12-apx/12-apx.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2 \prednaska{11}{Aproximaèné algoritmy}{\vbox{\hbox{(F. Ha¹ko, J. Menda, M. Mare¹}
   3         \hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}}
   4
   5 \>Na~minulých pøedná¹kách jsme se zabývali rùznými tì¾kými rozhodovacími
   6 problémy. Tato se zabývá postupy, jak se v~praxi vypoøádat s~øe¹ením tìchto
   7 problémù.
   8
   9 \h{Co dìlat, kdy¾ potkáme NP-úplný problém}
  10 \algo
  11 \:Nepanikaøit
  12 \:Spokojit se s~málem
  13 \:Rozmyslet, jestli opravdu potøebujeme obecný algoritmus. Mnohdy potøebujeme
  14 jejich speciálnìj¹í pøípady, které mohou být øe¹itelné v~polynomiálním èase.
  15 \:Spokojit se s~pøibli¾ným øe¹ením. (viz aproximaèní algoritmy)
  16 \:Pou¾ít heuristiku -- napøíklad genetické algoritmy, nebo randomizované algoritmy.
  17 Velmi pomoci mù¾e i jen výhodnìj¹í poøadí pøi~prohledávání, èi oøezávání nìkterých
  18 napohled nesmyslných vìtví výpoètu.
  19 \endalgo
  20
  21 \h{První zpùsob: Speciální pøípad}
  22
  23 \>Èasto si vystaèíme s~vyøe¹ením speciálního pøípadu NP-úplného problému, který
  24 le¾í v~$P$. Napøíklad pøi øe¹ení grafové úlohy nám mù¾e staèit øe¹ení
  25 pro~speciální druh grafù (stromy, bipartitní grafy, \dots). Barvení grafu je lehké
  26 napø. pro~dvì barvy èi pro intervalové grafy. 2-SAT, jako speciální pøípad SATu,
  27 se dá øe¹it v~lineárním èase.
  28
  29 \s{Problém: Maximální nezávislá mno¾ina ve~stromì (ne rozhodovací)}
  30
  31 \>{\I Vstup:} Zakoøenìný strom~$T$.
  32
  33 \>{\I Výstup:} Maximální (co do~poètu vrcholù) nezávislá mno¾ina vrcholù~$M$.
  34
  35 \>BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e v~$M$ jsou v¹echny listy $T$. Pokud by nìkterý
  36 list $l$ v~$M$ nebyl, tak se podíváme na~jeho otce:
  37 \itemize\ibull
  38 \:Pokud otec není v~$M$, tak list $l$ pøidáme do~$M$, èím¾ se nezávislost
  39 mno¾iny zachovala a velikost stoupla o~1.
  40 \:Pokud tam otec je, tak ho z~$M$ vyjmeme a na~místo nìho vlo¾íme $l$.
  41 Nezávislost ani velikost $M$ se nezmìnily.
  42 \endlist
  43 \>Tyto listy spolu s~jejich otci z~$T$ odebereme a postup opakujeme. $T$ se
  44 mù¾e rozpadnout na~les $\to$ tento postup aplikujeme na~v¹echny stromy v~lese.
  45
  46 \s{Algoritmus:}
  47 \>MaxNz$(T)$
  48 \algo
  49 \:Polo¾íme $M_1$:=$\{$listy stromu $T\}$.
  50 \:Polo¾íme $M_2$:=$\{$otcové vrcholù z~$M_1\}$.
  51 \:Vrátíme $M_1 \cup$ MaxNz$(T\setminus(M_1 \cup M_2))$.
  52 \endalgo
  53 \>{\I Poznámka:} Toto doká¾eme naprogramovat v~$\O(n)$ (vrcholy procházíme
  54 pøes frontu).
  55
  56 \s{Problém: Batoh}
  57
  58 \>Je daná mno¾ina $n$~pøedmìtù s~hmotnostmi $h_1,\ldots,h_n$
  59 a cenami $c_1,\ldots,c_n$ a~batoh, který unese hmostnost~$H$. Najdìte takovou
  60 podmno¾inu pøedmìtù, jejich¾ celková hmotnost je maximální $H$ a celková cena
  61 je maximální mo¾ná.
  62
  63 \>Tento problém je zobecnìním problému batohu z~minulé pøedná¹ky dvìma smìry:
  64 Jednak místo rozhodovacího problému øe¹íme optimalizaèní, jednak pøedmìty
  65 mají ceny (pøedchozí verze odpovídala tomu, ¾e ceny jsou rovny hmotnostem).
  66 Uká¾eme si algoritmus pro øe¹ení tohoto obecného problému, jeho¾ èasová
  67 slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i
  68 c_i$.
  69
  70 \>Pou¾ijeme dynamické programování. Pøedstavme si problém omezený na~prvních~$k$
  71 pøedmìtù. Oznaème si $A_k(c)$ (kde $0\le c\le C$) minimální hmotnost
  72 podmno¾iny, její¾ cena je právì~$c$. Tato $A_k$ spoèteme indukcí podle~$k$:
  73 Pro $k=0$ je urèitì $A_0(0)=0$, $A_0(c)=\infty$ pro $c>0$. Pokud ji¾ známe
  74 $A_{k-1}$, spoèítáme $A_k$ následovnì: $A_k(c)$ odpovídá nìjaké podmno¾inì
  75 pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto $k$-tý pøedmìt nepou¾ili
  76 (a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) =
  77 A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou
  78 mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy:
  79 $$
  80 A_k(c) = \min (A_{k-1}(c), A_{k-1}(c-c_k) + h_k).
  81 $$
  82 Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme $A_k(c)$ pro fixní $k$ a v¹echna $c$,
  83 v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny $A_k(c)$.
  84
  85 \>Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do~batohu.
  86 To bude nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) < \infty$. Jeho nalezení nás stojí
  87 èas $\O(C)$.
  88
  89 \>A~jak zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí? Upravíme algoritmus,
  90 aby si pro ka¾dé $A_k(c)$ pamatoval $B_k(c)$, co¾ bude index posledního pøedmìtu,
  91 který jsme do~pøíslu¹né mno¾iny pøidali. Pro nalezené $c^*$ tedy bude $i=B_n(c^*)$
  92 poslední pøedmìt v~nalezené mno¾inì, $i'=B_{i-1}(c^*-c_i)$ ten pøedposlední
  93 a tak dále. Takto v~èase $\O(n)$ rekonstruujeme celou mno¾inu od~posledního
  94 prvku k~prvnímu.
  95
  96 \>Ukázali jsme tedy algoritmus s~èasovou slo¾itostí $\O(nC)$, který vyøe¹í
  97 problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mù¾e
  98 být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti
  99 èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} Ani takové
 100 algoritmy ale nejsou k dispozici pro v¹echny problémy (napø. u problému obchodního
 101 cestujícího nám vùbec nepomù¾e, ¾e váhy hran budou malá èísla).
 102
 103 \s{Verze bez cen:} Na verzi s~cenami rovnými hmotnostem se dá pou¾ít
 104 i jiný algoritmus zalo¾ený na~dynamickém programování: poèítáme mno¾iny
 105 $Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá
 106 nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$
 107 spoèteme ze~$Z_{k-1}$ --- udr¾ujme si $Z_{k-1}$ jako setøídìný spojový seznam,
 108 výpoèet dal¹ího seznamu udìláme slitím dvou seznamù $Z_{k-1}$ a $Z_{k-1}$ se
 109 v¹emi prvky zvý¹enými o hmotnost $k$ zahazujíce duplicitní a pøíli¹ velké hodnoty ---
 110 a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny
 111 mají nejvý¹e $H$ prvkù, tak¾e celková èasová slo¾itost algoritmu je~$\O(nH)$.
 112
 113 \h{Druhý zpùsob: Aproximace}
 114
 115 \>V pøedcházejících problémech jsme se zamìøili na~speciální pøípady. Obèas v¹ak
 116 takové ¹tìstí nemáme a musíme vyøe¹it celý NP-úlný problém. Mù¾eme si v¹ak
 117 pomoct tím, ¾e se ho nebudeme sna¾it vyøe¹it optimálnì -- jen v~jakémsi pomìru
 118 k optimálnosti ({\I aproximaci}), tj. budeme vìdìt, o~kolik maximálnì je na¹e
 119 øe¹ení hor¹í ne¾~optimální.
 120
 121 \s{Problém: Obchodní cestující}
 122
 123 \>{\I Vstup:} neorientovaný graf~$G$, ka¾dá hrana
 124 je ohodnocená funkcí $w: E(G)\rightarrow {\bb R}^+_0$
 125
 126 \>{\I Výstup:} Hamiltonovská kru¾nice (v¹echny vrcholy grafu), a~to ta nejkrat¹í
 127 (podle ohodnocení).
 128
 129 \>Tento problém je hned na~první pohled nároèný -- u¾ problém existence
 130 Hamiltonovské kru¾nice je NP-úplný. Najdeme aproximaèní algoritmus nejprve za pøedpokladu,
 131 ¾e vrcholy splòují trojúhelníkovou nerovnost (tj. $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le
 132 w(xy)+w(yz)$), potom uká¾eme, ¾e v úplnì obecném pøípadé by samotná existence
 133 aproximaèního algoritmu implikovala $P=NP$.
 134
 135 \>{\I a) trojúhelníková nerovnost:}
 136
 137 Existuje pìkný algoritmus, který najde Hamiltonovsku kru¾nici, která je
 138 maximálnì dvakrát tak velká jako optimální. Vedle pøedpokladu trojúhelníkové
 139 nerovnosti budeme potøebovat, aby ná¹ graf byl úplný. Souhrnì mù¾eme
 140 pøedpokládat, ¾e úlohu øe¹íme v nìjakém metrickém protoru, ve kterém jsou obì
 141 podmínky podle definice splnìny.
 142
 143 Najdeme nejmen¹í kostru a obchodnímu cestujícímu poradíme, a» jde po~ní (staèí
 144 zakoøenit a projít do hloubky). Problém v¹ak je, ¾e daný sled obsahuje ka¾dý
 145 vrchol vícekrát, a proto musíme nahradit nepovolené vracení se, tj. pro~ka¾dý
 146 vrchol najít je¹tì nenav¹tívený vrchol v~na¹em sledu a pøejít pøímo na~nìj
 147 (jinak øeèeno, poøadí vrcholù kru¾nice bude preorder výpis prùchodem do hloubky).
 148 Pokud platí trojúhelníková nerovnost, tak si tìmito zkratkami neu¹kodíme.
 149 Nech» minimální kostra má váhu~$T$. Váha oblezlého sledu tak bude nanejvý¹ $2T$.
 150 Krácení urèitì nezvìt¹uje (trojúhelníková nerovnost), tak¾e váha nalezené
 151 Hamiltonovské kru¾nice bude také nanejvý¹ $2T$.
 152
 153 Kdy¾ máme Hamiltonovskou kru¾nici $C$ a z~ní vy¹krtneme hranu, tak máme kostru
 154 grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ je váha $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
 155 jako minimální kostra $T$. Tedy optimální Hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
 156 ne¾ minimální kostra $T$. Kdy¾ to slo¾íme
 157 dohromady, algoritmus nám vrátí Hamiltonovskou kru¾nici $T'$ s~váhou nanejvý¹
 158 dvojnásobnou od~optimální Hamiltonovské kru¾nice ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
 159 algoritmy se nazývají {\I 2-aproxiaèní}, kdy¾ øe¹ení je maximálnì dvojnásobné
 160 od~optimálního.\foot{Hezkým trikem se v obecných metrických prostorech umí
 161 1,5-aproximaènì. Ve speciálních metrických prostorech se to dá dokonce srazit na
 162 libovolnì blízko k 1. Samo¾øejmì to pak zaplatíme na èase -- èím déle algoritmus
 163 pracuje, tím je pøesnìj¹í.}
 164
 165 \>{\I b) bez~trojúhelníkové nerovnosti:}
 166
 167 Zde se budeme naopak sna¾it ukázat, ¾e ¾ádný polynomiální aproximaèní
 168 algoritmus neexistuje.
 169
 170 \s{Vìta:} Pokud pro~libovolné~$\varepsilon>0$ existuje polynomiální
 171 $(1+\varepsilon)$-aproximaèní algoritmus pro~algoritmus obchodního cestujícího bez~trojúhelníkové nerovnosti, tak $P = NP$.
 172
 173 \proof Uká¾eme, ¾e v~tom pøípadì doká¾eme v~polynomiálním èase najít
 174 Hamiltonovskou kru¾nici.
 175
 176 \>Dostali jsme graf~$G$, v~kterém hledáme Hamiltonovskou kru¾nici. Doplníme
 177 $G$ na~úplný graf~$G'$ a~váhy hran~$G'$ nastavíme takto:
 178 \itemize\ibull
 179 \: $w(e) = 1$, kdy¾ $e \in E(G)$
 180 \: $w(e) = c \gg 1$, kdy¾ $e \not\in E(G)$
 181 \endlist
 182 \>Konstantu $c$ potøebujeme zvolit tak velkou, abychom jasnì poznali, jestli
 183 je ka¾dá hrana z nalezené Hamiltonovské kru¾nice hranou grafu $G$ (pokud by
 184 nebyla, bude kru¾nice obsahovat aspoò jednu hranu s váhou c, která vy¾ene
 185 souèet poznatelnì vysoko). Pokuï existuje Hamiltonovská kru¾nice v~$G'$ slo¾ená jen
 186 z~hran, které byli
 187 pùvodnì v~$G$, tak optimální øe¹ení bude mít váhu~$n$, jinak bude urèitì
 188 minimální $n-1+c$. Kdy¾ máme aproximaèní algoritmus s~pomìrem~$1+\varepsilon$,
 189 musí být
 190 $$
 191 \eqalign{
 192 (1+\varepsilon)\cdot n &< n-1+c \cr
 193 \varepsilon n+1 &< c
 194 }
 195 $$
 196 \>Kdyby takový algoritmus existoval, tak máme polynomiální algoritmus
 197 na~Hamiltonovsku kru¾nici. O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
 198 platí analogická vìta, a doká¾e se analogicky -- existující hrany budou
 199 mít hranu 1, neexistující váhu 2.
 200 \qed
 201
 202 \h{Aproximaèní schéma pro problém batohu}
 203
 204 Ji¾ víme, jak optimalizaèní verzi problému batohu vyøe¹it v~èase $\O(nC)$,
 205 pokud jsou hmotnosti i ceny na~vstupu pøirozená èísla a $C$ je souèet v¹ech cen.
 206 Jak si poradit, pokud je~$C$ obrovské? Kdybychom mìli ¹tìstí a v¹echny
 207 ceny byly dìlitelné nìjakým èíslem~$p$, mohli bychom je tímto èíslem
 208 vydìlit. Tím bychom dostali zadání s~men¹ími èísly, jeho¾ øe¹ením by byla
 209 stejná mno¾ina pøedmìtù jako u~zadání pùvodního.
 210
 211 Kdy¾ nám ¹tìstí pøát nebude, mù¾eme pøesto zkusit ceny vydìlit a výsledky
 212 nìjak zaokrouhlit. Øe¹ení nové úlohy pak sice nebude pøesnì odpovídat optimálnímu
 213 øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací.
 214
 215 \s{Základní my¹lenka:}
 216
 217 Oznaèíme si $c_{max}$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M < c_{max}$
 218 a zobrazíme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme
 219 $M/c_{max}$).
 220 Jak jsme tím zkreslili výsledek? V¹imnìme si, ¾e efekt je stejný, jako kdybychom jednotlivé
 221 ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $c_{max}/M$ (prvky z intervalu
 222 $[i\cdot c_{max}/M,(i+1)\cdot c_{max}/M)$ se zobrazí na stejný prvek). Ka¾dé $c_i$ jsme tím
 223 zmìnili o~nejvý¹e $c_{max}/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù tedy
 224 nejvý¹e o~$n\cdot c_{max}/M$. Teï si je¹tì v¹imnìme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme
 225 pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy cenu $OPT\ge c_{max}$,
 226 tak¾e chyba v~souètu je nejvý¹e $n\cdot OPT/M$. Má-li tato chyba být shora omezena
 227 $\varepsilon\cdot OPT$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$.\foot{Pøipomìòme, ¾e toto není dùkaz, nebo» nepoèítáme s chybami danými zaokrouhlováním. Dùkaz provedeme ní¾e.}
 228
 229 \s{Algoritmus:}
 230 \algo
 231 \:Odstraníme ze~vstupu v¹echny pøedmìty tì¾¹í ne¾~$H$.
 232 \:Spoèítáme $c_{max}=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lceil n/\varepsilon\rceil$.
 233 \:Kvantujeme ceny: $\forall i: \hat{c}_i = \lfloor c_i \cdot M/c_{max} \rfloor$.
 234 \:Vyøe¹íme dynamickým programováním problém batohu pro upravené ceny $\hat{c}_1, \ldots, \hat{c}_n$
 235 a pùvodní hmotnosti i kapacitu batohu.
 236 \:Vybereme stejné pøedmìty, jaké pou¾ilo optimální øe¹ení kvantovaného zadání.
 237 \endalgo
 238
 239 \>Kroky 1--3 a 5 jistì zvládneme v~èase $\O(n)$. Krok~4 øe¹í problém batohu
 240 se souètem cen $\hat{C}\le nM \le n^2/\varepsilon$, co¾ stihne v~èase $\O(n\hat{C})=\O(n^3/\varepsilon)$.
 241 Zbývá dokázat, ¾e výsledek na¹eho algoritmu má opravdu relativní chybu nejvý¹e~$\varepsilon$.
 242
 243 Nejprve si rozmyslíme, jak dopadne optimální øe¹ení $OPT$ pùvodního zadání,
 244 kdy¾ ceny v~nìm pou¾itých pøedmìtù nakvantujeme (mno¾inu indexù tìchto pøedmìtù si oznaèíme~$Y$):
 245 $$
 246 \eqalign{
 247 \widehat{OPT} &= \sum_{i\in Y} \hat{c}_i =
 248 \sum_i \left\lfloor c_i\cdot {M\over c_{max}} \right\rfloor \ge
 249 \sum_i \left( c_i\cdot {M\over c_{max}} - 1 \right) \ge \cr
 250 &\ge
 251 \biggl(\sum_i c_i \cdot {M\over c_{max}}\biggr) - n =
 252 OPT \cdot {M\over c_{max}} - n.
 253 }
 254 $$
 255 Nyní naopak spoèítejme, jak dopadne øe¹ení~$Q$ nakvantovaného problému pøi pøepoètu
 256 na~pùvodní ceny (to je výsledek na¹eho algoritmu):
 257 $$
 258 \eqalign{
 259 ALG &= \sum_{i\in Q} c_i \ge
 260 \sum_i \hat{c}_i \cdot {c_{max}\over M} =
 261 \biggl(\sum_i \hat{c}_i\biggr) \cdot {c_{max}\over M} \ge^*
 262 \widehat{OPT} \cdot {c_{max}\over M}.
 263 }
 264 $$
 265 Nerovnost $\ge^*$ platí proto, ¾e $\sum_{i\in Q} \hat{c}_i$ je optimální øe¹ení
 266 kvantované úlohy, zatímco $\sum_{i\in Y} \hat{c}_i$ je nìjaké dal¹í øe¹ení té¾e úlohy,
 267 které nemù¾e být lep¹í. Teï u¾ staèí slo¾it obì nerovnosti a dosadit za~$M$:
 268 $$
 269 \eqalign{
 270 ALG &\ge \biggl( { OPT \cdot M\over c_{max}} - n\biggr) \cdot {c_{max}\over M} \ge
 271 OPT - {n\cdot c_{max}\over n / \varepsilon} \ge OPT - \varepsilon c_{max} \ge \cr
 272 &\ge OPT - \varepsilon OPT = (1-\varepsilon)\cdot OPT.
 273 }
 274 $$
 275 Algoritmus tedy v¾dy vydá øe¹ení, které je nejvý¹e $(1-\varepsilon)$-krát hor¹í ne¾ optimum,
 276 a~doká¾e to pro libovolné~$\varepsilon$ v~èase polynomiálním v~$n$. Takovému algoritmu øíkáme
 277 {\I polynomiální aproximaèní schéma} (jinak té¾ PTAS\foot{Polynomial-Time Approximation Scheme}).
 278 V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
 279 schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation
 280 Scheme}). U nìkterých problémù se stává, ¾e aproximaèní schéma závisí na
 281 $1/\varepsilon$ exponenciálnì, co¾ tak pøíjemné není.
 282
 283 \s{Vìta:}
 284 Existuje algoritmus, který $\forall \varepsilon > 0$ nalezneme
 285 {\I $(1 - \varepsilon)$-aproximaci} problému batohu s $n$ pøedmìty v èase
 286 $\O(n^3/\varepsilon)$.
 287
 288 \bye