10-prevody/10-prevody.tex

   1 \input lecnotes.tex
   2
   3 \prednaska{10}{Pøevody problémù}{\vbox{\hbox{(zapsali Martin Chytil, Vladimír Kudelas,}\hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}}
   4
   5 \>Na této pøedná¹ce se budeme zabývat rozhodovacími problémy a jejich obtí¾ností.
   6 Za jednoduché budeme trochu zjednodu¹enì pova¾ovat ty problémy, na~nì¾ známe algoritmus
   7 pracující v~polynomiálním èase.
   8
   9 \s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} je takový problém, jeho¾ výstupem je v¾dy {\sc ano}, nebo {\sc ne}.
  10 [Formálnì bychom se na~nìj mohli dívat jako na~mno¾inu $L$ vstupù, na~které je odpovìï {\sc ano},
  11 a místo $L(x)=\hbox{\sc ano}$ psát prostì $x\in L$.]
  12
  13 Vstupy mìjme zakódované jen pomocí nul a jednièek (obecnì je jedno, jaký základ pro soustavu
  14 kódování zvolíme, pøevody mezi soustavami o nìjakém základu $\neq$ 1 jsou co do velikosti
  15 zápisu polynomiální). Rozhodovací problém je tedy
  16 $f:\ \{0,1\}^{\ast} \to \{0,1\}$, to jest funkce z mno¾iny v¹ech øetìzcù jednièek a nul
  17 do mno¾iny $\{1,0\}$, kde 1 na výstupu znamená {\sc ano}, 0 {\sc ne}.
  18
  19 \s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$ a $k \in {\bb N}$. Existuje v $G$
  20 párování, které obsahuje alespoò $k$ hran?
  21
  22 To, co bychom ve~vìt¹inì pøípadù chtìli, je samozøejmì nejen zjistit, zda takové párování
  23 existuje, ale také nìjaké konkrétní najít. V¹imnìme si ale, ¾e kdy¾ umíme rozhodovat
  24 existenci párování v~polynomiálním èase, mù¾eme ho polynomiálnì rychle i najít:
  25
  26 Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný
  27 graf má nebo nemá párování o~$k$ hranách. Odebereme z~grafu libovolnou hranu
  28 a zeptáme se, jestli i tento nový graf má párovaní velikosti~$k$. Kdy¾ má, pak tato
  29 hrana nebyla pro existenci párování potøebná, a~tak ji odstraníme. Kdy¾ naopak
  30 nemá (hrana patøí do ka¾dého párování po¾adované velikosti), tak si danou hranu
  31 poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy, ale také hrany, které do tìchto
  32 vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy
  33 byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy.
  34 Na~nový graf aplikujeme znovu tentý¾ postup. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí
  35 do hledaného párování. Hran, a tedy i iterací na¹eho algoritmu, je polynomiálnì
  36 mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální.
  37
  38 A~jak ná¹ rozhodovací problém øe¹it? Nejsnáze tak, ¾e ho pøevedeme
  39 na~{jiný,\footnote{${}^{\dag}$}{vìrni matfyzáckým vtipùm}} který
  40 u¾ vyøe¹it umíme. Tento postup jsme (právì u~hledání párování) u¾ pou¾ili
  41 v~kapitole o~Dinicovì algoritmu. Vytvoøili jsme vhodnou sí», pro kterou
  42 platilo, ¾e v~ní existuje tok velikosti~$k$ právì tehdy, kdy¾
  43 v~pùvodním grafu existuje párování velikosti~$k$.
  44
  45 Takovéto pøevody mezi problémy mù¾eme definovat obecnì:
  46
  47 \s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze {\I
  48 redukovat} (neboli {\it pøevést}) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) právì tehdy,
  49 kdy¾ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall
  50 x: A(x) = B(f(x))$. V¹imnìme si, ¾e $f$ pracující v polynomiálním èase vstup
  51 zvìt¹í nejvíce polynomiálnì.
  52
  53 \s{Pozorování:} $A\rightarrow B$ také znamená, ¾e problém~$B$ je alespoò tak tì¾ký
  54 jako problém~$A$ (tím myslíme, ¾e pokud lze $B$ øe¹it v~polynomiálním èase,
  55 lze tak øe¹it i~$A$): Nech» problém~$B$ umíme øe¹it v~èase $\O(b^k)$, kde
  56 $b$ je délka jeho vstupu. Nech» dále funkce $f$ pøevádìjící $A$ na $B$ pracuje
  57 v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Spustíme-li tedy $B(f(x))$ na~nìjaký
  58 vstup~$x$ problému~$A$, bude mít $f(x)$ délku $\O(a^\ell)$, kde $a=|q|$; tak¾e
  59 $B(f(x))$ pobì¾í v~èase $\O(a^\ell + (a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$, co¾ je
  60 polynomiální v~délce vstupu~$a$.
  61
  62
  63 \s{Pozorování:} Pøevoditelnost je
  64 \itemize\ibull
  65 \:reflexivní (úlohu mù¾eme pøevést na tu stejnou identickým zobrazením): $A \rightarrow A$,
  66 \:tranzitivní: Je-li $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$,
  67 pak $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $g \circ f$
  68 (slo¾ení dvou polynomiálních funkcí je zase polynomiální funkce, jak u¾ jsme zpozorovali
  69 v~pøedchozím odstavci).
  70 \endlist
  71 \>Takovýmto relacím øíkáme kvaziuspoøádání -- nesplòují obecnì antisymetrii, tedy mù¾e nastat
  72 $A\rightarrow B$ a $B\rightarrow A$. Omezíme-li se v¹ak na tøídy navzájem pøevoditelných
  73 problémù, dostáváme ji¾ (èásteèné) uspoøádání. Existují i navzájem nepøevoditelné problémy --
  74 napøíklad problém v¾dy odpovídající 1 a problém v¾dy odpovídající 0.
  75 Nyní se ji¾ podíváme na nìjaké zajímavé problémy. Obecnì to budou problémy, na které
  76 polynomiální algoritmus není znám, a vzájemnými pøevody zjistíme ¾e jsou stejnì tì¾ké.
  77
  78 \h{1. problém: SAT}
  79 \>Splnitelnost (satisfiability) logických formulí, tj. dosazení 1 èi
  80 0 za promìnné v logické formuli tak, aby formule dala výsledek 1.
  81
  82 \>Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí,  {\I konjunktivní normální formu} (CNF),
  83         které splòují následující podmínky:
  84 \itemize\ibull
  85 \:{\I formule} je zadána pomocí {\I klauzulí}\footnote{${}^{\dag}$}{bez politických konotací} oddìlených $\land$,
  86 \:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$,
  87 \:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace.
  88 \endlist
  89 \>Formule mají tedy tvar:
  90 $$\psi = (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$
  91
  92 \>{\I Vstup:} Formule $\psi$ v konjunktivní normální formì.
  93
  94 \>{\I Výstup:} $\exists$ dosazení 1 a 0 za promìnné takové, ¾e hodnota formule $\psi(\ldots) = 1$.
  95
  96
  97
  98 \>Pøevod nìjaké obecné formule $\psi$ na jí ekvivalentní $\chi$ v~CNF mù¾e
  99 zpùsobit, ¾e $\chi$ je exponenciálnì velká vùèi $\psi$.
 100 Pozdìji uká¾eme, ¾e lze podniknout pøevod na takovou formuli $\chi'$ v~CNF, která sice není
 101 ekvivalentní s $\psi$ (pøibydou nám promìnné, a ne ka¾dý roz¹íøený model
 102 $\psi$ je modelem $\chi'$), ale je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je splnitelná $\psi$ --- co¾ nám
 103 pøesnì staèí --- a je lineárnì velká vùèi $\psi$.
 104
 105 \h{2. problém: 3-SAT}
 106 \s{Definice:} 3-SAT je takový SAT, v nìm¾ ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e tøi literály.
 107
 108 \s{Pøevod 3-SAT na SAT:}
 109 Vstup není potøeba nijak upravovat, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT
 110 $\rightarrow$ SAT (SAT je alespoò tak tì¾ký jako 3-SAT)
 111
 112 \s {Pøevod SAT na 3-SAT:}
 113 Musíme formuli pøevést tak, abychom neporu¹ili splnitelnost.
 114
 115 \>Trik pro dlouhé klauzule: Ka¾dou \uv{¹patnou} klauzuli
 116 $$(\alpha \lor \beta) \hbox{, t¾. } \vert\alpha\vert + \vert\beta\vert \ge 4
 117 ,\ \vert\alpha\vert \geq 2,\ \vert\beta\vert\geq 2$$
 118 pøepí¹eme na: $$(\alpha \lor x) \land (\beta \lor \lnot x),$$
 119 kde $x$ je nová promìnná (pøi ka¾dém dìlení klauzule {\it jiná}
 120 nová promìnná).
 121 %kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule.
 122
 123 \>Tento trik opakujeme tak dlouho, dokud je to tøeba -- formuli délky $k+l$
 124 roztrhneme na formule délky $k+1$ a $l+1$. Pokud klauzule pùlíme, dostaneme
 125 polynomiální èas (strom rekurze má logaritmicky pater -- formule délky alespoò 6
 126 se nám pøi rozdìlení zmen¹í na dvì instance velikosti maximálnì $2/3$ pùvodní, krat¹í
 127 formule nás netrápí; na ka¾dém patøe se vykoná tolik co na pøedchozím + $2^{hloubka}$
 128 za pøidané formule). Velikost výsledné formule je tím pádem polynomiální vùèi pùvodní:
 129 v ka¾dém kroku se pøidají jen dva literály, tedy celkem {\it èas na pøevod}$\cdot
 130 2$ nových.
 131
 132 \>Platí-li:
 133 \itemize\ibull
 134 \:$\alpha \Rightarrow$ zvolíme $x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule),
 135 \:$\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule),
 136 \:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 0/1$ (je nám to
 137         jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní).
 138 \endlist
 139
 140 Nabízí se otázka, proè mù¾eme pøidanou promìnnou $x$ nastavovat, jak se nám zlíbí.
 141 Vysvìtlení je prosté -- promìnná $x$ nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e
 142 se v ní nevyskytuje, proto ji mù¾eme nastavit tak, jak chceme.
 143
 144 \s{Poznámka:} U~3-SAT lze vynutit právì tøi literály, pro krátké klauzule
 145 pou¾ijeme stejný trik:
 146 $$(\alpha) \rightarrow (\alpha \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \lor x) \land (\alpha \lor \lnot x).$$
 147
 148 \h{3. problém: Hledání nezávislé mno¾iny v grafu}
 149
 150 \>Existuje nezávislá mno¾ina vrcholù z~$G$ velikosti alespoò $k$?
 151
 152 \s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina} (NzMna) budeme øíkat ka¾dé mno¾inì vrcholù grafu
 153 takové, ¾e mezi nimi nevede ¾ádná hrana.
 154
 155 \figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{1in}
 156
 157 \>{\I Vstup:} Neorientovaný graf $G$, $k \in {\bb N}$.
 158
 159 \>{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$: $\forall u,v \in A \Rightarrow uv \not\in E(G)$?
 160
 161 \s{Poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina. Proto je potøeba zadat i minimální velikost hledané mno¾iny.
 162
 163 \>Uká¾eme, jak na~tento probém pøevést 3-SAT.
 164
 165 \s{Pøevod 3-SAT na NzMna:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál tak, abychom v~rùzných
 166 klauzulích nevybírali konfliktnì, tj.~$x$ a~$\lnot x$.
 167
 168 \s{Pøíklad:}
 169 $(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p) $.
 170
 171 \>Pro ka¾dou klauzuli sestrojíme graf (trojúhelník) a pøidáme \uv{konfliktní}
 172 hrany, tj. $x$ a $\lnot x$. Poèet vrcholù grafu odpovídá poètu literálù ve formuli,
 173 poèet hran je maximálnì kvadratický a pøevod je tedy polynomiální.
 174
 175 Existuje-li v grafu nezávislá mno¾ina velikosti $k$, pak z právì $k$ trojúhelníkù
 176 vybere právì jeden vrchol, a pøitom ¾ádné dva vrcholy nebudou odpovídat literálu a
 177 jeho negaci -- tedy dostaneme ohodnocení promìnných splòujících alespoò $k$ klauzulí.
 178 Na druhou stranu, existuje-li ohodnocení $k$ klauzulí, pak pøímo odpovídá nezávislé
 179 mno¾inì velikosti $k$ (v ka¾dém trojúhelníku zvolíme právì jednu z ohodnocených
 180 promìnných, nemù¾e se stát ¾e zvolíme vrcholy konfliktní hrany). Ptáme-li se tedy
 181 na nezávislou mno¾inu velikosti odpovídající
 182 poètu klauzulí, dostaneme odpovìï {\sc ano} právì tehdy, kdy¾ je formule splnitelná.
 183
 184 Jsou-li ve formuli i klauzule krat¹í ne¾ 3, mù¾eme je buïto prodlou¾it metodou vý¹e
 185 popsanou; nebo si v grafu necháme dvoj- a jedno-úhelníky, které ¾ádné z na¹ich úvah
 186 vadit nebudou.
 187
 188 \figure{nezmna_graf.eps}{Ukázka pøevodu 3-SAT na nezávislou mno¾inu}{3in}
 189
 190 \s{Pøevod NzMna na SAT:}
 191
 192 \itemize\ibull
 193 \:Poøídíme si promìnné $v_1, \ldots, v_n$ odpovídající vrcholùm grafu. Promìnná $v_i$ bude
 194   indikovat, zda se $i$-tý vrchol vyskytuje v~nezávislé mno¾inì (tedy pøíslu¹né ohodnocení
 195   promìnných bude vlastnì charakteristická funkce nezávislé mno¾iny).
 196 \:Pro ka¾dou hranu $ij \in E(G)$ pøidáme klauzuli $(\lnot v_i \lor \lnot v_j)$. Tyto klauzule
 197   nám ohlídají, ¾e vybraná mno¾ina je vskutku nezávislá..
 198 \:Je¹tì potøebujeme zkontrolovat, ¾e je mno¾ina dostateènì velká, tak¾e si její prvky
 199   oèíslujeme èísly od~1 do~$k$. Oèíslování popí¹eme maticí promìnných $x_{ij}$, pøièem¾
 200   $x_{ij}$ bude pravdivá právì tehdy, kdy¾ v~poøadí $i$-tý prvek nezávislé mno¾iny je vrchol~$v_j$
 201 -- pøidáme tedy klauzule, které nám øeknou, ¾e vybrané do nezávislé mno¾iny jsou právì
 202   ty vrcholy, které jsou touto maticí oèíslované: $\forall i,j$, $x_{ij} \Rightarrow v_j$
 203   (jen dodejme, ¾e $a\Rightarrow b$ je definované jako $\neg a\vee b$).
 204 \:Je¹tì potøebujeme zajistit, aby byla v~ka¾dém øádku i sloupci nejvý¹e jedna jednièka:
 205   $\forall j,i,i^{'}, i\ne i^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{i^{'}j}$ a
 206   $\forall i,j,j^{'}, j\ne j^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{ij^{'}}$..
 207 \:A~nakonec si ohlídáme, aby v~ka¾dém øádku byla alespoò jedna jednièka, klauzulí $\forall i :
 208   x_{i1} \lor x_{i2} \lor \ldots \lor x_{in}$.
 209 \endlist
 210 Tímto vynutíme NezMnu $\geq k$, co¾ jsme pøesnì chtìli. Takovýto pøevod je zøejmì polynomiální.
 211
 212 \s{Pøíklad matice:} Jako pøíklad pou¾ijeme nezávislou mno¾inu z ukázky nezávislé mno¾iny.
 213 Nech» jsou vrcholy grafu oèíslované zleva a zezhora. Hledáme nezávislou mno¾inu velikosti $2$.
 214 Matice pak bude vypadat následovnì:
 215 $$ \pmatrix{1&0&0&0&0 \cr 0&0&0&1&0}$$
 216 \s{Vysvìtlení:} Jako první vrchol mno¾iny bude vybrán vrchol $v_1$, proto v prvním
 217 øádku a v prvním sloupci bude $1$. Jako druhý vrchol mno¾iny bude vybrán
 218 vrchol $v_4$, proto na druhém øádku a ve ètvrtém sloupci bude $1$. Na ostatních místech bude $0$.
 219
 220 \h{4. problém: Klika}
 221
 222 \>{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$.
 223
 224 \>{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech?
 225 \figure{klika.eps}{Pøíklad kliky}{2in}
 226
 227 \s{Pøevod:} Prohodíme v grafu $G$ hrany a nehrany $\Rightarrow$ (hledání nezávislé mno¾iny $\leftrightarrow$ hledání kliky).
 228
 229 \s{Dùvod:} Pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v~komplementárním grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu,
 230         a naopak.
 231
 232 \figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran}{2in}
 233
 234
 235 \h{5. problém: 3,3-SAT}
 236 \s{Definice:} 3,3-SAT je speciální pøípad 3-SATu, kde ka¾dá promìnná se vyskytuje v~maximálnì tøech literálech.
 237
 238 \s{Pøevod 3-SAT na 3,3-SAT:}
 239 Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v~$k > 3$ literálech, tak nahradíme výskyty novými promìnnými $x_1, \ldots , x_k$ a pøidáme klauzule:
 240 $$
 241 (\lnot x_1 \lor x_2),
 242 (\lnot x_2 \lor x_3),
 243 (\lnot x_3 \lor x_4),
 244 \ldots,
 245 (\lnot x_{k-1} \lor x_k),
 246 (\lnot x_k \lor x_1),
 247 $$
 248
 249 co¾ odpovídá:
 250
 251 $$
 252 (x_1 \Rightarrow x_2),
 253 (x_2 \Rightarrow x_3),
 254 (x_3 \Rightarrow x_4),
 255 \ldots,
 256 (x_{k-1} \Rightarrow x_k),
 257 (x_k \Rightarrow x_1).
 258 $$
 259
 260 Tímto zaruèíme, ¾e v¹echny nové promìnné budou mít stejnou hodnotu.
 261
 262 Mimochodem, mù¾eme rovnou zaøídit, ¾e ka¾dý literál se vyskytuje nejvíce dvakrát (tedy ¾e
 263 ka¾dá promìnná se vyskytuje alespoò jednou pozitivnì a alespoò jednou negativnì). Pokud by
 264 se nìjaká promìnná objevila ve~tøech stejných literálech, mù¾eme na~ni
 265 také pou¾ít ná¹ trik a nahradit ji tøemi promìnnými. V~nových klauzulích se pak bude
 266 vyskytovat jak pozitivnì, tak negativnì.
 267
 268 \h{6. problém: 3D párování (3D matching)}
 269
 270 \>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a mno¾ina kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou).
 271
 272 \>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic -- tj. taková podmno¾ina trojic, která obsahuje v¹echna $K$, $H$ a $Z$.
 273
 274 \>Uká¾eme, jak na tento problém pøevést 3,3-SAT (ov¹em to a¾ na dal¹í pøedná¹ce).
 275
 276 \figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D párování}{3in}
 277
 278 \s{Závìr:} Obrázek ukazuje problémy, jimi¾ jsme se dnes zabývali, a vztahy mezi tìmito problémy.
 279 \figure{prevody.eps}{Pøevody mezi problémy}{3in}
 280
 281 \bye