{ik} + D^{k-1}_{kj} )$.
64 \:$\hbox{Matice vzdáleností} \leftarrow D^n.$
67 Èasová slo¾itost tohoto algoritmu èiní $\Theta(n^3)$. Kubickou prostorovou
68 slo¾itost mù¾eme snadno sní¾it na~kvadratickou: Buï si uvìdomíme, ¾e v~ka¾dém
69 okam¾iku potøebujeme jen aktuální matici~$D^k$ a pøedchozí~$D^{k-1}$. Anebo
70 nahlédneme, ¾e mù¾eme $D^{k-1}$ na~$D^k$ pøepisovat na místì. U~hodnot $D_{ik}$
71 a~$D_{kj}$ je toti¾ podle definice stará i nová hodnota stejná. Algoritmu tedy
72 staèí jediné pole velikosti $n\times n$, které na~poèátku výpoètu obsahuje
73 vstup a na~konci výstup.
77 Pøedchozí algoritmus lze zajímavì zobecnit, toti¾ tak, aby pro ka¾dou dvojici
78 vrcholù sestrojil vhodnou reprezentaci mno¾iny v¹ech sledù vedoucích mezi nimi.
79 Tato reprezentace bude velice podobná regulárním výrazùm známým z~UNIXu
80 a z~teorie automatù. Budeme pøipou¹tìt orientované multigrafy se smyèkami
83 \s{Definice:} {\I Svazek} je mno¾ina sledù, které mají spoleèný poèáteèní
84 a koncový vrchol. {\I Typem} svazku nazveme uspoøádanou dvojici tìchto vrcholù.
85 Místo \uv{svazek typu $(u,v)$} budeme obvykle øíkat prostì {\I $uv$-svazek.}
87 Triviálními pøípady svazkù jsou prázdná mno¾ina~$\emptyset$, samotná hrana~$uv$ a pro
88 $u=v$ také sled~$\varepsilon_u$ nulové délky. Svazky mù¾eme kombinovat
92 \:$A\cup B$ -- {\I sjednocení} dvou svazkù tého¾ typu,
93 \:$AB$ nebo $A\cdot B$ -- {\I zøetìzení} $uv$-svazku~$A$ s~$vw$-svazkem~$B$: výsledkem je $uw$-svazek
94 obsahující v¹echna spojení sledu z~$A$ se sledem z~$B$,
95 \:$A^*$ -- {\I iterace} $uu$-svazku: výsledkem je $uu$-svazek
96 $\varepsilon \cup A \cup AA \cup AAA \cup \ldots$ (tedy v¹echna mo¾ná
97 spojení koneènì mnoha sledù z~$A$).
100 \>Ve~výrazu definujícím~$A^*$ jsme vyu¾ili, ¾e operace sjednocení a zøetìzení
101 jsou asociativní, tak¾e je nemusíme závorkovat. Navíc sjednocení má ve~výrazech
102 ni¾¹í prioritu ne¾ zøetìzení.
104 \>Svazky budeme obvykle reprezentovat {\I sledovými výrazy,} co¾ jsou
105 výrazy koneèné délky sestávající z~triviálních svazkù a vý¹e uvedených
108 \s{Pozorování:} Sledy mù¾eme reprezentovat øetìzci nad abecedou, její¾
109 symboly jsou identifikátory hran. Sledové výrazy pak odpovídají regulárním
110 výrazùm nad touto abecedou.
112 Uká¾eme, jak pro v¹echny dvojice vrcholu $i,j$ sestrojit sledový výraz $R_{ij}$
113 popisující svazek v¹ech sledù z~$i$ do~$j$. Podobnì jako u~Floydova-Warshallova
114 algoritmu zavedeme $R^k_{ij}$ coby výraz popisující sledy z~$i$ do~$j$ pøes 1 a¾~$k$
115 a nahlédneme, ¾e platí:
118 \hbox{mno¾ina v¹ech hran z~$i$ do~$j$} & \hbox{pokud $i\ne j$} \cr
119 \varepsilon_i & \hbox{pokud $i=j$} \cr
121 R^n_{ij} &= \hbox{hledané $R_{ij}$}, \cr
122 R^k_{ij} &= R^{k-1}_{ij} \cup R^{k-1}_{ik}(R^{k-1}_{kk})^*R^{k-1}_{kj}. \cr
124 První dvì rovnosti opìt plynou pøímo z~definice (mno¾inu v¹ech hran zapí¹eme
125 buï jako prázdnou nebo ji vytvoøíme sjednocováním z~jednoprvkových mno¾in). Tøetí
126 rovnost vychází z~toho, ¾e ka¾dý sled z~$i$ do~$j$ buï neobsahuje~$k$, nebo ho
127 mù¾eme rozdìlit na~èásti mezi jednotlivými náv¹tìvami vrcholu~$k$.
129 Algoritmus tedy bude postupnì budovat matice $R^0, R^1, \ldots, R^n$ podle tìchto
130 pravidel. Provedeme pøi tom $\Theta(n^3)$ operací, ov¹em s~výrazy, jejich¾ délka
131 mù¾e být a¾ øádovì~$4^n$. Radìji ne¾ jako øetìzce je proto budeme ukládat v~podobì
132 acyklických orientovaných grafù: vrcholy budou operace, hrany je budou pøipojovat
135 K~pøímému pou¾ití se takový exponenciálnì dlouhý výraz hodí málokdy, ale mù¾e
136 nám pomoci odpovídat na rùzné otázky týkající se sledù s~danými koncovými vrcholy.
137 Máme-li nìjakou funkci~$f$ ohodnocující mno¾iny sledù kódované sledovými
138 výrazy, staèí umìt vyhodnotit:
140 \:výsledek pro triviální výrazy $f(\emptyset)$, $f(\varepsilon)$ a $f(e)$ pro hranu~$e$,
141 \:hodnoty $f(\alpha\cup\beta)$, $f(\alpha\beta)$ a $f(\alpha^*)$, známe-li ji¾ $f(\alpha)$ a $f(\beta)$.
143 \>Pro výpoèet v¹ech $f(R_{ij})$ nám pak staèí $\Theta(n^3)$ vyhodnocení funkce~$f$.
145 \s{Poznámka pro ctitele algebry:} Vý¹e uvedená konstrukce není nic jiného, ne¾ popis
146 homomorfismu~$f$ z~algebry $({\cal S},\emptyset,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n,
147 e_1,\ldots,e_m,\cup,\cdot,{}^*)$ nad mno¾inou~${\cal S}$ v¹ech svazkù do~nìjaké
148 algebry $(X,{\bf 0},c_1,\ldots,c_n,h_1,\ldots,h_m,\oplus,\otimes,\circledast)$, kde~$X$ je mno¾ina
149 v¹ech ohodnocení sledù, {\bf 0}, $c_1,\ldots,c_n$ a $h_1,\ldots,h_m$ jsou konstanty,
150 $\oplus$ a~$\otimes$ binární operace a $\circledast$ unární operace. Prùbìh výpoètu
151 upraveného algoritmu je pak homomorfním obrazem prùbìhu výpoètu pùvodního algoritmu
152 pracujícího pøímo se svazky.
156 \>{\I Nejkrat¹í sled:}
158 f(\emptyset)&=+\infty \cr
159 f(\varepsilon)&=0 \cr
160 f(e)&=\ell(e) \hbox{\quad (délka hrany~$e$)} \cr
161 f(\alpha\cup\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
162 f(\alpha\beta) &= f(\alpha) + f(\beta) \cr
163 f(\alpha^*) &= \cases{0 & \hbox{pro $f(\alpha)\ge 0$} \cr -\infty & \hbox{pro $f(\alpha)<0$} \cr} \cr
165 (Pokud pøedpokládáme, ¾e v~grafu nejsou záporné cykly, je $f(\alpha^*)$ v¾dy nulové
166 a dostaneme pøesnì Floydùv-Warshallùv algoritmus.)
168 \>{\I Nej¹ir¹í cesta} (hranám jsou pøiøazeny ¹íøky, ¹íøka cesty je minimum z~¹íøek hran):
171 f(\varepsilon)&=\infty \cr
172 f(e)&=w(e) \hbox{\quad (¹íøka hrany~$e$)} \cr
173 f(\alpha\cup\beta) &= \max(f(\alpha),f(\beta)) \cr
174 f(\alpha\beta) &= \min(f(\alpha),f(\beta)) \cr
175 f(\alpha^*) &= \infty \cr
178 \>{\I Pøevod koneèného automatu na regulární výraz:} Vrcholy multigrafu budou odpovídat
179 stavùm automatu, hrany mo¾ným pøechodùm mezi stavy. Ka¾dou hranu ohodnotíme symbolem
180 abecedy, po jeho¾ pøeètení automat pøechod provede. Funkce~$f$ pak pøiøadí $uv$-svazku~$\psi$
181 regulární výraz popisující mno¾inu v¹ech øetìzcù, po jejich¾ pøeètení automat pøejde
182 ze~stavu~$u$ do stavu~$v$ po pøechodech z~mno¾iny~$\psi$. Vyhodnocování funkce~$f$
183 odpovídá pøímoèarým operacím s~øetìzci.
187 Øe¹íme-li grafové problémy pomocí matic, nabízí se pou¾ít známé subkubické algoritmy
188 pro lineárnì algebraické úlohy. Ty jsou obvykle zalo¾eny na efektivním násobení
189 matic -- dvì matice $n\times n$ mù¾eme vynásobit v~èase:
192 \:$\O(n^3)$ podle definice,
193 \:$\O(n^{2.808})$ Strassenovým algoritmem~\cite{strassen:matmult},
194 \:$\O(n^{2.376})$ algoritmem Coppersmithe a Winograda~\cite{coppersmith:matmult},
195 \:$\O(n^{2.373})$ algoritmem Williamsové~\cite{williams:matmult}.
198 Obecnì pøijímaná hypotéza øíká, ¾e pro ka¾dé $\omega>2$ existuje algoritmus
199 násobící matice se slo¾itostí $\O(n^\omega)$. Jediný známý dolní odhad je pøitom
200 $\Omega(n^2\log n)$ pro aritmetické obvody s~omezenou velikostí konstant~\cite{raz:mmlower}.
201 Blí¾e se o~tomto fascinujícím tématu mù¾ete doèíst v~Szegedyho èlánku \cite{szegedy:matmult}.
203 Pøedpokládejme tedy, ¾e umíme násobit matice v~èase $\O(n^\omega)$ pro nìjaké $\omega < 3$.
205 Co se stane, kdy¾ mocníme matici sousednosti~$A$ grafu? V~matici $A^k$ se na pozici
206 $i,j$ nachází poèet sledù délky~$k$, které vedou z~vrcholu~$i$ do vrcholu~$j$.
207 (Snadný dùkaz indukcí vynecháváme.) Pro libovolné $k\ge n-1$ jsou tedy v~$(A+E)^k$
208 (kde $E$ znaèí jednotkovou matici; doplnili jsme tedy do grafu smyèky) nenuly
209 pøesnì tam, kde z~$i$ do~$j$ vede cesta.
211 To nám dává jednoduchý algoritmus pro výpoèet matice dosa¾itelnosti~$R$ ($R_{ij}$
212 je 1 nebo~0 podle toho, zda z~$i$ do~$j$ vede cesta). Do~matice~$A$ doplníme
213 na diagonálu jednièky a poté ji $\lceil \log_2 n\rceil$-krát umocníme na~druhou.
214 Abychom se vyhnuli velkým èíslùm, nahradíme po ka¾dém umocnìní nenuly jednièkami.
215 Celkem tedy provedeme $\O(\log n)$ násobení matic, co¾ trvá $\O(n^\omega\log n)$.
217 Na~tento postup se mù¾eme dívat i~obecnìji:
219 \s{Definice:} {\I $(\oplus,\otimes)$-souèin} matic~$A,B \in X^{n\times n}$,
220 kde $\oplus$ a~$\otimes$ jsou dvì asociativní binární operace na~mno¾inì~$X$,
221 je matice~$C$ taková, ¾e
223 C_{ij} = \bigoplus_{k=1}^n A_{ik}\otimes B_{kj}.
225 Klasické násobení matic je tedy $(+,\cdot)$-souèin.
227 \s{Pozorování:} Pokud $A$ a~$B$ jsou matice svazkù ($A_{ij}$ a $B_{ij}$
228 jsou $ij$-svazky) a $C$ jejich $(\cup,\cdot)$-souèin, pak $C_{ij}$ je
229 svazek v¹ech sledù vzniklých spojením nìjakého sledu z~$A$ zaèínajícího
230 v~$i$ a nìjakého sledu z~$B$ konèícího v~$j$.
232 Podobnì jako v~pøedchozí sekci si tedy mù¾eme poøídit funkci~$f$ pøiøazující
233 svazkùm hodnoty z~nìjaké mno¾iny~$X$ a operace $\oplus$ a $\otimes$ na~$X$,
234 pro nì¾ platí $f(\alpha\cup\beta) = f(\alpha) \oplus f(\beta)$ a $f(\alpha\beta)
235 = f(\alpha) \otimes f(\beta)$. Pak staèí vzít matici popisující ohodnocení
236 v¹ech sledù délky 0 nebo~1 (to je obdoba matice sousednosti), a provést $\O(\log n)$
237 $(\oplus,\otimes)$-souèinù k~tomu, abychom znali ohodnocení svazkù sledù délky
238 právì~$k$ pro nìjaké $k\ge n$.
240 S~$(\lor,\land)$-souèiny a maticí sousednosti s~jednièkami na diagonále získáme
241 algoritmus pro výpoèet dosa¾itelnosti. Ka¾dý souèin pøitom mù¾eme provést jako
242 obyèejné násobení matic následované pøepsáním nenul na jednièky, tak¾e celý
243 výpoèet bì¾í v~èase $\O(n^\omega\log n)$.
245 Podobnì mù¾eme poèítat i matici vzdáleností: zaèneme s~maticí délek hran doplnìnou o~nuly na~diagonále
246 a pou¾ijeme $(\min,+)$-souèiny. Tyto souèiny ale bohu¾el neumíme pøevést na klasické násobení matic.
247 Pøesto je známo nìkolik algoritmù efektivnìj¹ích ne¾ $\Theta(n^3)$, by» pouze o~málo:
248 napøíklad Zwickùv \cite{zwick:apsp} v~èase $\O(n^3\sqrt{\log\log n}/\log n)$
249 (zalo¾ený na dekompozici a pøedpoèítání malých blokù) nebo Chanùv \cite{chan:apsp} v~$\O(n^3/\log n)$
250 (pou¾ívající geometrické techniky). Abychom porazili Floydùv-Warshallùv algoritmus,
251 potøebovali bychom ov¹em vìt¹í ne¾ logaritmické zrychlení, proto¾e souèinù potøebujeme
252 vypoèítat logaritmicky mnoho.
254 Dodejme je¹tì, ¾e pro grafy ohodnocené malými celými èísly je mo¾né vyu¾ít
255 celou øadu dal¹ích trikù. Zájemce o~tento druh algoritmù odkazujeme na Zwickùv
256 èlánek~\cite{zwick:apspint}.
260 Pøedchozí pøevod je ov¹em trochu marnotratný. ©ikovným pou¾itím metody Rozdìl a panuj
261 mù¾eme èasovou slo¾itost je¹tì sní¾it. Postup pøedvedeme pro dosa¾itelnost: na vstupu
262 tedy dostaneme matici sousednosti~$A$, výstupem má být její transitivní uzávìr~$A^*$
263 (matice dosa¾itelnosti). V¹echny souèiny matic v~tomto oddílu budou typu $(\lor,\land)$.
265 Vrcholy grafu rozdìlíme na dvì mno¾iny $X$ a~$Y$ pøibli¾nì stejné velikosti,
266 bez újmy na obecnosti tak, aby matice~$A$ mìla následující blokový tvar:
267 $$A = \pmatrix{ P & Q \cr R & S \cr },$$
268 kde podmatice~$P$ popisuje hrany z~$X$ do~$X$, podmatice~$Q$ hrany z~$X$ do~$Y$, atd.
270 \s{Vìta:} Pokud matici~$A^*$ zapí¹eme rovnì¾ v~blokovém tvaru:
271 $$A^* = \pmatrix{ I & J \cr K & L \cr },$$
274 I &= (P \lor QS^*R)^*, \cr
277 L &= S^* \lor S^*RIQS^*.
281 Jednotlivé rovnosti mù¾eme èíst takto:
282 \def\nIJKL{\count0=`H\advance\count0 by\itemcount{\bf\char\count0:}}
284 \:Sled z~$X$ do~$X$ vznikne opakováním èástí, z~nich¾ ka¾dá je buïto
285 hrana uvnitø~$X$ nebo pøechod po hranì z~$X$ do~$Y$ následovaný sledem
286 uvnitø~$Y$ a pøechodem zpìt do~$X$.
287 \:Sled z~$X$ do~$Y$ mù¾eme rozdìlit v~místì, kdy naposledy pøechází
288 po~hranì z~$X$ do~$Y$. První èást pøitom bude sled z~$X$ do~$X$,
289 druhá sled uvnitø~$Y$.
290 \:Se sledem z~$Y$ do~$X$ nalo¾íme symetricky.
291 \:Sled z~$Y$ do~$Y$ vede buïto celý uvnitø~$Y$, nebo ho mù¾eme rozdìlit
292 na~prvním pøechodu z~$Y$ do~$X$ a posledním pøechodu z~$X$ do~$Y$.
293 Èást pøed prvním pøechodem povede celá uvnitø~$Y$, èást mezi pøechody
294 bude tvoøit sled z~$X$ do~$X$ a koneènì èást za~posledním pøechodem zùstane
300 Výpoèet matice~$A^*$ provedeme podle pøedchozí vìty. Spoèítáme 2~tranzitivní uzávìry
301 matic polovièní velikosti rekurzivním voláním, dále pak $\O(1)$ $(\lor,\land)$-souèinù
302 a $\O(1)$ souètù matic.
304 Èasová slo¾itost $t(n)$ tohoto algoritmu bude splòovat následující rekurenci:
305 $$t(1)=\Theta(1), \quad t(n) = 2t(n/2) + \Theta(1)\cdot\mu(n/2) + \Theta(n^2),$$
306 kde $\mu(k)$ znaèí èas potøebný na jeden $(\lor,\land)$-souèin
307 matic $k\times k$. Jeliko¾ jistì platí $\mu(n/2)=\Omega(n^2)$,
308 má tato rekurence podle kuchaøkové vìty øe¹ení $t(n) = \mu(n)$.
310 Ukázali jsme tedy, ¾e výpoèet matice dosa¾itelnosti je nejvý¹e stejnì
311 nároèný jako $(\lor,\land)$-násobení matic -- mù¾eme ho proto provést
312 v~èase $\O(n^\omega)$. Dokonce existuje pøímoèarý pøevod v~opaèném smìru,
313 tak¾e oba problémy jsou asymptoticky stejnì tì¾ké.
315 Podobnì nalézt matici vzdáleností je stejnì tì¾ké jako $(\min,+)$-souèin,
316 tak¾e na to staèí èas $\O(n^3/\log n)$.
318 \h{Seidelùv algoritmus}
320 Pro neorientované neohodnocené grafy mù¾eme dosáhnout je¹tì lep¹ích
321 výsledkù. Matici vzdáleností lze spoèítat v~èase $\O(n^\omega\log n)$
322 Seidelovým algoritmem~\cite{seidel:unitlength}. Ten funguje následovnì:
324 \s{Definice:} {\I Druhá mocnina grafu~$G$} je graf~$G^2$ na té¾e mno¾inì vrcholù,
325 v~nìm¾ jsou vrcholy~$i$ a~$j$ spojeny hranou právì tehdy, existuje-li v~$G$ sled
326 délky nejvý¹e~2 vedoucí z~$i$ do~$j$.
328 \s{Pozorování:} Matici sousednosti grafu~$G^2$ získáme z~matice sousednosti
329 grafu~$G$ jedním $(\lor,\land)$-souèinem, tedy v~èase $\O(n^\omega)$.
331 Seidelùv algoritmus bude postupovat rekurzivnì: Sestrojí graf~$G^2$, rekurzí
332 spoèítá jeho matici vzdáleností~$D'$ a z~ní pak rekonstruuje matici vzdáleností~$D$
333 zadaného grafu. Rekurze konèí, pokud $G^2=G$ -- tehdy je ka¾dá komponenta
334 souvislosti zahu¹tìna na~úplný graf, tak¾e matice vzdáleností je rovna matici sousednosti.
336 Zbývá ukázat, jak z~matice~$D'$ spoèítat matici~$D$. Zvolme pevnì~$i$ a zamìøme
337 se na funkce $d(v)=D_{iv}$ a $d'(v)=D'_{iv}$. Jistì platí $d'(v) = \lceil d(v)/2 \rceil$,
338 proèe¾ $d(v)$ je buï rovno $2d'(v)$ nebo o~1 ni¾¹í. Nauèíme se rozpoznat, jestli
339 $d(v)$ má být sudé nebo liché, a~z~toho v¾dy poznáme, jestli je potøeba jednièku odeèíst.
341 Jak vypadá funkce~$d$ na sousedech vrcholu~$v\ne i$? Pro alespoò jednoho souseda~$u$ je
342 $d(u) = d(v)-1$ (to platí pro sousedy, kteøí le¾í na nìkteré z~nejkrat¹ích cest z~$v$ do~$i$).
343 Pro v¹echny ostatní sousedy je $d(u)=d(v)$ nebo $d(u)=d(v)+1$.
345 Pokud je $d(v)$ sudé, vyjde pro sousedy le¾ící na nejkrat¹ích cestách $d'(u)=d'(v)$
346 a pro ostatní sousedy $d'(u)\ge d'(v)$, tak¾e prùmìr z~$d'(u)$ pøes sousedy je
347 alespoò~$d'(v)$. Je-li naopak $d(v)$ liché, musí být pro sousedy na nejkrat¹ích cestách
348 $d'(u) < d(v)$ a pro v¹echny ostatní $d'(u) = d(v)$, tak¾e prùmìr klesne pod~$d'(v)$.
350 Prùmìry pøes sousedy pøitom mù¾eme spoèítat násobením matic: vynásobíme matici
351 vzdáleností~$D'$ maticí sousednosti grafu~$G$. Na pozici~$i,j$ se objeví souèet
352 hodnot $D'_{ik}$ pøes v¹echny sousedy~$k$ vrcholu~$j$. Ten staèí vydìlit stupnìm
353 vrcholu~$j$ a hledaný prùmìr je na svìtì.
355 Po~provedení jednoho násobení matic tedy dovedeme pro ka¾dou dvojici vrcholù
356 v~konstantním èase spoèítat $D_{ij}$ z~$D'_{ij}$. Jedna úroveò rekurze proto
357 trvá $\O(n^\omega)$ a jeliko¾ prùmìr grafu poka¾dé klesne alespoò dvakrát,
358 je úrovní $\O(\log n)$ a celý algoritmus dobìhne ve~slíbeném èase $\O(n^\omega\log n)$.